关于Green公式教学中的几点探讨

王莉　王玉春

摘要：本文对Green公式教学过程中的重点、难点问题，从公式提出、概念引入、定理证明、例题的选取和讲授等几个方面进行探讨，给出了相应的教学思路和教学设计。

关键词：Green公式；外微分；围线；变换

中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）05-0193-02

Green公式在现代分析学中起着承上启下的作用，且在实际中有着广泛的应用。在教学时，对于Green公式的理解及应用是教学的重、难点，在以往的教学反馈中，普遍反映理论性较强，结论较抽象，证明复杂，定理条件不易理解等问题。在近两年的省数学授课竞赛中，许多青年教师将Green公式选作授课内容，教学中大多遵循“公式引入—定理证明—应用举例”这一脉络，但在重、难点的处理上都显不足，在知识点的联系、学生的能力培养等方面缺乏思考。如何处理教学重、难点，将抽象知识具体化，掌握公式的内涵，培养学生灵活应用知识的能力是教学设计的主要着力点和关注点。对此，根据多年的教学实践，从以下几个方面进行探讨。

一、突出数学本质，引入自然

Green公式在现代分析学中起着承上启下的作用，它与Newton-Leibniz公式、Stokes公式、Gauss公式是一脉相承的。Newton-Leibniz公式刻画了一元函数在区间端点处的函数值与它的导函数在闭区间上的定积分之间的联系；Green公式刻画了二元函数沿区域边界的曲线积分与它的偏导数在区域上的二重积分之间的联系；Gauss公式刻画了三元函数沿空间闭曲面上的曲面积分与它的偏导数在所围空间区域上三重积分的关系；Stokes公式则刻画了三元函数沿光滑曲面的边界曲线的曲线积分与它的偏导数在光滑曲面上的曲面积分之间的联系。四个公式描述一个共同的数学本质，即边界积分和区域积分的联系。

由四个公式的关系，可见Green公式是Newton-Leibniz公式在二维空间上的拓广。在讲授Green公式时，自然可从一元微积分学中的Newton-Leibniz公式进行启发：若将公式中的积分域由闭区间换为二维有界闭区域，那么二元函数沿区域边界的曲线积分与它的偏导数在区域上的二重积分有什么联系呢？这样的引入既显自然，又突出了它的数学本质。

二、旁引“围线”概念，化抽象为具体

在以往的教学反馈中，对于单连域情形掌握较好，而对于复连域情形，很多学生对内外边界曲线的正方向的选取分辨不清。在《数学分析》[1]教材中，边界曲线的正方向规定如下：当人沿边界行走时，区域D总在他的左边。若与上述方向相反，则称负方向。此规定与复变函数中简单曲线的正方向规定是一致的，在国内大多数《复变函数》[2]教材中，对于复连域的边界曲线做了“硬性”规定，外部边界的逆时针方向为正方向，内部各边界的顺时针方向为负方向。据此规定，学生清楚明白，在教学中，将“围线”的概念引入，很好的解决上述问题。

五、强调变换思想，培养学生能力

Green公式在二重积分与区域边界上的曲线积分之间建立一座桥梁，实现了两类积分的相互转化。利用Green公式计算曲线积分或二重积分，其核心在于计算积分时，若某条曲线上的积分难以计算，则将其变换为另一区域上的积分，反之亦然，这体现了数学中的变换思想[5]。在Green公式应用中，对于“挖掉奇点”等技巧，它们的本质都是为了进行变换积分公式。讲透这一数学思想，可以避免死記硬背方法，培养知识的灵活应用能力。

在例2中，边界L是由抽象的曲线，过渡为具体曲线，然后采用“挖掉奇点”的方法，皆是围绕如何成功变换这一中心，锻炼了学生分析解决问题的能力。掌握三个小问题后，进一步探索，若边界曲线中的“奇点”不止一个，引导学生解决可得到结论“外围线线上的曲线积分等于各内部围线上的曲线积分之和”，这与《复变函数》中的柯西积分定理就呼应起来，拓展了应用，在知识能力上得到升华。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系编.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.6.

[2]钟玉泉.复变函数论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004.1.

[3]李娴娴，李复山.几个积分公式的注释及其应用[J].曲阜师范大学学报，2007，33（2）：19-23.

[4]庞惠君.利用外积、外微分统一微积分中四大公式的教学探讨[J].江西农业大学学报，1995，17（1）：100-104.

[5]孙玉泉，杨小远.变换思想在重积分三大公式讲授中的应用[J].高等数学研究，2011，14（2）：37-40.