一类广义非线性Schrödinger扰动耦合系统的可解性

金 钟， 汪方圆，汪维刚*,张海涛，高旭辉

(1.合肥幼儿师范高等专科学校 基础部,安徽 合肥, 230011；2.云南大学 软件学院，云南 昆明 650091；3..桐城师范高等专科学校 理工系，安徽 桐城 231402)

1 引言

众所周知，光传播时具有波、粒二重性, 薛定谔方程就是这类光学模型之一。 非线性薛定谔方程已经被广泛应用在现代光通信技术中。

考虑如下一类广义非线性薛定谔扰动耦合模型:

a1uxx-a2u+a3uv=f(u,v),

(1)

b1vt-b2ux=g(u,v),

(2)

u(0,t)=h1(t),ux(0,t)=h2(t),v(x,0)=h3(x)

(3)

其中u(x,t),v(x,t)为对应系统的物理场函数;ai,bj(i=1,2,3,j=1,2)为对应物理量的加权参数;f,g为物理场函数的扰动项,hi(i=1,2,3)为场函数的初始函数, 它们是在相应的变化范围内的充分光滑的函数。

2 无扰动解

先考虑如下对应的无扰动情形简单的耦合系统

a1uxx-a2u=0,

(4)

b1vt-b2ux=0,

(5)

并满足初始条件(3)的解。 显然, (4), (5)的解为

其中Ci(i=1,2,3)为任意函数。 再由条件(3), 可决定Ci(i=1,2,3)为

于是问题(3)-(5)的解为

(6)

+h3(x).

(7)

3 扰动泛函迭代初始解

选取方程(1)-(3)相关的线性齐次问题(3)-(5)的解(6), (7)为渐近解的泛函迭代式的初始迭代u0,v0。 即

(8)

+h3(x).

(9)

由于非线性耦合模型(1)-(3)一般不能得到有限项初等函数形式的精确解。 因此我们需要求出非线性扰动薛定谔扰动耦合模型(1)-(3)解的近似表示式。

为此构造泛函迭代式

-a2u(n-1)ξ+a3un-1vn-1,n=1,2,…,

+h3(x),n=1,2,…,

4 扰动泛函迭代解

由渐近解的泛函迭代式, 可以得到广义非线性薛定谔扰动耦合模型(1)-(3)的一次泛函迭代解u1app,v1app:

-f(u0,v0))]dξ,

(10)

+g(u1app,v0))dτ+h3(x),

(11)

其中u0,v0由(8), (9)式表示, (11)式中的u1app由(10)式表示。

继续由渐近解的泛函迭代(10)和(11)式, 可以得到广义非线性薛定谔扰动耦合模型(1)-(3)的二次泛函迭代解u2app,v2app:

-a2u1appξ+a3u1appv1app)

-f(u1app,v1app)]dξ,

(12)

(13)

同样, 可以依次得到广义非线性薛定谔扰动耦合模型(1)-(3)的各次泛函迭代解unapp,vnapp,(n=3,4,…)。将unapp,vnapp,(n=3,4,…)两边取极限n→, 显然，由

(14)式确定的极限函数(u(x,t),v(x,t))就是广义非线性薛定谔扰动耦合模型(1)-(3)的一组精确解(uexa(x,t),vexa(x,t))。 因而,unapp(x,t),vnapp(x,t)就是扰动方程模型(1)-(3)对应精确解(uexa(x,t),vexa(x,t))的n次泛函近似解析解。可以用泛函原理和不动点理论证明，由上述得到的近似解析函数序列unapp,vnapp在自变量的有限区域范围内是一致收敛的。

5 结语

已经被广泛应用在现代光通信技术中的一类广义非线性薛定谔扰动耦合模型,我们可以通过求解其特定的非线性方程来控制它,为了达到精确控制,首先建立初始解模型,即无扰动状态下的解,然后以此作基础,构造泛函迭代式,求解不断接近准确解的泛函迭代解,不仅解决了该系统的可解性和可控制性的问题,而且解决了精确控制的问题。

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