浅谈抛物线焦点弦的性质及应用

张贺开

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫作抛物线。由于抛物线定义的特殊性，使得它有许多其他圆锥曲线所没有的特征，特别是抛物线过焦点的弦的性质尤其突出，同时也是高考中经常要考查的内容。

设抛物线的方程为y2=2px（P>0），过焦点F

，0作倾斜角为θ的直线，交抛物线于P、Q两点，则线段PQ称为抛物线的焦点弦。

抛物线的焦点弦具有以下性质：

性质1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1y2=-p2，x1x2=。

证明：①当θ=90°时，PQ方程为x=，代入y2=2px中有y2=p2，

即y1=p，y2=-p，∴y1y2=-p2.。

②当θ≠90°时，设直线PQ斜率为k，则

PQ方程为y=k

x-与y2=2px联立，消x后得到：

ky2-2py-kp2=0，∴y1y2=-p2。

因为y2

1=2px1，y2

2=2px2，所以y2

1·y2

2=4p2x1x2，

所以x1x2===。

例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴。

证明：为了方便比较，可将P点横坐标及Q点纵坐标均用P点的纵坐标y1表示，

∴P，y1，Q（x2，y2），但y1y2=-p2，∴y2=-，

PM方程是y=x，当x=-时，y=-即为M点的纵坐标，这样M点与Q点的纵坐标相同，故MQ∥Ox。

例2 设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则·=______。

A. B.- C.3 D.-3

解析：设弦的两个端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），x1x2=，y1y2=-P2，∴·=x1x2+y1y2=-p2=-=

-，故答案选B。

性质2：抛物线焦点弦的长度：AB=p+（x1+x2）=。

证明：分别做AA1、BB1垂直于准线l，由抛物线定义得|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p。

且有|AF|=|AA1|=|AF|·cosα+p，

|BF|=|BB1|=p-|BF|·cosα，

于是可得|AF|=，|BF|=。

∴|AB|=|AF|+|BF|=+==。

故命題成立。

例3 已知圆M：x2+y2-4x=0及一条抛物线，抛物线顶点在O（0，0），焦点是圆M的圆心F，过F作倾斜角为α的直线l，l与抛物线及圆由上而下顺次交于A、B、C、D四点，若α=arcsin，求|AB|+|CD|。

解：如图3所示，方程x2+y2-4x=0，表示图的圆心为（2，0）即为抛物线的焦点，

对于上述结论，重在考查抛物线的定义、直线方程、根与系数的关系等知识的综合应用，考查数形结合的数学思想，在处理客观题时，可以提高思维起点，迅速求解。

（作者单位：河南省上蔡第一高级中学）