数学游戏“算24点”的新变化与拓展

简敏豪　杨健辉

[摘 要]“算24点”是一种扑克牌游戲。课程标准强调计算教学应该减少单纯的技能性训练以及繁难复杂的计算内容，因此，可以根据年级、学段的不同要求，将常规的“算24点”游戏及问题进行一定的改进和扩充，引导学生思考游戏背后的数学问题，展现“算24点”游戏和其他数学内容的联系，在学和玩中间寻找平衡点，充分体现“玩游戏、学数学、育素养”的教学主张。

[关键词]算24点；数学游戏；变化

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）05-0006-03

“算24点”是流传很广的扑克牌游戏：从四种花色的1（A）至10共40张牌中任取4张，根据牌面上的数字进行四则混合运算（每张牌只能用一次），使得计算结果为24。不同地方的玩法略有差别，比如说用J、Q、K分别代表11、12、13点，共52张牌参与游戏。“算24点”游戏简单易学、便于操作，可提高口算能力，是一项集学习、娱乐于一体的数学活动。多个版本的中小学数学教材都安排了“算24点”的数学游戏内容，但课程标准强调计算教学应该淡化一些单纯的技能性训练以及繁难复杂的计算内容，主张在学习过程中让学生亲身体验、感受和理解计算的意义以及这些内容所蕴含的数学思想。因此，我们根据年级、学段的不同要求，将常规的 “算24点”游戏及问题进行了一定的改进和扩充，以适应新形势下培训与活动的新要求。这些变化、改进的着眼点主要有两处：一是牌组数进行运算组合的新要求；二是原有规则的某些限制。

下面结合广州市小学生数学游戏活动研究团队的一些思考和实践，谈谈扑克牌计算游戏活动“算24点”在教学中的一些新的变化与拓展。

活动变化一：灵活匹配游戏中的运算组合要求

从数学的角度看，“算24点”其实是寻找一种算法的过程，游戏本身对数学基础知识的要求并不高，确定四个数运算的先后顺序即可。然而，一个牌组（4张牌）经过3次运算，可能有多种方式凑成24，其中的变化往往是复杂多样的，可能会给参与者造成一定的困难。因此我们考虑对“算24点”游戏的运算规则进行一定的限制，比如要求算式中只有2种运算，从而降低游戏难度，增强游戏的可玩性和成功率，这对于低年级的学生来说是符合其学习要求和规律的。

1.限定只用加、减法计算

刚开始玩“算24点”游戏，低年级学生都兴致勃勃，十分投入，但由于自身的知识和计算经验有限，他们（特别是还未学习乘、除法的一年级学生）在玩“算24点”时一般只会把整数的加减法作为常规算法，这时可 “暂时”改编游戏规则，限定只用加、减法两种运算玩“算24点”游戏。

以下是一个游戏活动培训课例的内容：

（1）给出4张点数为10的扑克牌（10 10 10 10），只用加或减法，能算出24点吗？（显然不能）

（2）给出3张点数为10的扑克牌（10 10 10 __），若添加1张牌，只用加或减法，能否通过计算得到24点？

分析：学生容易想到10+10+10=30，只需要添加1张牌“6”，再进行减法计算即可得：30-6=24。

（3）若给出2张点数为10的扑克牌（10 10 __ __），思考：若添加2张牌，只用加、减法，怎样算24点？

分析：这里需要添加2张牌，给予学生更大的思考空间。由于10+10=20，而游戏的目标指向结果为24，则剩下牌组怎样与20搭配组成24，也就是接下来自选的两张牌怎样得到4，对于学生来说是个有意思的思考过程。根据计算经验，他们对2张自选牌的选择很可能就会从“加”和“减”两方面去探索。若从加法去考虑，有1+3=4，2+2=4，使得20+4=24；若从减法去考虑，选择则会更加丰富，如13-9=4、12-8=4、11-7=4、10-6=4、9-5=4、8-4=4、7-3=4、6-2=4、5-1=4，其中可能出现的试错过程会让他们体验到无序列举的弊处，激发他们想到枚举过程需要有序，从而体会到有序思考的数学思想。

（4）给出1张牌（10 __ __ __），思考：若添加3张牌，只用加减法，怎样算24点？

分析：根据之前的活动经验，学生会自觉地思考自选的3张牌组应算出怎样的数，从而加上已知的10得出24。单纯计算一道题的结果不重要，营造一个有想象力的思维空间才更有价值。在这里更多的自选牌组会带来更大的思考空间，能让学生擦出更多智慧的火花。

2.限定只用乘除法（或限定只用乘加，或乘减，或除加，或除减）计算

不同的玩法更多时候是为了配合不同时段的教学需要，比如刚刚学习了乘法（或除法，或混合运算等），就可以将“24点”作为实践性作业在课内、外进行活动，既是游戏，又是训练，还活跃了学习氛围。另外，当学生开始学习乘、除法时，他们算“24点”常常首选乘、除法进行数的配对计算。因此，可以给出一些有特点的牌组，如（1 1 3 8）（2 12 5 5）（1 2 3 4）等，限定只用乘、除法两种运算玩“算24点”游戏。这样既有利于他们巩固利用2×12、3×8、4×6等数据组合求解的基本技巧，又能让他们更有目的地观察数据特点，在乘除法框架之下构造合适的算式，有助于他们进一步体会乘除法之间的关系与乘除法和加减法的区别。

要注意的是，对于“算24点”游戏而言，允许使用两个层级的运算时就意味着游戏难度有了较大的提高，需要参与者更加细致地考虑算式中各数的运算顺序对结果的影响，有时候还需要用括号改变运算的先后顺序，这对于刚开始接触乘加、乘减（或除加、除减）混合运算的学生来说不是一件容易的事情。因此，可以给出一些既定的牌组，限定只用乘加、乘减（或除加、除减）算24点，作为学生适应这一学习时期的阶段性玩法，为往后学习多位数乘除法打下基础。

如牌组（2 2 3 9），若学生明确了算式中只用乘法和加（减）法，思路就会非常清晰，既要分析数据特征，又要考虑运算顺序，如先加（减）后乘，还是先乘后加（减），或加（减）乘、加（减）等，这相当于中心在一个相对简单的运算要求背景下对算式进行了结构性分析，这些思考有时候可以促成一题多解。如上述牌组容易得出9×2+3×2=24、（9-3）×（2+2）=24、（9-3）×2×2=24等几种解法。这有助于学生在具体情境中能更深入理解乘加、乘减（除加、除减）的计算方法和算理，初步了解“算24点”游戏可能出现的同一牌组有不同计算方法的情况，体验解决问题策略的多样性，提高类比、迁移能力及求异思维能力，养成主动探究的学习习惯。

在实际教学中，由于教学任务设置的不同，“算24点”游戏能够显现不同的教育价值。以上的改编设计，从运算规则要求方面进行细致考量，很好地体现了“算24点”游戏的知识性和趣味性。游戏本身对数学基础知识的要求并不高，但任务起点的适度“降阶”为学生创造了宝贵的思考空间，他们不再只钻营方法和技巧，而是在既定规则下对牌组的变化开展灵动的思考，从简单到复杂，从答案单一到逐步开放，既符合不同年龄和水平学生的游戏需求，又对应了不同时期教材的教学重点和要求，丰富了游戏本身的玩法；不但训练了学生的有序思维，还循序渐进地帮助了学生融合与拓展四则运算的学习内容。

活动变化二：将计算与思考有机地结合起来

在常规的“算24点”游戏中，给出一个牌组（4张牌）后，学生的第一个念头是什么？通常是运用记忆中的运算模型，尝试构造算式去凑24。这显然容易让游戏活动渐渐往模式化的方向发展，规则的呆板和学生的生搬硬套会让游戏逐渐变得索然无味。我们不禁思考：在既定的游戏规则下，如何设置一些有意义的“前置障碍”，如何从牌组选择上给予学生更大的自由度，拓宽学生的思考空间呢？鉴于牌组的组合情况非常多样，我们尝试选取学生熟悉的4个数字都相同的牌组，分别是（2 2 2 2）和（3 3 3 3），再把两个牌组叠加，组成一个8张牌的牌组，构成给学生从中自由选择的牌组样本。

活动问题如下：

从一副扑克牌中取出以下8张牌，再从中每次任意选出4张为一组算24点。请写出其算式及结果。（取牌时只考虑点数，不考虑花式及颜色，结果可包含无解。）

在活动的初期，“任意选出4张为一组算24点”的游戏规则容易吸引学生眼球，作为一个显性的活动让他们把游戏归到已有的活动经验中，从而促使他们马上开始选牌和计算。当游戏活动开始时，“随意选”4张牌进行计算是不难，但学生的困惑却逐渐产生并增大，如“牌组选全了吗？”“还有哪些牌组没有被计算过？”等。这就关联到本活动的一个隐性的游戏活动内容——考虑问题的有序性。如果让游戏者重新审视题目，他们自然会意识到，应该先思考如何有序选择牌组再开展计算活动。因此，教师要求学生借助记录本，将已有的扑克牌点数和计算过程进行整理，从中发现一些联系或某种规律性的关系，让学生通过取扑克牌进行有序思考，按“取4个2、取3个2……不取2”的顺序先完成取扑克牌的任务，再具体考虑计算的过程。这样，把学生活动从“无序”引向“有序”，游戏活动的训练就能落到实处。以下是解答过程：

以上的改编，把计算和思考有机地结合起来，促使学生抛弃片面地算的观念，学会有序地进行数学思考，让学生在竞技争先的感性欢愉之外，多了一份对数学游戏的理性思索。

活动变化三：追寻“假如得不到24点呢？”

在“算24点”游戏中，一个牌组的解法有可能是多种多样的。研究发现，对于4个数均在1～10中的715种情况，有566种有解，有解率为79.16%；对于4个数均在1～13中的1820种情况，有1362种有解，有解率为74.83%。也就是说，对于某一随机牌组，存在唯一解、多解和无解的情况。在实际游戏活动中，由于一些牌组不能凑成24，学生参与活动时会因陷入不可知状态而失去耐心和兴趣。

怎样克服这个游戏活动的弊端呢？我们有如下设想：

1.计算结果为12点或36点的算式

“计算结果为12点”适合低年级，“计算结果为36点”适合高年级。因为算12点或算36点有解的概率很大，游戏更容易顺畅地进行，而且12和36作为有多个因数的合数，让游戏有了更多的变化，计算起来更具有技巧性，对思维的训练也更有帮助。如用牌组（3 4 6 7）算24点是无解的，但可以引导学生开展 “算12点”或“算36点”的活动，如6×[7-（4-3）]=36或4×[7+6÷3]=36。这有利于学生回归到计算本身，进一步深刻理解“算24点”这类计算游戏的本质。

2.计算结果最接近24点的算式

如果遇到不可能得到24点的4张牌，可以要求学生列出结果最接近24的算式（小学阶段尽可能要求结果是整数）。例如牌组（2 4 7 13），这是一个以常规“算24点”规则无法得出24的算式，此时可给出一个更为“宽泛”的要求：用这几个数，写出结果最接近24的算式。学生不再用3×8，4×6，18+6，14+10等技巧性模板作为思考坐标，而是把结果指向22、23、25、26等，较容易得出算式4×（2+7）-13=23、（13-4）×2+7=25、13×2-7+4=23、13×2-（7-4）=23。无论是计算多少点，其本质都是尝试计算，这也是这个游戏最有特点和魅力的地方——算。

从以上的分析可知“有解率”决定着游戏的可行性，而“算式结构”决定着游戏的趣味性和灵活性。对学生来说，脱离了常规的模式化方式，算式结果更开放，计算的味道更浓。创新的规则给予学生不一样的活动视角，能激发学生更多的思维火花。

活动变化四：尝试非常规或特殊的解答思路

对于“算24点”游戏活动，在游戏规则弹性可变的条件下，不同的游戏者会有不同的玩法和理解。低年级学生可能把“整数的加减法”作为他们的常规算法；高年级学生可能把“加、减、乘、除”中“整数与分数的四则运算”作为他们的常规算法；初中生则可能把“加、减、乘、除、乘方、开方的六则运算”作为他们的常规算法……不同的人都有自己知识经验范围内的算法模型。一般情况下，只要规则足够灵活，学生自然会去联想已经学过的数学知识和熟悉的数学思想方法，通过推理和演算，甚至会得到一些特殊的解题方法。如用牌组（1 4 6 5）算24点，小学高年级学生首先想到的是4×6=24，这时还有1和5两个数没有用，于是他们用自己熟悉的分数乘除法，将算式变形为4÷（1-5÷6）=24或6÷（5÷4-1）=24。小学低年级学生首先有可能想到的是把这些数“组合”进行加减运算，于是“65-41=24”这样的“天才算法”就诞生了。

基于以上认识，我们还可以创设一些特别的规则，引导学生选用非常规或特殊的思路得到结果：对于由5张牌组成的错误算式“62-12=24”，只移动一张牌，使算式成立。这道趣题需要学生抛开之前的游戏经验，跨过原来的位值制、十进制思维，运用幂运算知识展开思考，得出62-12=24。这样的思考过程能培养学生的创新意识。在“算24点”游戏中，经历了由传统整数状态下的计算到可以用分数进行计算（如5×（5-1÷5）=24），再到增加“幂的运算”（如52-9÷9=24）之后，学生自然能感受到随着所学知识的逐渐增多，自己在处理问题时所用的方法也会越来越丰富。

“算24点”是一个内涵丰富、趣味十足的数学游戏活动。如果对它作进一步的挖掘，還可再开发一些“另类”的规则形式，如用3张或者5张牌算24点等，让游戏更具有探索性。值得注意的是，继承传统是创造革新的前提，而创造则是传统的延续和再生。我们在进行游戏规则的改变与拓展之可行性研究中，十分注重在传统和创新之间寻找平衡点。首先力求深刻理解游戏本身的教育价值，准确选取游戏的核心元素，使它们应不同教学要求和需要去重组、整合、创新，展现它们与数学知识的丰富联系，让参与者或是从浅入深，或是从简单到复杂，在玩与学中探寻游戏背后的数学原理与思想方法，充分体现“玩游戏、学数学、育素养”的教学主张，让学生玩在其中、乐在其中、算在其中、思在其中，进而使其数学素养及计算能力得到有效提升。

（责编 金 铃）