基于GIS的Horton水系分维值估算——以韩江流域为例

郑楠炯，周买春，刘 远

(华南农业大学 水利与土木工程学院，广州 510642)

B. B. Mandelbrot提出分形学以来[1, 2]，分形学在多个学科得到广泛运用。分形是指没有特征长度但具有一定意义下的自相似图形和结构[3]，水系是一种分形对象。R.E. Horton(1945)和A.N. Strahler(1952)研究河网结构时总结出Horton定律，在一个流域内，采用Strahler水系分级，河道的数目、长度、流域面积等随河道的级数呈几何级数变化[4, 5]，研究表明，天然河网Horton比一般变化范围是：分枝比为3～5，长度比为1.5～3.0[5, 6]。P. LaBarbera和R. Rosso(1987)研究河道分支结构与分形的联系，提出了基于Horton定律的水系分维值计算方法[7]。

水系的分维反映了水系的发育程度。水系分维值越大，支流数目越多，分枝比越大，河网密度越大，河道越弯曲，发育程度越好[8-10]。目前运用较广的估算水系分维的方法主要有两种[11]：一种是基于分形的定义，即盒维数法；另一种是基于Horton定律。基于Horton定律的分维值大于基于分形定义的盒维数值[12, 13]。

Horton定律是水流在重力作用下随机发育的必然结果，比较准确地反映河网水系结构特征[14]。王大鹏等(2006年)研究表明太湖流域水系具有河长分维值北小南大、河网分维值西小东大的特点[15]；凌红波等(2010年)研究表明1958-2006年玛纳斯河流域水系变化满足Horton定律[16]；刘凯等(2010年)计算不同时期新丰江流域水系分维值，分析其水网结构的演变过程，发现水网结构呈简单化及主干化发展[17]；王小军等(2014年)利用Horton定律计算灌区渠系分维值，研究分维结构与渠系用水效率的关系，灌区渠系分维值过大或过小都不利于用水效率的提高[18]。

利用Arcgis平台基于DEM计算水系分维值已普遍运用，不同于多汇流阈值下盒维数法的研究[19, 20]，变化汇流阈值下的Horton定律的水系分维值却鲜有研究。基于此，本文选取华南地区的韩江流域为研究区域，基于DEM提取数字河网，采用合适的算法准确便捷地统计数字河网信息，计算系列阈值下的韩江流域分维值及其9个子流域的分维值，并提出河网分形特征不明显时不统计最高级河道信息的分维值计算方法，为Horton定律计算分维值研究提供方法参考。

1 研究区域

韩江流域覆盖广东东部、福建西南部、江西东南部，包含汀江、梅江、韩江等，东经115°13′～117°09′、北纬23°17′～26°05′。流域集水面积30 112 km2，干流总长度428 km，河床平均比降0.39‰，属亚热带季风气候，多年平均降雨量1 407～2 143 mm，多年平均蒸发量996～1 406 mm。地势自西北和东北向东南倾斜，丘陵与谷地相间，山地占总流域面积的70%。山地丘陵的植被是以马尾松为主的次生林地，台地、盆地和平原多为农作物。以流域内9个水文站点将韩江流域划分成9个独立的子流域，研究区域不考虑包含潮安水文站以下的沿海三角洲河网(集水面积1 035 km2)，研究区域见图1。

图1 韩江流域地理位置及子流域划分Fig.1 Geographical location and the sub basins of Hanjiang River basin

2 研究方法

2.1 数据来源

数据源的精度会对Horton定律计算产生相当大的影响，主要来源于可辨识的一级支流的不同[6]，刘远等(2012年)对比分析HYDRO1K、SRTM、ASTER GDEM三种DEM提取韩江流域的河网，发现基于SRTM的河网精度最好[21]，本文采用中国科学院计算机网络信息中心的地理空间数据云(http:∥www.gscloud.cn)90 m分辨率的SRTM DEM数据。

2.2 Horton定律与分形

Horton定律反映水系结构特征，采用Strahler河网分级法(直接发源于河源的河道为一级水系，两条同级别的水系构成更高一级，两条不同级别的水系汇合级别取较高者)，Horton定律中河数定律、长度定律表达式如下[4, 5]：

Nu=R(s-u)

(2)

RB=Nu/Nu+1

(3)

RL=Lu+1/Lu

(4)

式中：Nu、Lu分别为级别u的河道数目、平均长度，以此类推。

低级河道并不完全汇入高一级河道，而是有部分直接汇入到更高几级的河道，对于多级河道的分枝比和长度比，采用统计意义上的平均法计算整个水系的平均分枝比和平均长度比[22, 23]：

(6)

式中：RB(u,u+1)、RL(u,u+1)分别为相邻u、u+1两级河道分枝比、长度比；Nu,u+1、Lu,u+1分别为相邻u、u+1两级河道的数目和、平均长度和。

由河道分支结构与分形的联系计算水系分维值D[7]：

(7)

2.3 基于DEM的数字河网的生成及河道特征统计

基于Arcgis平台的水文分析模块，将原始DEM填洼、确定水流方向、设置汇流阈值、河道分级，提取不同集水阈值下的河网[24]，本文设置系列汇流栅格数阈值为1，10，20，…，300，400，500，600(单位：个)。将数字河网特征信息导出为Excel表，统计系列阈值下河道的各级数量和长度。

统计各级河道的数目时，Arcgis的河道分级算法使当级连续的河道被上一级河道分割成多段，如图2所示，最上方的一条2级河道被多条1级河道分割成3段，3级河道(干流)被低级河道分割成4段，实际上3级河道数目是1，因此直接查询河网属性表的河道数目则不准确。考虑到源头河道不再分支，且不会被分割，其数目的统计是准确的，因此统计完第一级河道信息后，利用Arcgis的重分类(Reclassify)功能，赋值第一级河道为空值(nodata)，移除第一级河道，使第二级河道在没有低级河道时成为“源头”河道，再统计其数目和长度，既简便又准确，接着移除该级河道，再统计下一级河道信息，按此方法从低级到高级逐次移除低级河道并统计河道信息。河网提取、河道逐级移除、河道特征信息导出Excel过程在Arcgis的模型构建器(Model Bulider)实现批量、循环、自动化处理，技术路线见图3。

图2 河网分级及河道分段示意图Fig.2 Diagrammatic sketch of stream orders and segmentation

图3 河网提取及统计分析技术路线图Fig.3 Technology roadmap of drainage networks extracting and statistical analysis

3 结果与分析

3.1 韩江流域的分维值

计算的系列阈值下的河网分枝比、长度比和分维值描绘于图4。

根据Horton定律，不同级别的河道数目之比、河道长度之比为常数，韩江流域河网在不同汇流阈值下的分枝比接近固定值4.51，但长度比随阈值变化在数值2.0上下波动，均值1.98，水系分维值最小值1.766，最大值3.661，随阈值变化幅度大，且大都接近或大于2，由系列阈值的分枝比的均值、长度比的均值根据式(7)，计算韩江流域水系平均分维值为2.21。

大多数天然河网符合Horton定律的线性规律，但由于DEM水平和垂直分辨率、不合理的洼地地形及河网提取算法等问题，基于DEM提取的河网会存在错误的河道，如汇流阈值较小时的河网有着密集的低级河道、平行河道及衍生的虚假河道等，以观音桥子流域为例，阈值为0.081 km2(10个汇流栅格×单元格面积0.092km2)的河网及部分错误河道如图5所示，低级河道特征偏离自然实际状态，统计时存在误差。

韩江流域阈值变化时，在一定的有限阈值范围内，随着阈值的增大，分维值也逐渐增大，见图4(b)。阈值的增大造成对细小河道进行舍弃，河网趋于简单化，河网的分级在阈值增大到一定的临界值时会产生河道级数的变化(减小)，此时河道分枝比、长度比相应地发生较大的改变，从而分维值骤减，然后又逐渐增大。以韩江流域汇流栅格数阈值110个(汇流面积阈值0.891 km2)和120个(汇流面积阈值0.972 km2)的河网为例，河网的信息列于表1。

图4 韩江流域系列阈值下的河网分枝比、长度比及分维值Fig.4 The branching ratios, length ratios and fractal dimension in series conflux thresholds of Hanjiang River basin

图5 观音桥子流域河网及一些错误河道示例Fig.5 The drainage networks and some examples of wrong rivers in Guanyinqiao basin

汇流栅格数阈值从110增大到120时，阈值的增大忽略了小河道，河道级数从8级减小为7级，河道统计长度减少880 km，河道统计数目减少906条，由式(5)、(6)计算的分枝比皆为4.48，长度比则阈值110的河网为1.65，阈值120的河网为2.25，相差大。由式(7)计算的平均分维值前者是2.98，后者是1.85，不考虑分维值的合理性下，系列阈值下的河网分维值变化范围大，选择合适的阈值提取河网用以计算分维值至关重要。

表1 韩江流域两种阈值下的河网特征表Tab.1 The drainage networks characteristics in two conflux thresholds of Hanjiang River basin

3.2 不考虑最高级河道时韩江流域的分维值

由表1，低级河道时，相邻两级的分枝比、长度比为近似的固定值，对于高级河道，如干流，数目为1，平均长度最长，其相邻分枝比、长度比与低级河道的差别大。罗文锋等(1998年)认为分支网络端头的维数比网络整体的维数更有意义[25]，刘乐等(2015年)研究表明，位于青藏高原内部的非最高级别河流属性符合Horton定律，而最高级别河流属性与Horton定律有较大的偏离[26]。分形对象具有自相似性，河网属于分叉结构，但干流几乎贯穿整个流域，以及较低级的河道的汇入，影响河网形状的自相似性。因此，不统计最高级河道(干流)的数量和长度，重新计算韩江流域系列阈值下的水系分维值，与整个河网(有统计干流信息)的分维值结果列于表2。

表2 不统计最高级河道时韩江流域分维值Tab.2 The fractal dimension of Hanjiang River basinwithout counting the highest-level channels

不统计干流时分枝比均值与整个河网的分枝比均值相同，长度比均值则变大，计算的平均分维值为1.53，介于1～2之间，数值范围合理。

3.3 韩江各子流域分维值

分别提取各子流域系列阈值下的河网，统计子流域河道特征并计算分维值，同时计算不考虑最高级河道时的河道特征及分维值，结果列于表3。

表3 韩江各子流域河网特征及分维值Tab.3 The drainage networks characteristics and fractal dimensionof each sub basins of Hanjiang River basin

注：RB表示子流域河网的分枝比；R′B表示不包含干流时的子流域河网的分枝比，以此类推。

如同韩江大流域，子流域整个河网与不包含干流时的分枝比均值相近，长度比均值前者小于后者，由9个子流域分枝比均值和长度比均值计算的平均分维值是1.91，不统计干流信息时的河网平均分维值是1.64。不包含干流时，观音桥子流域、溪口子流域的长度比均值较其余子流域的长度比均值大，且大于长度比的一般范围最大值3；上杭子流域、杨家坊子流域、潮安子流域的高级相邻河道的分枝比与低级相邻河道分枝比接近，河网分形结构好，因此以上5个子流域分维值采用完整河网的分维值，其余子流域分维值采用不统计最高级河道时的分维值，在表3中数值以加粗表示。按以上方法选取的9个子流域分枝比均值4.51，长度比均值2.66，平均分维值1.54，与韩江整个流域不包含干流时的河道特征和分维值较为一致。基于DEM的Horton定律的水系分维值计算，应当结合流域的河网结构、河道特征等合理选择是否包含干流，以统计河道特征和计算分维值。

4 结 语

利用Arcgis平台基于DEM提取系列阈值下的韩江流域及9个子流域水系，计算基于Horton定律的水系分维值。各级河道信息统计时，采用Arcgis重分类功能，从低级到高级逐次移除低级河道，再统计各级河道信息，简便又准确。

韩江流域系列阈值下的分枝比较稳定，均值4.51，长度比在数值2.0上下波动，均值1.98，分维值随汇流阈值的变化幅度大，由分枝比均值和长度比均值计算的平均分维值为2.21。由于阈值变化下河网密度的不确定性、错误河道的存在、低级河道直接汇入更高级河道等，统计的河网信息和计算的分维值有偏差。当不统计韩江流域最高级河道信息时，分枝比均值与整个河网的分枝比均值相同，长度比均值则变大为2.67，计算的平均分维值为1.53，介于1～2之间，在合理的范围内。

韩江流域的9个子流域分枝比平均值4.50，长度比平均值2.34，平均分维值1.91；不统计各子流域最高级河道信息时，分枝比平均值4.51，长度比平均值2.80，平均分维值1.64；结合两种河网信息统计方法，观音桥、溪口、上杭、杨家坊、潮安子流域采用完整河网的统计方法，宝坑、河口、水口、横山子流域采用不统计最高级河道的方法，计算的分枝比平均值4.51，长度比平均值2.66，平均分维值1.54，与韩江整个流域不包含干流时的河道特征和分维值较为一致。因此，基于DEM的Horton定律的水系分维值估算，应当结合流域的河网结构、河道特征值等合理选择是否包含干流，或者后续研究中，应当区分低一级河道汇入高一级河道与直接汇入高几级河道的情况，再统计河道特征和计算分维值。

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