“统计与概率”，我们势在必得

“统计与概率”，我们势在必得

伍银平

统计与概率在中考的选择题、填空题和解答题中都有可能出现，主要考查统计、概率的概念和一些简单的计算.

例1（2016·盐城）下列调查中，最适宜采用普查方式的是（ ）.

A.对我国初中学生视力状况的调查

B.对量子科学通信卫星上某种零部件的调查

C.对一批节能灯管使用寿命的调查

D.对“最强大脑”节目收视率的调查

【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析.普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大、实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考察的对象很多或考察会给被调查对象带来损伤破坏，以及调查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查.

解：对初中学生视力状况的调查，人数太多，调查的工作量大，适合抽样调查，故A选项错误；对量子科学通信卫星上某种零部件的调查，关系到量子科学通信卫星的运行安全，必须全面调查，故B选项正确；对一批节能灯管使用寿命的调查具有破坏性，适合抽样调查，故C选项错误；对“最强大脑”节目收视率的调查，人数较多，不便测量，应当采用抽样调查，选项D错误.故本题应选B.

【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考察的对象的特征灵活选用.一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查，往往选用普查.

例2（2016·福州）下表是某校合唱团成员的年龄分布：

年龄（岁）频数1 3 5 1 4 1 5 1 5 x 1 6 1 0 -x

对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）.

A.平均数、中位数 B.众数、中位数

C.平均数、方差 D.中位数、方差

【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案.

解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10-x=10，则总人数为：5+15+ 10=30，故该组数据的众数为14岁，中位数为：（14+14）=14岁，即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选B.

【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出样本总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键.

例3（2016·巴中）下列说法正确的是（ ）.

A.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件

B.审查书稿中有哪些学科性错误适合用抽样调查法

C.甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是s甲2=0.4，s乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定

D.掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为

【分析】由随机事件和必然事件的定义得出A错误；由统计的调查方法得出B错误；由方差的性质得出C正确；由概率的计算得出D错误.

解：掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上不是必然事件，是随机事件，选项A错误；审查书稿中有哪些学科性错误适合用全面调查法，选项B错误；甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是s甲2=0.4，s乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定，选项C正确；掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为，不是，选项D错误.故选C.

【点评】本题考查了求概率的方法、全面调查与抽样调查、方差的性质以及随机事件与必然事件.熟记方法和性质是解决问题的关键.

例4（2016·广州）某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0～9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开.如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该锁的概率是（ ）

【分析】最后一个数字可能是0～9中任一个，总共有十种情况，其中开锁只有一种情况，利用等可能事件概率公式进行计算即可.

解：∵共有10个数字，∴一共有10种等可能的选择，∵一次能打开锁的只有1种情况，∴一次能打开该锁的概率为.故选A.

【点评】此题考查了概率公式的应用.注意概率等于所求情况数与总情况数之比.

例5（2016·台湾）甲箱内有4颗球，颜色分别为红、黄、绿、蓝；乙箱内有3颗球，颜色分别为红、黄、黑.小赖打算同时从甲、乙两个箱子中各抽出一颗球，若同一箱中每球被抽出的机会相等，则小赖抽出的两颗球颜色相同的概率为（ ）.

【分析】画出树状图，得出共有12种等可能的结果，颜色相同的有2种情形，即可得出结果.

解：树状图如图所示：

共有12种等可能的结果，颜色相同的有2种情形，故小赖抽出的两颗球颜色相同的概率.故选B.

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件.注意概率等于所求情况数与总情况数之比.

例6（2016·北京）调查作业：了解你所住小区家庭5月份用气量情况.

小天、小东和小芸三位同学住在同一小区，该小区共有300户家庭，每户家庭人数在2-5之间，这300户家庭的平均人数为3.4.

小天、小东、小芸各自对该小区家庭5月份用气量情况进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3.

表1 小天抽样调查小区4户家庭5月份用气量统计表（单位：m3）

表2 小东抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表（单位：m3）

表3 小芸抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表（单位：m3）

根据以上材料回答问题：

小天、小东和小芸三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭5月份用气量情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处.

【分析】这是一道解答题，它涉及抽样调查、分析数据以及运用统计的观念来解决问题的能力.

解：小天调查的样本容量较少；小东抽样调查的数据中，家庭人数的平均值为（2×3+3× 11+4）÷15=2.87，远远偏离了平均人数3.4，所以他的数据抽样有明显问题；小芸抽样调查的数据中，家庭人数的平均值为（2×2+3×7+4×4+ 5×2）÷15=3.4，说明小芸的抽样数据质量较好，因此小芸的抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭5月份用气量情况.

【点评】统计思想与统计观念是解决这类问题的关键，而平均数、加权平均数等知识是解决这类问题的基础.

例7（2016·苏州）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字-1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同.

（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为________；

（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标，再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率.

【分析】本题已明确是求等可能事件的概率，因此，可用等可能事件的概率公式进行求解.

解：（1）从布袋中摸出一个小球，小球标有的数字可能出现的结果有3种，即-1、0、2，并且它们出现的可能性相等.恰好为标有数字2的小球（记为事件A）的结果有1种，所以P（A）=

（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为点的横坐标，再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为点的纵坐标，可用下列树状图表示：

由树状图可知，点M的坐标的结果有9种，即（-1，-1）、（-1，0）、（-1，2）、（0，-1）、（0，0）、（0，2）、（2，-1）、（2，0）、（2，2），并且它们出现的可能性相等.点M恰好落在正方形网格内（包括边界）的结果有6种，即（-1，-1）、（-1，0）、（0，-1）、（0，0）、（0，2）、（2，0），所以P（M）=

【点评】概率求解题，关键是要把它设置成等可能下的概率事件，然后用枚举的方法，可用树状图，有时也可用表格把所有等可能事件的结果表示出来，并找出符合题目要求的情况，最后运用等可能概率的计算公式求出结果.

（作者单位：江苏省南京市宁海中学分校）