泛函分析教学改革探讨

吴 正，潘 欣，王良龙

(1.安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥230601；2.安徽大学 江淮学院，安徽 合肥230039)

十九世纪末到二十世纪初，为探求结论、方法的一般性与统一性，分析数学日趋抽象化。同时，很多学科在思想和方法上具有相似之处，尤其是经典分析、变分学、积分方程等学科，急需建立对同类型对象抽象化的统一处理的方法与理论。在此情形下，泛函分析应运而生，并在数学物理和量子力学等学科研究应用中取得巨大成功。此后，在众多学科研究的需求刺激下，泛函分析得到巨大发展。时至今日，泛函分析在数学乃至自然科学中地位都十分重要，其思想、方法已经渗透到许多学科，比如，微分方程的现代理论、调和分析、随机过程与随机分析学、计算数学、控制论、现代物理、计算机科学、生物数学、经济数学等等，并在这些学科的发展中起到巨大作用，已经成为很多学科研究的必备知识。

由于泛函分析的广泛应用性，目前，在国内外的许多高校中，很多学科已经将泛函分析加入到本科培养方案[1]。本科阶段，泛函分析内容主要包含三部分:(1) 空间理论；(2) 空间之间的映射理论；(3) 空间理论及映射理论在其它学科的基本应用。第一部分重点阐述几类具有拓扑结构或代数结构的空间相关性质，核心内容是线性赋范空间与内积空间。第二部分重点讨论空间之间的线性算子相关性质，尤其是线性泛函性质。第三部分一般是通过典型例题，介绍泛函分析在不同学科的应用，彰显泛函分析广泛的应用性。

简而言之，泛函分析以具有拓扑结构或代数结构的线性空间之间映射为主要学习内容，综合应用代数、几何和分析等现代数学观点，深入讨论无限维向量空间上的泛函、算子和极限理论。泛函分析可以理解为解析几何与数学分析在无穷维向量空间的推广，其抽象地概括了经典分析、函数论等重要学科中的许多经典结果。由于泛函分析的广泛性与深刻性，泛函分析理论内容、技巧和方法对数学专业和相关非数学专业都极其重要的。熟知泛函分析的基本内容，理解泛函分析的基本思想，掌握泛函分析基本方法与技巧是本科泛函分析学习的重点，也是后续研究生阶段学习、科研的基础所在。

然而，正是由于泛函分析理论的高度抽象性与广泛的应用性特点，本科阶段《泛函分析》在教学上极具挑战。(1)泛函分析中概念抽象，结论深刻；(2) 方法独特；(3) 内容繁多，任务繁重。这些都给泛函分析教与学带来很多困难。教授该课程时，教师有“三难”：难透彻、难深入、难把握。对于教师，如何透彻解释概念与定理、如何深入剖析定理的证明与应用以及如何把握教学内容宽度及深度，都极具挑战。学习该课程时，学生也有“三难”：难理解、难掌握、难应用。对于学生，如何理解概念与定理、如何掌握定理证明思想与方法以及如何应用所学内容解决问题，都是很大的困难。目前，泛函分析教学过程中，教师大多给出大量的定义、定理与推论，侧重理论推导，而对概念的抽象背景与理论的应用背景很少提及；多数学生在初学这些概念时, 十分抽象，难于理解，课堂上只能听与记，导致主观思考与能动性丧失。最终，对有关理论的学习和运用不知所措，给人以“如入宝山而空返”之感[2]。如何解决这些问题，在泛函分析教学中至关重要。

1 整合教学内容

1.1 优化教学内容

为了提高教学效果，对教学内容整合与优化十分必要。在整合优化过程中应该注重以下几点。

(1)优选知识点。泛函分析内容庞杂，在知识点选择上，要注重内容的完整性、层次的连贯性和逻辑性。以空间论为例，对于三大空间：度量空间、赋范线性空间、内积空间，它们的关系是由一般到特殊，性质越来越多，越来越好。因此，在内容安排上应该先介绍度量空间，其次赋范线性空间，最后学习内积空间，符合逻辑顺序，方便学生接受。

(2) 优化理论证明。泛函分析很多定理的证明，方法独特，技巧性强。平铺直叙给出证明，不利于学生理解和掌握。在证明过程中，首先，应该强调证明方法与思路；其次，给出证明步骤；最后，清晰地给出每个证明步骤的详细证明。

(3)优化例题与习题。泛函分析中里题目来源很广泛，比如实变函数、数学分析、高等代数等等，难度层次不同。例如，来源于实变函数的例题在解题过程中偏重实变函数分析技巧，十分繁复，如果在课堂中详细讲解，不但需要大量时间，而且冲淡教学重点。因此，优化例题，有助于教学内容重点突出，方便学生对重点内容的理解与掌握。此外，泛函分析题目难度差异大，对于不同基础的学生，应该选用不同难度层习题。对于习题的难度层次化，有利于学生掌握基本知识与方法，并循序渐进拔高泛函分析水平。

1.2 精选教材

泛函分析教材的选用对泛函分析的教学至关重要。一本好的教材，不仅便于教师备课与教学，而且有利于学生预习与自学。因此，针对授课对象的实际情况应该采用相应的教材。 目前，主要使用的泛函分析教材，内容各异，各有特点。高等教育出版社出版的程其襄等编著的《实变函数与泛函分析基础》[3]一书，以通俗易懂的形式介绍了泛函分析的核心内容，包括度量空间、赋范线性空间与内积空间三大空间，以及线性算子与线性泛函的基础概念与基本定理，是目前师范院校广泛采用的泛函分析教材。武汉大学刘培德编著的《泛函分析基础》[4]，详细阐述泛函分析基本内容，对于基础较好学生是一本不可多得的教材与参考书。北京大学出版社出版的张恭庆编著的《泛函分析讲义》[2]上册针对于本科生教材，该教材比较适用于数学专业本科生，里面例子多以偏微方程应用为背景，对于后续偏微分方程研究有很大帮助。高等教育出版社出版的夏道行等编著《实变函数与泛函分析》[5]下册是泛函分析内容，该教材内容十分丰富，例题解答详细，非常适合初学者。

2 改进教学方式与方法

教学方法应该结合实际，切实可行。结合学生的基础，利用通俗易懂的例子，由浅入深，逐步归纳引入，努力使概念、结论形象化、具体化，最大程度让学生接受学习内容。

2.1 重视概念

泛函分析学习中会遇到很多高度抽象的概念，对这些抽象概念准确的理解和掌握是后续证明推理的前提。教学中，如果学生对于概念只停留在死记硬背上，不能深刻理解其背景与本质，将对后续学习造成阻碍，甚至混乱。因此，对概念的理解和掌握是整个泛函分析教学的一个关键环节。为了让学生更好理解掌握概念，教学中应该注意以下三点。

(1) 注重来源。泛函分析中概念都是从具体应用中抽象而来的，很多概念是在具体空间中相关概念的推广。比如空间的范数、内积、完备性等概念实际都是具体空间相关概念在抽象空间的推广；算子的范数、最佳逼近元等很多概念，都是科学研究需要而产生的。教学过程中，弄清概念的来源，就会化抽象为具体，便于学生理解与记忆，学生就很容易掌握。

(2) 注重本质。有些概念的本质非常重要，抓住本质，就很容易理解掌握。比如泛函分析空间的同构会多次提到，有线性空间的同构、度量空间的等距同构、赋范线性空间的同构、内积空间的同构等，这么多类型同构，如果全凭记忆，难记且容易混淆。但是如果抓住同构的本质，即两个同类型空间结构相同，就很容易理解和记忆这些概念。

(3)注重类比。泛函分析中有些相似概念却有本质的区别，有些相似概念既有内在联系又有不同。比如，稠密集与致密集看起来好像意思相同，其实不然。稠密集刻画的是两个点集的关系，致密集刻画一个点集的性质。再比如，有界集与完全有界集，强收敛与弱收敛等有内在联系，但在一定条件下又有区别。教学过程，这些概念有必要分析区分，以加深学生的理解与记忆。总之，易混淆概念要对照分析，多以以图形、表格、注释等简明易懂方式对所学内容归纳总结，运用类比、联想、归纳、划归的数学研究方法，把有限维空间的代数结构和几何特征延伸、拓展达到无穷维空间[6]，力求学生理解、记忆与掌握。

2.2 以问题为导向学习理论

由于泛函分析理论具有高度抽象性，如果在课堂上直接灌输，大多数学生会不知所云，难以接受。但是，如果针对重要的定理，设置相应的问题，学习效果就大不一样了。首先，设置问题后，学生听课会更有目的性，带着问题会更有收获。其次，引导学生思考如何解决问题，激发学生学习的兴趣与主动性。最后，教师抽丝剥茧，对问题逐一解答，这样学生更容易理解和掌握定理。以问题为导向学习理论，可以更好地培养学生的观察、分析、想象与等重要的数学能力，提高学习泛函分析的兴趣与效率。

3 加强课后练习与辅导

要学好泛函分析，仅仅课堂花功夫是不够的，课后练习与辅导同样很重要，只有通过切实有效练习与辅导，才能最终掌握所学并加以应用。

3.1 根据学生基础，选用合适难度练习

由于泛函分析题目难易程度差异较大，可以针对不同层次的学生，选用不同层次的题目。对于学生而言，每一次做题都是弥足珍贵的实践，一次独立思考自我提升的机会。但是，如果题目难度过大，久思不得其解，不仅收获少，而且增加学生学习的挫折感，不利于后续学习。选择合适的习题，不仅能巩固所学，学有所获，而且能树立学生继续学习下去的信心。当然，适量的难题也是必要的，可以培养学生攻坚克难、永攀高峰的勇气。

3.2 注重习题“质”与“量”的关系

处理好习题“质”与“量”的关系在泛函分析教学中有着举足轻重的作用。首先，习题的质量是关键。一道好的习题，应该具有灵活性与启发性。这样的习题，不仅可以增进理解，巩固所学，而且还可以培养学生分析问题和解决问题的能力。其次，习题的数量是保障。当然，习题数量不是越多越好，关键要掌握一个度。练习少了，不能达到熟练掌握的目的，但是习题量过多，学生疲于应付，反而适得其反。总之，课后习题要遵循“适度且精，锻炼能力”的原则。

3.3 多渠道强化课后辅导

泛函分析课后辅导，是泛函分析教学必不可少的一个环节。传统的课后辅导方式是师生面对面直接接触交流。这种模式，虽然很有效，但是局限性也很明显。例如，组织课后辅导，师生时间、地点难以协调，而且，学生的疑问不能及时解答。随着科技发展，人与人之间的交流的方式发生巨大变化。课后辅导方式也应该与时俱进。首先，建立学习网页。该网站主要介绍泛函分析的发展历史与应用背景，并提供相应的习题供学生选做。其次，建立网络交流平台。通过该平台，不仅可以及时了解课堂教学效果，而且还可以一起分享学习资料与学习心得。最后，利用网络通讯工具。利用网络通讯工具，可以有针对性地对有疑问的学生进行辅导。有疑难问题的学生，可以通过拍摄图片或录制语音等方式，第一时间与老师了寻求帮助。

总之，在泛函分析课程教学过程中，不仅让学生掌握所学内容，而且要提高学生抽象思维、分析、推理等数学能力。教师应该精选教材，优化教学内容，改进教学方法，提高课堂教学效率，做好课后练习与辅导。此外，教师还应该根据教学对象和环境，灵活使用多种教学方式与方法，并及时分析、总结，不断探索，方可收到好的教学效果。

[1] 定光桂．关于《泛函分析》课程教学改革的试探[J]．高等理科教育，2001，37(3)：8-10.

[2] 张恭庆，林源渠.泛函分析讲义[M]. 北京: 北京大学出版社，1987.

[3] 程其襄，张奠宙，魏国强，胡善文. 实变函数和泛函分析基础[M]. 北京: 高等教育出版社，2010.

[4] 刘培德．泛函分析基础[M]．北京：科学出版社，2011.

[5] 夏道行，吴卓人，严绍宗. 实变函数与泛函分析[M]. 北京：高等教育出版社，2010.

[6] 杨世国．Minkowski 不等式的逆向及其应用[J]．哈尔滨工业大学学报，2004，36(1)：55-58.