基于数学活动体验数学思想

罗燕+李昌勇+宁锐

[摘 要] 本文以“探索直线平行的条件”一课的课例为载体，通过对课堂中两个主要的活动的设计和教学过程进行分析，深入挖掘其中所包含的数学思想，并分析了本节课是如何在数学活动中体现数学思想的，供一线老师参考.

[关键词] 数学思想；数学活动；平行条件

《义务教育数学课程标准（2011版）》（后简称为《标准》）把数学基本思想、基本活动经验与数学知识和技能列为同等地位的目标，并且明确指出“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用”，突出了数学思想的教育价值. 史宁中教授在《数学思想概论（第一辑）》中写道：“数学思想是指数学发展所依赖、所依靠的思想”“至今为止，数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的”；而针对最近的热点问题“学生核心素养的培养”，梁秋莲老师以“帮助学生获得数学思想”为抓手提出了落实核心素养的策略，可见数学思想是数学教育极其重要的组成部分.

怎样才能在数学教学实践中实现数学思想方法的教学呢？为此，笔者与一线老师以教学课例为载体合作、教研、探讨了这一主题. 本文以史宁中教授提出的三种核心数学思想方法为基本框架，以北师大版七年级下册“探索直线平行的条件”一课的课例为载体，探讨如何在数学活动中渗透数学思想方法.

从经验活动中抽象出几何图形

【活动任务】 活动1：如图1，装修工人正在向墙上钉木条，有一根木条b与墙壁边缘垂直，工人师傅现在要钉一根与b平行的木条a. 你能想到哪些办法？

学生活动：让学生分组讨论，然后让學生介绍做法，通过活动积累大量经验以供进一步探究.

【教学片断】？摇？摇师：这是一个实际问题，同学们可以利用图中任何可利用的条件来解决这个问题.

学生分组讨论，老师巡视，给予一定的指导.

通过充分的讨论交流，老师让每组代表陈述本组做法.

生1：与砖的横线重合，如图2（这种回答包含有两种情形，a与b相距一块砖或多块砖的情形），或者与砖的竖线垂直，如图3.

生2：与墙的边缘垂直，如图4.

生3：与地面平行，如图5.

后面同学说的方法要复杂些，通过日常语言和比动作很难理解，于是老师进行引导：同学们能用准确的数学语言把刚才说的方法描述一次吗？

生4：在直线b的下方做等腰直角三角形，使得三角形的直角顶点在直线b上，两条直角边与直线b的夹角相等，均为45°，如图6.

生5：作直线a的垂线m，平行移动垂线一段距离得垂线n，在垂线m上取一点C，作线段CD=线段AB，则线段CD所在直线与直线a平行，如图7.

学生的回答大致包含在上面几种回答中，其余学生还有一些其他回答. 比如：在直线b上作圆，利用圆的性质. 由于这类方法对提炼“三线八角”这个模型作用不大，所以老师将其先放一边，课后再对这类方法进行分析.

师：在实际问题中判断两根木条是否平行时，借助墙壁作为参照，你能将上述问题抽象为数学模型吗？试着画出示意图，并结合示意图进行说明.

【反思与评析】 活动1的问题取自教材上的例题，但对例题做了小改动，教材中直接问木条a与墙壁边缘的夹角是多少度时才能使木条a与木条b平行，这样会限制学生的思考方向，而改动后的问题则发散了学生的思维，让学生可以尽可能地从不同角度思考解决方法，也为后面提炼出两条直线平行的模型提供了丰富的素材. 因此，老师在设计教学活动时应该多提一些灵活性的问题. 改动后的例题，学生给出了丰富的解题方法，根据原理大致可分为两类：（1）借助已知平行得新的平行，如生3的方法；（2）借助第三条线的垂直关系，得到a，b的平行关系，如生2的方法. 在实际的课堂中笔者发现，学生最初的回答很难用准确的数学语言对做法进行描述，而是采用比动作、日常语言描述等方式，在老师的引导下，后面回答的学生逐渐尝试使用数学语言，接着老师让学生将开始的做法抽象成数学模型.

本问题的主要目的是让学生通过经验活动，找出各种构造平行的方法，然后从各种构造方法中抽象出几何图形，实现从经验活动向抽象图形方向超越，从而让学生体会和感悟数学的抽象思想方法.

从几何图形中抽取分类几何

模型

【活动任务】 活动2：让学生将刚才所得的方法用示意图表示出来，经历从实际问题转化到数学问题的过程，并结合图形讨论这些做法的数学本质，归纳出垂直情况下八个角之间的数量关系.

【教学片断】 学生由前面的方法作出了示意图，老师引导学生对得到的数学图形进行分析.

师：根据所得的示意图，同学们观察每种方法是根据什么来证明a，b平行的.

生：图2和图5是利用已知平行得新的平行，图3、图4、图6、图7是借助第三条线的垂直关系.

师：观察第二类方法的示意图，你们可以提炼出什么数学模型？

接着学生得到这节课最重要的数学模型“三线八角”，此时是垂直的特殊情况（如图8）.

师：a，b平行的时候，这八个角有什么性质？

学生从相等和互补两方面分析了这八个角的性质.

师：任意作两条直线，我们又该如何判断两条直线平行呢？（由垂直过渡到一般情况）

【反思与评析】 从活动1到活动2，学生经历由原型结构抽象出数学结构的过程，得到了丰富的形式化图形，并对这些图形进行归类、分析，提炼出了本节课所需的数学模型，凸显了模型思想的结构化内涵. 通过活动将实际问题转化为数学问题，建立的数学模型由浅入深，能够提升学生对数学问题解决的认识，体会模型的思想. 模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，在初中数学学习和问题解决中占有重要的地位，因此在教学中渗透模型思想至关重要.

在探索条件中渗透推理思想

【活动任务】 在垂直情形的基础上让学生分组讨论b，c不垂直时形成的八个角满足什么条件时a，b平行. 让学生充分经历解决问题的过程，类比垂直情况探索得到一般情况下同位角、内错角的数量关系，突出本节课的重点.

【教学片断】 教师用几何画板对模型进行直观演示，通过改变角的度数，让学生观察各个角之间的不变关系.

师：同学们可以从这些方面进行思考——（1）从垂直向一般情形转变的过程中，角度大小有什么变化；（2）角度之间的关系有哪些变化；（3）考虑两对角，都变小的角有什么关系，变小和变大的角有什么关系，其他角的关系是否可以通过这两对角的关系来转化.

生1：∠1、∠5、∠3、∠7变小了，∠2、∠6、∠4、∠8变大了；∠1=∠5，∠3=∠5，∠1+∠2=180°.

生2：∠2+∠5=180°，∠5+∠6=180°，∠2=∠6.

此处学生还有一些类似的回答，但都缺乏逻辑性.

师：以∠1为基准，观察下面的四个角与∠1分别满足什么条件时两直线平行，并写出你的结论.

学生按照老师的要求对16对角之间的关系进行了有序的梳理.

师：通过这些角之间的关系我们就能判断任意两条直线平行. 如果按照位置对这16对角进行分类，该怎么分呢？怎么对它们命名？（下课铃响）这两个问题就留到下节课再讨论.

【反思与评析】 由垂直情形转化到一般情形的过程包含了由特殊到一般的思想，老师的引导性提问有助于学生思考. 老师先对垂直情形下八个角的关系进行分析，再由学生类比垂直情形分析一般情形，这个过程包含了类比思想. 在两个活动中，学生经历了观察、操作、抽象、推理、交流等过程，根据活动中获得的数学知识与经验归纳出本节课的重点“两直线平行的条件”，包含了归纳的思想，而这两种思想就是推理思想的体现.

在这个过程中，老师有意识地引导学生对问题进行有序分类，渗透了分类思想. 分类，可以使大量繁杂的材料条理化、系统化，能培养学生思考的周密性、条理性，对提高学生的思维能力、解决问题的能力有很大的作用. 分类思想贯穿整个中学数学教学，所以将分类思想有效地融入日常教学活动中很有必要.

与教材的设计不同，本节课是将两节课的内容综合在一起展开探究，主要围绕两个活动展开. 这节课的活动设置不同于以往老师们设计的教学活动，来源于教材却高于教材，包含了丰富的数学思想，问题的描述也比较开放，有利于发散学生的思维. 老师在教学过程中也给学生留下了足够的时间进行探究，让学生在讨论的过程中充分感悟其中所蕴含的数学思想，同时也体现了学生的主体地位.

课堂中，数学活动是引导学生思考、探究的有效途径，也是数学思想的有效载体，因此好的数学活动能够发展学生思维的灵活性，使学生领悟到数学思想的真谛，凸显数学思想的认识价值，从而发展学生的思维. 什么样的活动能够包含丰富的数学思想，什么样的问题能够激发学生思考，需要老師们在设计教学时进行深刻的思考，而不仅仅是对教材进行复制. 希望本文可以给一线老师的活动教学设计提供参考.

本文特别感谢双流中学实验外国语学校罗宗绪名师工作室的支持.