推理能力：一种重要的数学素养

周卫东

推理有两种重要的形态，即归纳推理和演绎推理。从一系列具体事实概括出一般原理的过程，称为归纳推理；从普遍性结论或一般性前提出发，推出个别或特殊结论的过程，称之为演绎推理。归纳推理和演绎推理的教育价值并不相同，因为归纳是被看做数学探索和数学发现过程中的一种特别重要的方法，而演绎推理虽然也是必要的，但这种推理不能用于发现新命题。本文试以苏教版六下“用方向和距离确定位置”的教学为例，具体谈谈在培养学生推理能力方面的一些尝试。

一、以合情推理为主色调，培养归纳推理能力

反思传统教学，对学生推理能力的培养往往被认为就是加强逻辑证明的训练，主要形式就是通过演练以掌握更多的证明技巧，这样的认识是有局限性的。《义务教育数学课程标准（2011）》强调通过多样化的活动来培养学生的推理能力，在第二学段中提出“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理”。本课，教者在培养学生合情推理能力方面，做了一定的尝试。

（一）巧设情境，为合情推理“铺陈”

课始，教者展示情境：“在波涛汹涌的大海上，有一艘轮船发生了故障，它不能行驶也不能发出任何求救信号。在这万分危险的时刻，好在大海中有一座灯塔，灯塔上有一位观察员发现了这一险情。大家想一想，观察员会怎么做？”随着问题给出并给予一定的时间，学生们充分调动自己的生活经验，设身处地想办法：“我觉得观察员需要先弄清这艘船的准确位置，然后报告给救援船，让他们前去开展救援”“作为灯塔上的观察员，要首先确定一下故障船的位置，然后把他观察到的位置报告给救援船队”。在此基础上，教者再进行角色的重新调整：“说得好！观察员自己势单力薄，他不可能自己去援救，必须呼救，而呼救时必须要报出故障船所在位置，救援船才能准确地进行施救。现在每位同学就假设自己是这个救援船的船长，请你根据灯塔上观察员的话音提示在地图上寻找故障船所在的位置。”

在“类真实”的情境中，学生的兴趣被充分激活，潜在的使命感、责任感被催生，这样的学习既有意义又有趣。

（二）厚积素材，为合情推理“描摹”

合情推理不可能凭空而至，必须有丰富的素材做支撑，素材的质和量直接决定推理的成效。

在这一阶段，教者一共设计并播放了三段模拟语音信息：“距灯塔15千米”“30°”“北偏东”，每次都给学生以充裕的时间，分别让其在地图上寻找并描点，调动生活经验，激活数学思维，为推理的展开、数学本质的感悟、数学结论的归纳提供了最大的帮助，这才是教学所应该起到的最上乘的“中介”作用。

播放第一条语音信息“距灯塔15千米”后，引导学生找到故障船可能的位置，即船可能的位置形成了一个以灯塔为圆心、5厘米长为半径的圆。然后播放第二条语音信息“30°”，引导学生寻找船可能的位置。学生的思路被充分打开，在地图上表达自己的理解。在认可合理想法的基础上，引导学生聚焦大多数学生的思路，理解并形成“共有8种可能”的共识。随后播放第三条语音信息“北偏东”，并形成一条完整的关于方向的信息“北偏东30°”。因为理解的不同，催生了较强烈的认知冲突：“X和Y都对”“只有X点是对的”“只有Y点是对的”。圍绕三种想法让学生自由表达观点，在畅所欲言的氛围和你来我往的辩论中，逐渐形成“X点应描述成北偏东30°，而Y点则应描述成东偏北30°”，“北偏东”是以北为基准，而“东偏北”是以东为基准。（图1）

（三）对比提炼，为合情推理“着色”

讨论：“Y点在生活中可以描述成东偏北30°，但科学上并不规范，那究竟怎样描述才是科学、规范的呢？”“为什么在地理学中规定以南北方向为基准呢？”，在充分尊重学生个性理解的基础上通过“小贴示”呈现的方式提供科学原理和相关规定。（图2）

让学生明晰“在地图上，一个点的方位，如果不在东、南、西、北正方向，一般用北偏东、北偏西、南偏西、南偏东四个方位词来描述”的规定性。引导学生明白，故障船所在位置应该是X点，而Y点所在的位置应从生活化描述“东偏北30°”调整为“北偏东60°”。进一步组织学生求同存异、回顾反思，对学习过程进行“数学化”回应，让学生明白：今天所学的确定位置就是要根据三个条件，即方位、角度、距离来进行，三个条件缺一不可。

在这部分的教学中，依次通过给学生提供必要的信息条件，鼓励他们大胆猜想，并自主探索这艘故障船的可能位置。随着已知信息量的增加，学生逐步缩小推测的范围，直至最后成功确定了故障船的位置。教者把根据信息确定位置的学习任务交给学生，让他们借助已有经验背景中诸如方向、距离、位置、比例尺等相关知识及方法储备，在“如何确定故障船只的位置”这一颇具挑战性的大问题上，学生在独立思考与学习共同体共同探讨的基础上，有效调动原有的经验和方法，从而建构起属于自己的认识路径，同时，也有效地养成了一定的合情推理能力。

二、以演绎推理为辅色调，培养数学应用能力

在新知明晰之后，教者精心设计了“描述救援船的位置”的练习，层层递进，在巩固已有新知的基础上，着力培养学生的应用意识和演绎推理能力。

如果说“B船在哪里”是基本方法的训练，那么“C船在哪里”的追问，则起到一定的变式作用，有效强化“以南北方向为基准”的知识本质，引导学生自觉把常犯的错误“南偏东65°”或“东偏南65°”调整到“南偏东25°”上来。

而对“D船在哪里”的研究是此环节的匠心独具之处。先出示第一条信息“灯塔南偏西方向”，让学生明白，如果只有这一条信息，只能确定目标船所在一个“面”；增加信息后变成“南偏西45°”，让学生思考、尝试后，学生的意识更加聚焦，这时已经能从“面”中找到目标船所在“线”了；最后，呈现完整信息“灯塔南偏西45°方向12千米”，这时学生的数学意识完全打开，心领神会地在地图上找到D船所在的“点”。（图3）

胡适先生说科学研究的基本方法是“大胆猜想，小心求证”。教者带领学生质疑并验证“确定位置的三个必要条件”的教学环节，无疑是触摸数学本质的“再往前跨一步”。如同写作中讲究“丹青难描是精神”，对关键素材要深描细写，通过尽可能多的细节之处，突出表现人物的“精神气质”，故事的“情感意蕴”，这便是“详写一笔”的价值所在。教者在课堂上的“详写一笔”采用连续的追问，让学生刚刚建立起的对“确定位置”的认知经受考验。当教者抽丝剥茧般引导学生认识到“确定位置”的过程本质其实就是“由面到线，再到点”的目标精确的过程，相信一定可以给学生带来视觉、思维乃至心灵的震撼。

这一“得意之作”，引领我们审视一个重要的教学理念：演绎推理教学中的灵魂与核心究竟在哪里？答案显而易见：在数学教学中，我们最应该关注的是引导学生准确把握数学知识的本质，并促进学生对数学方法的思考；数学教学的高明之处在于既要能“遇河搭桥”，更要能“过河拆桥”，即在关键时刻要善于想办法让学生摆脱“具体情境”的干扰和依附，变操作技能为心智技能。

三、以辩证施教为调色盘，培养综合推理能力

如何处理好归纳推理与演绎推理教学的关系？史宁中教授说得好：“多年来，我国基础教育重在学生思维能力的培养上，而弱于归纳能力的训练，给创新型人才的培养带来了严重的障碍，所以，我们应更为关注对学生归纳推理能力的培养。”

诚哉斯言，在平时教学中，在大力倡导“合情推理教学”的当下，我们要防止一哄而上，一刀切、“运动式”的教学改革。

波利亚告诫我们：“论证推理是可靠的、无可置辩的和终决的。合情推理是冒风险的、有争议的和暂时的。”庞加莱认为：“演绎推理用于证明，合情推理用于发明。”因而，在数学教学过程中，两种推理之间的运用应该是相辅相成、相得益彰的。过分倚重演绎，轻归纳、类比，只满足于证明现成结论，势必会导致学生很少经历探索结论，严重阻碍学生数学素养的提升。过分倚重合情推理忽视严格的演绎证明，则会使学生丧失严谨思考问题的能力，难以形成言必有据、合乎逻辑的数学意识。在教学实践中，我们应该更多地创设情境，创造机会，让合情推理和演绎推理“见面”，在一个综合的环境中促进推理能力循序渐进，协调发展。在小学中高年级我们不妨选择合适的内容，共同渗透合情推理与演绎推理，让学生经历完整的猜想、证明的过程，感受推理的价值。

（作者单位：江苏省南京市长江路小学 本专辑责任编辑：王彬）