理性回归：初中数学教材使用中的生态环境探析与优化

吕亚军+顾正刚

[摘 要] 初中数学教材使用中的生态环境是和谐统一的生态环境，是动态平衡中的生态环境，是可持续发展的生态环境. 初中数学教材使用应理性回归教材：融入信息技术，点亮数学课堂；依托数学教材，寻根问题本质；以“疑”为媒介，剖析数学教材；让探究成“常态”，彰显教材内涵.

[关键词] 初中数学教材；生态环境；优化；理性回归

《义务教育课程标准》（2011版）（以下简称《课程标准》）提出：“数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源. ”数学教材是数学课程理念的基本物化形式，是学生学习数学、教师教授数学最基本的蓝本. 在所有合适的数学学习资源中，数学教材是最主要的. 数学教材体现了数学学科的价值，作为课程标准化的产物，其既是教师教的重要资源，又是学生学的主要依据. 本文从生态学视角分析初中数学教材的使用环境，以期为教学提供借鉴.

初中数学教材使用中的生态环

境探析

1. 和谐统一的生态环境：遵循教育教学规律及注重学生身心协调发展

生态学原理提示：生态系统中各单元和因子之间互相联系、互相作用和影响，在功能上组成一个统一的整体. 整体统一性不是各种组成成分简单地叠加，而是相互联系、相互制约形成的新的集合体，它具有各种组成成分都不具有的新特点和新功能. 生态式教育非常强调促进人的创生，而这又依托于相互作用. 我们知道，教学中的相互作用，不仅包括教师和学生之间，还应该包括教师与教材以及学生与教材之间的相互作用.

2. 动态平衡中的生态环境：教材结构、功能的提升与完善

初中数学教材使用中的生态环境也处于不断变化中，内、外部生态环境改变会影响原有的平衡状态，但经过适当的调节，教材结构与功能会达到新的平衡状态. 比如运用信息化手段整合课堂教学、对教材中提出的问题进行常态化探究等，此时原有的教材内容、结构及功能都得到了提升与完善，教材使用中的生态环境会进入更高层次的动态平衡中.

3. 可持续发展的生态环境：注重多方因素协调

初中教材使用中需要考虑多方面的因素，如教师方面：教师对数学教材的理解，对学生的认知水平、知识储备的熟悉程度等；学生方面：学生的学习目标、方法、特点等；教材的课堂呈现方式；课堂互动等，只有使各因素都处于最佳状态，才能取得良好的教学效果，进而顺利达成教学目标. 因而使用初中数学教材时，应协调多方因素，培养学生的学习兴趣，提升学生的数学素养，实现可持续发展的教材使用生态环境.

理性回归：初中数学教材使用

中的生态环境优化策略

1. 融入信息技术，点亮数学课堂

大数据时代的来临，各种信息技术的普及，无疑给教材使用、课堂教学带来了巨大的冲击. 《课程标准》提出要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去. 信息技术与课堂教学的融入，正引发教材使用生态环境从冲击后的失衡状态，进入更高层次的动态平衡中，促使學生数学学习方式的革新及对知识更深层次的理解.

今年笔者有幸听过一位数学骨干教师开设的公开课. 教师在讲解圆的切线长定理，利用教科书上的练习题进行巩固训练时，运用GeoGebra软件引导学生进行探究教学，节录如下.

师：（苏科版《九上》第2章P74习题13）如图1所示，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E、F、G、H，AB、BC、CD、DA之间有怎样的数量关系？为什么？

（教师通过GeoGebra软件操作，在四边形的各边与圆相切的前提下，任意改变圆的大小及四边形的大小，学生观察，教师操作）

师：从刚才我的操作过程中，请你猜测一下AB、BC、CD、DA之间有怎样的数量关系.

生1：我觉得四边形ABCD中AB与CD的和应该与AD与BC的和相等. （如图2）

（教师再次任意改变圆的大小及四边形的大小，教师引导学生观察代数区，AB、AD、BC、CD，L1（AB+CD）、L2（BC+AD）的大小变化，同学一致认同图中无论图形如何变化，都有结论AB+CD=BC+AD成立）

师：在刚才的探究过程中，大家都认可得出的结论，请问如何通过演绎推理证明此结论呢？

（学生思考中）

生2：根据刚才讲的切线长定理，可得AH=AG，BH=BE，CE=CF，DG=DF，则有AH+BH+CF+DF=AG+BE+CE+DG，即AB+CD=BC+AD.

师：很好！大家能否用一句话来描述这道题的结论？（学生讨论）

教师引导得出结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.

师：从刚才这道题的讲解中，你还能提出怎样的问题？大家可以讨论一下. （学生讨论中）

生3：本题是圆的外切四边形，得出了刚才的结论，那么题目如果改为圆的外切六边形、八边形，会有类似的结论吗？甚至可以推广到圆的外切偶数边形是否有类似的结论.

师：这位同学的问题提得很有价值，值得探究. （教师用GeoGebra软件画出圆的外切六边形，如图3，学生探究得到AB+CD+EF=BC+ED+AF，教师提出课后大家去研究证明方法，并思考外切八边形、外切偶数边形是否有类似的结论）

评析？摇 在讲解例题时，教师运用了GeoGebra软件，教师通过引导，结合信息技术手段，让学生从动态的视角，去观察原先静态的几何问题，合情推理得出结论，即圆的外切四边形的两组对边的和相等，并给予演绎推理论证. 接着教师引导学生类比推广到圆的外切六边形、八边形、偶数边形等情况. 正如学者伍春兰所说：“信息技术本身并不会自动产生教育作用，只有同一定的教育内容、教育目标、教学组织形式、教学方法等联系起来时，其教育价值才能表现出来.”

2. 依托数学教材，寻根问题本质

数学教材“是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源”，是联结“数学课程目标”与“数学课堂教学”的最主要桥梁. 从生态学角度看：生命的重要特性是有机性，本质是内在的关联. 生态系统中的所有成员是以一个网状的关系而使彼此相互关联，所有的生命历程皆相互依赖. 纵观历届中考试题，“依纲扣本”是命题的主方向，“源于教材，高于教材”似乎已成为一条不变的“真理”.

比如2014年四川自贡数学中考题第23题——

阅读理解：如图4，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A，B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”.

解决问题：（1）如图4，若∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

（2）如图5，在矩形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图5中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；

（3）如图6，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的邊AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系.

评析 本题属于阅读材料题，要求学生能看懂题意. 问题（1）要证明点E是四边形ABCD的边AB上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，在证明的过程中需运用∠DEB=∠A+∠ADE=45°+∠ADE，又∠DEB=45°+∠BEC，从而得到∠BEC=∠ADE，得证. 问题（2）的原型是苏科版教科书九年级下第65页练习5：如图7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D. （1）△ACD与△CBD相似吗？为什么？（2）图中还有几对相似三角形？是哪几对？此题只需以CD为直径画弧，取该弧与AB的交点即可. 问题（3）属于对折问题，在苏科版教材第70页教材中安排了一个数学活动，设计了一个折纸专题，本问题的解决实质就是运用轴对称性质，并利用相似三角形的性质求解.

3. 以“疑”为媒介，剖析数学教材

《课程标准》提出：“教材的编写要面向全体学生，也要考虑到学生发展的差异，在保证基本要求的前提下，体现一定的弹性，以满足学生的不同需求，使不同的人在数学上得到不同的发展，也便于教师发挥自己的教学创造性. ”教材在编写时，新授概念、定理、公式有时会留给学生探究和思考的空间，不一定都给出详细的介绍及推导过程，教师在教学中要整体把握教科书的编写思路，深入挖掘教科书中蕴含的观点和思想方法，充分理解教材编写的用意，引导学生善于提出问题，培养问题意识.

苏科版九年级上册“圆周角”一节教材给出了圆周角定理：“同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半. ”对于本定理，教材没有给出其他说明，教学实际中很多学生对此定理的理解比较模糊. 笔者听到一节优秀的公开课，教师在讲授时的处理过程节录如下.

师：同学们，针对这条定理的理解，可以把定理拆分成哪几个问题？

生1：同弧所对的圆周角相等，且它们的度数都等于该弧所对的圆心角的度数的一半？

生2：等弧所对的圆周角相等，且它们的度数都等于该弧所对的圆心角的度数的一半？

师：很好，刚才两位同学将定理根据自己的理解进行了梳理，提出了两个问题，请大家思考如何解决？

评析？摇 教材的编写往往会给教师和学生留下广阔的“生态空间”， 让教师和每个学生都能在自己的“生态位”上有所发展. 本定理的表述非常精炼，对于初学者来说理解还是比较困难的，为了让学生能深刻理解，教师采取让学生尝试将定理拆分提出问题，通过引导学生经历质疑、探索、推理等过程，让学生自己建构个人新的知识体系，培养学生的批判性思维. （此定律在苏科版2014版本做了改进，为“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等”）

4. 让探究成“常态”，彰显教材内涵

在教学中要充分挖掘教材中的探究素材. 教材中有很多例题、习题都是很好的探究素材. 教学中，教师往往会忽视教材中例题、习题的潜在教育功能，常常就题论题，或者因为题目“简单”而一带而过，缺乏对例题和习题的深入研究、引申、推广，其实应充分挖掘例题和习题中蕴含的数学思想方法、数学本质、文化背景和情感、态度、价值观，充分调动学生的积极性，激发学生的求知欲，培养学生的创新意识及数学思维品质，在教材的使用方面，为学生的发展提供可持续的生态教学环境.

笔者听了一节市级公开课，教师举了苏科版九年级上册第一章习题1.3第7题为例——在正方形ABCD中，（1）如图11，点E，F分别在BC，CD上，且AE⊥BF，垂足为点M，求证：AE=BF. （2）如图12，如果点E，F，G分别在BC，CD，DA上，且GE⊥BF，垂足为点M，那么GE，BF相等吗？证明你的结论. （3）如图13，如果点E，F，G，H分别在BC，CD，DA，AB上，且GE⊥HF，垂足为点M，那么GE，HF相等吗？证明你的结论. （学生易解决，教师将习题进行改编）

问题1？摇 如果将原题进行改编，将（1）（2）（3）中的条件和结论互换，是否仍然成立？（结论仍然成立，学生易解决）

问题2？摇 现将原题中（1）（图11）中的线段BF向右平移到EN，连接CN，其他条件不变，如图14，∠NCH是否为定值？如果是，求出此定值.

对于问题2，学生给出了如下两种方法——

方法1：如图14，在AB上取点K，使得AK=CE，易得△AKE≌△ECN，所以∠AKE=∠ECN=135°. 所以∠NCH=45°.

方法2：如图15，连接FN，过点N作NG⊥CH，易得FN=NG，所以∠NCG=45°.

问题3？摇 如图16，已知矩形ABCD.

（1）如图16，点E，F分别在BC，CD上，且AE⊥BF，垂足为点M，AD=kAB，求证：BF=kAE.

（2）如图17，如果点E，F，G分别在BC，CD，DA上，且GE⊥BF，垂足为点M，AD=kAB，那么BF=kGE吗？证明你的结论.

（3）如图18，如果点E，F，G，H分别在BC，CD，DA，AB上，且GE⊥HF，垂足为点M，AD=kAB，那么HF=kGE成立吗？证明你的结论. （结论仍然成立，学生易解决）

问题4？摇 如果将问题3进行改编，将（1）中的两个条件AE⊥BF，AD=kAB，BF=kAE任意两个作为条件，另一个作为结论，是否成立？请说明理由. 类似地，（2）和（3）中是否也有类似的结论？并说明理由（结论均成立，学生易解决）

问题5 ？摇现将问题3中（1）（图16）中的线段BF向右平移到EN，连接CN，且AE⊥BF，垂足为M，AD=kAB，如图19，∠NCH是否仍然为定值？如果是，求出tan∠NCH.

对于问题5，学生给出了如下两种方法——

方法2：如图20，连接FN，过点N作NG⊥CH于点G，设BE=FN=CG=x，容易证得△ABE∽△EGN，所以NG=kx，tan∠NCH=k，为定值.

评析？摇 课本例题、习题作为渗透新理念、传授知识、培养能力的主要载体，教师应进行充分挖掘和研究，为学生创设合理的学习情境，构建开放的学习环境.

结束语

教材作为教师教和学生学的载体，对教材的研究是否到位，能否充分发挥教材的作用，直接影响教师的课堂教学质量，直接影响学生对数学本质的掌握情况. 因此，教师应树立科学的教材观，不断提高自身的数学素养，深入理解和把握教科书的潜在价值，优化教材使用中的生态环境，使教科书真正成为学生学习和教师教学的重要课程资源.