试论小学数学的必备品格

徐文彬

【名家视线】

试论小学数学的必备品格

徐文彬

数学自有其必备品格，但就“小学数学”而言，其必备品格必须既具有数学的特性，又必须拥有教育的品格。也就是说，她应该能够培养学生“关联地想象”，以促进其学习；引导学生“数学地思维”，以发展其思维；帮助教师开展“基于三重联系”的教学，以改善其教学。

小学数学；必备品格；关联地想象；数学地思维；基于三重联系

数学自有其必备品格，譬如，数学的高度抽象、数学的逻辑严谨和数学的广泛应用，抑或数学的理想化、形式化与符号化等。但是，就“小学数学”而言，由于它是一个教育范畴，因此，其必备品格必须既具有数学的必备品格，又必须拥有教育的必备品格。具体而言，我们认为小学数学的必备品格应该能够：培养学生“关联地想象”，以促进其学习；引导学生“数学地思维”，以发展其思维；帮助教师开展“基于三重联系”的教学，以改善其教学。

一、促进学生学习：关联地想象

我们所生活的世界，不论是自然、社会、历史、文化、政治、经济、军事、娱乐等，还是我们的生理、心理、精神等，都是普遍联系与永恒发展的。而人类所发现与揭示的一切“客观规律”都是其基于这个世界普遍联系与永恒发展的想象，而其所发明与创造的一切“主观事实”则都是基于这一想象的创造。因此，学习就是学会“关联地想象”、甚至基于这一想象的创造。小学生的数学学习或小学数学的学习概莫能外。

数学哪怕就是小学数学，它也是我们人类的想象之产物，即人类大脑的思想产物。因此，小学数学就不仅应该告之小学生数与代数、图形与几何、概率与统计等其中的基本的数学事实，而且更应该通过这些基本的数学事实来帮助小学生“重温”其背后的想象过程及其基于何种关联。唯有如此，才能够真正发展小学生“关联地想象”，并促进其学习。

譬如，仅就小学数学中的加、减、乘、除四则运算的学习而言，我们教师通常都会在实际情境中或在学生已有数学知识基础上导入“运算的必要性”，展开教学，并引导学生自主编制有实际意义或数学意义的问题情景：这里存在着无限的可能，但实际教学的结果却是有限的选择。但是，如果我们还能够在此基础上更进一步，即引导学生就某个或某些具体的算式，来设想其尽可能多的实际背景或数学意义，也许更能有效地发展学生“关联地想象”，因为这里还存在着另一种无限的可能：一对多或者有限对无限。

再譬如，仅就小学数学中的“可能性及其大小”的学习而言，我们教师通常都会以“摸球试验”来展开教学活动，并从大量的实验结果来推测：球袋中各种球的颜色、各种颜色球的多寡等。但是，当球袋打开时，其中各种颜色的球及其多寡并不一定与我们的推测一致！这其实正是我们概率推理之实质：我们只能根据我们的观察或试验结果来推测（其实就是“关联地想象”）事物发展的真实情况。因为，很多情况下“球袋”我们是根本打不开的或者不能打开的（譬如，微观世界、宏观世界，社会现象、经济现象、政治现象，个性、个人心理、人类大脑等）。问题是，我们的实际教学果真如此吗？还只是作者个人的设想？

又譬如，仅就“特殊四边形的关系”的学习而言，为什么我们只能规定 “只有一组对边平行的四边形是梯形”，而不能想象“有一组对边平行的四边形是梯形”？其实，前者可能是基于现实的抽象（当然也是想象）（譬如，水渠的横截面、堤坝的横截面等），而后者则是基于逻辑的想象（譬如，与其他特殊四边形内在属性的一致性，如面积公式的统一性）。前者可谓常规的学习与教学，而后者则是数学探究学习的上佳案例。

二、发展学生思维：数学地思维

“数学地思维”不仅包括从各种“客观现实”中抽象出数学概念、原理、法则等，以及把这些数学概念、原理、法则等运用于各种“客观实际”以解决问题，而且还包括其中的“数学概念、原理、法则等之间的纯粹逻辑演绎关系”。就其实质而言，“数学地思维”就是“首先要在大脑中解决问题”。

仅就小学数学的学习而言，我们教师也应该促使小学生逐步明了数学对象的人类大脑建构之特点（而非现实世界的模仿），渐渐感悟数学特征的逻辑演绎之特性（而非实际的经验事实之概括），初步把握数学思想方法的建模之属性 （而非现实模型的实际建构），点滴体悟数学追求的逻辑一致性之目标（而非客观的现实矛盾之解决）。

譬如，仅就小学生所学习的各类数学对象：数字或数（如自然数、整数，分数、小数等）、四则运算（加、减、乘、除）、几何对象（如点、线、面，三角形、四边形、圆形，平移、旋转、对称等）、概率（人类经验中只有频率而无概率，概率只是人类大脑对频率“背后依据”的推测或预设，所以，这里存在着主观概率与客观概率之争）等，都不是我们对现实世界的模仿，它们都是我们人类大脑的主观建构。

再譬如，仅就小学一年级数学中的“十加几等于十几”的学习而言，教师们通常都会“联系实际”，以强化其记忆或运用：一位老师带领十位同学去公园游玩，请问要买几张门票？参考答案是11张（10+1=11）。如果小学生有其他回答，我们教师一般都会判错，甚至认为该学生可能缺乏“数学地思维”。其实，真实的情况可能要复杂得多，而该学生就极有可能拥有这些复杂的经验事实之一二：教师无须买票、全票与半票问题、公园免费问题、不知公园为何物等。由此亦可见，数学确实不是客观的现实矛盾的解决之道，它极有可能仅仅只是其实际解决之前在大脑中的一种可能的解决。

又譬如，仅就小学数学中的运算律的学习而言，我们教师通常都会在“加法交换律与结合律”的学习基础上，引导小学生去猜想其他运算可能存在的运算律：这里存在“乘法交换律”和“乘法结合律”的可能，但几乎不存在减法交换律或减法结合律的可能。因为除了“a=b时，a-b=b-a”之外，没有其他可能，而且除了“c=0 时，（a-b）-c=a-（b-c）”之外，也没有其他可能。但是，教学中就有不少学生也有不少教师就给出了“减法交换律”或“减法结合律”的数学猜想。殊不知，尽管数学猜想需要正面的实例，但已知的大量数学事实中却不能有反例（譬如，不够减、两步加法运算、两步减法运算等）。更为重要的是，学习中的学生与教学中的教师均在没有给出“正面的实例”情况就给出了上述关于减法的运算律之数学猜想。由此我们可以推测：师生此时缺乏必要的数学猜想之思维——大量数学事实，且目前没有反例之基础上的数学想象。

如果在学生“机械模仿”时，我们教师能够适时引导学生思考诸如：“有实例吗？具体说说、写写好吗？”“存在反例吗？具体说说、写写好吗？”“我们提出数学猜想时，应该考虑哪两点？”“再想一想：我们是如何提出‘加法交换律’和‘加法结合律’这两个猜想的？我们又是如何进一步确信这两个猜想的？”这些问题，那么，学生“数学地思维”就会得到逐步改善与不断提升。

三、改善教师教学：基于三重联系

“基于三重联系”就是我国“义务教育数学课程标准”所强调的，数学教育教学应该注重数学知识之间的联系、数学与其他学科之间的联系、数学与儿童生活和社会经验之间的联系，以帮助学生获取“数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”，并引导学生“运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”。唯有如此，我们教师才有可能真正不断地改进甚至改善自己的数学教学。

就小学数学知识之间的联系而言，不仅存在着数与代数、图形与几何、统计与概率等各领域知识内容间的联系，而且还存在着其中任何两者以及三者之间的联系。譬如，仅就“数与代数”中的算术与代数之间的联系而言，我们教师不仅应该明了“算术只是数字的代数即特殊的代数，而代数则是字母的算术即一般的算术”，而且还应该在算术的教学中渗透代数之变换思维，以培养学生灵活运用算术之程序思维。而准变量及其表达式可能就是一个很好的教学设想：在算术运算教学中引入“准变量”和“准变量表达式”这两个概念，并加以有效运用。如“37-29=（37-30）+1”中的“37”和“29”就是准变量，而它本身就是一个准变量表达式，因为它蕴含着这样一个代数式：a-b=a-（b+1）+1（涵盖了我们通常所说的“凑整十数”）。

就小学数学与其他学科之间的联系而言，数学与科学的联系最为紧密，尤其是在“数与量的关系”当中，这种联系则显得更为明显。譬如，在“分数的初步认识”当中就蕴含着“数与量的关系”，因而也就隐含了“数学与科学的联系”。不仅如此，这里其实还存在着更多的数学与科学的联系与区别：“科学中的平均分”似乎都是会有误差的，而“数学中的平均分”是绝对不容许有任何误差的。那么，如何进行“数学中的平均分”呢？其实，没有任何具体现实的办法——这是科学的问题；只有在大脑中理想化、抽象化、形式化地平均分——这是数学思考的方式方法。

就小学数学与儿童生活和社会经验之间的联系而言，尽管近现代数学的发展给人以“越来越远离我们的生活”之印象，但是，数学的起源与发展无时无刻不与我们的生活紧密相连。小学数学基本上都属于“初等数学”的范畴，几乎毫无例外地都与儿童生活和社会经验联系紧密。因此，在小学数学教学中联系儿童生活和社会经验来展开学习活动是极其自然的事情。但是，实际教学中却时常会出现“把成人过时的经验当成当下儿童的经验”等问题。譬如，上述“十加几等于十几”的案例便是。由此可见，“体会数学与生活的联系”这句话虽然简单，但是要把它运用得恰到好处往往却并不是一件很容易的事情，它需要我们真心地对待儿童、数学与我们自己。

如果小学数学能够做到上述三点，我们就认为她具备了其应具备的必备品格。但这仅是作者个人关于“小学数学的必备品格”所做出的初步思考，仅供参考与批判。

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G623.5

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1005-6009（2017）33-0016-03

徐文彬，南京师范大学课程与教学研究所（南京，210097）常务副所长，教授，博士生导师。