导数在高考中的考查及常见的解题方法

曾倩宇

摘要：数学是高中课程中一门非常重要的基础学科，具有很强的逻辑性、抽象性和概括性。这让数学成为了很多学生学习的难点，学生甚至是迫于升学的压力才不得不学习的。而导数是高中数学课程的重要组成部分，也是高考的必考考点。高考趋势表明，导数已经上升到主角地位，成为分析问题和解决问题的重要工具。通过学习导数，还可以使学生学会以动态的、变化的、无限的变量数学观点来研究问题，有利于学生更好地掌握函数思想，进一步发展学生的思维能力，进而有利于学生学好其他学科。那么，如何才能使学生掌握好导数呢？在本文中，笔者就结合多年的教学实践提出导数在高考中的考查内容及常见的解题方法。

关键词：高中数学；导数；考查内容；解题方法

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）01-0110

一、导数在高考中的考试内容

1. 运用导数的有关知识，研究函数最值和极值问题

在考试中经常会遇到要求在一定条件下使“强度或功率最大”“用料最省或成本最低”“效率最高或生产过程最优”等问题，即求函数的最大值与最小值问题。利用函数的导数，求函数在区间[a，b]上的最大值及最小值。先求出方程y=0在区间[a，b]内的解，并计算出相应的函数值，再与区间端点a、b处的函数值比较，即可选出最大值与最小值及相应的x的值。

2. 利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率问题

高考考查的重点内容之一：求曲线的切线。例如，求曲线y=f（x）在点P（a，f（a））处的切线方程，过点（a，b）的直线与曲线y=f（x）的相切问题，或者求两个曲线y=f（x）和y=g（x）的公切线问题。

3. 运用导数的有关知识，研究函数的单调性

函数的单调性在高考试卷中，所占的地位是比较重的。求可导函数单调区间的一般步骤和方法：（1）确定函数f（x）的定义区间；（2）求f（x），令f（x）=0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；（3）把函数f（x）的间断点，即f（x）无定义点在横坐标上各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小区间；（4）确定f（x）在各小区间内的符号，根据f（x）的符号判断f（x）在每个相应小开区间内的增减性。

4. 运用导数研究不等式恒成立（或存在性）

利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数。通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题。

二、常见的几种解题方法

1. 求函数最值和极值

利用导数解决极值和最值问题的题型大概有三类：（1）求函数极值、最值。基本思路：确定定义域，找到疑似极值点，求出单调区间，求出极值，再求出最值。（2）已知函数极值，求系数值或范围。可以利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验；也可以转化为函数单调性问题。（3）已知最值，求系数值或范围。

例如：求函数f（x）=x3-3x在[-3，3/2]上的最大值和最小值。

解：由于f ′（x）=3x2-3=3（x2-1）=3（x+1）（x-1），则当x∈[-3，-1）或（1，3/2]时，f（x）>0，所以[-3，-1]，[1，3/2]为函数f（x）的单调增区间；当x∈（-1，1）时，f ′（x）<0，所以[-1，1]为函数f（x）的单调减区间。又因为f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（3/2）=-9/8，所以，当x=-3时，f（x）取得最小值-18；当x=-1时，f（x）取得最大值2。

例如：函数f（x）=3x4+4（1-p）x3-6px2-12p（1-p）x+12，0是函数f（x）的极值点。求实数p。

解：由于f ′（x）=12x3+12（1-p）x2-12px-12p（1-p），0是函數f（x）的极值点，所以，f ′（0）=12p（1-p）=0，p=1。

2. 求曲线的切线方程

这个内容的题型可以分成三种：一是求曲线过某一点的切线，二是求两个函数的公切线，三是过某一点的直线是否与曲线相切。例如：（1）求y=f（x）在x=a处的切线，直接求出f ′（x）在x=a处的值再带入公式即可。（2）求两个曲线y=f（x）和y=g（x）的公切线，解决这类问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。这时需要分别切这两个函数的切点为（x1，f（x1））和（x2，f（x2））；再建立x1和x2的等式关系，即：（x2-x1） f ′（x1）=y2-y1，（x2-x1） f ′（x2）=y2-y1；求x2、x1，进而求出公切线。

3. 已知函数的零点，求系数或求零点个数

题型1：判断函数零点的个数。

可以采用方程法、函数图像法、转化法、存在性定理等方法进行求解。

例如：设a∈R，f（x）=-1/3x^3+ax+（1-a）lnx。若函数y=f（x）有零点，求a的取值范围。

首先，f（1）=-1/3+a，

（1）若a≥1/3，则由于当x趋于正无穷时，f（x）趋于负无穷，且存在f（1）≥0，所以f（x）存在零点，也就是说a≥1/3满足条件。

（2）若a<1/3，f ′（x）=-x2+a+（1-a）/x=（x-1）（-x2-x+a-1）/x，

由于a<1/3，所以-x2-x+a-1=0无实数解（因为Δ<0），所以令f ′（x）=0得x=1

于是，不难发现，f（x）在x=1取到唯一的极大值也是最大值。

所以，f（x）max=f（1）=-1/3+a<0，所以f（x）没有零点。

综合（1）（2）可知，a取值范围为a≥1/3。

题型2：已知函數零点，求系数。

可以通过图像法（研究函数图像与x轴交点的个数）；方程法；转化法（由函数转化方程，再转化成函数，研究函数的单调性。）

例如：函数设函数f（x）=lnx+ax-1在（0，1e）内有极值。求实数a的取值范围。

解：函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）

求导函数f（x）=1/x-a/（x-1）2=x2-[（a+2）x+1]/x（x-1）2

∵函数f（x）=lnx+a/（x-1）在（0，1e）内有极值

∴f ′（x）=0在（0，1e）内有解，令g（x）=x2-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）

∵αβ=1，不妨设0<α<1e，则β>e

∵g（0）=1>0，

∴g（1/e）=1/e2-（a+2）/e+1<0，

∴a>e+1/e-2

4. 证明不等式恒成立

证明不等式的问题主要有以下三种方法：（上接第110页）（1）构造函数，研究单调性、最值、得出不等关系，有的涉及不等式放缩；（2）讨论法，（3）研究两个函数的最值。如证f（x）>g（x），需证f（x）的最小值大于g（x）的最大值即可。

例如：设f（x）=-x（x-a）^2（x∈R）其中a∈R，当a>3时，证明存在k∈[-1，0]使f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）对任意x∈R成立。

解：f ′（x）=-3x2+4ax-a2=（-3x+a）（x-a）

所以a/30函数为增函数

xa时候为减函数

由a>3得x<3/3=1的时候函数必为减函数

k-cosx与k2-cos2x在k∈[-1，0]时候的值都是在1以下

所以由f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）

得k-cosx≤k2-cos2x

也就是（k-cosx）（k+cosx-1）≥0而k+cosx-1≤0

所以k-cosx≤0

k≤cosx cosx∈[-1，1]

所以k=-1时能够保证对于任意的x∈R都成立。

5. 求函数的单调区间

这方面的内容主要有三大题型：（1）求函数的单调区间。（2）已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。可以研究导函数讨论，可以转化为f ′（x）≥0或f ′（x）≤0在给定区间上恒成立的问题，也可以利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集。（3）已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。可以研究导函数是零点问题，再检验，也可以直接研究不单调，分情况讨论。

总而言之，要学会导数部分，就必须找到合适的解题方法，加强练习。作为数学教师，我们应该积极探索，提高自身的教学水平。

（作者单位：广西钦州市钦州三中 535000）