从极限教学到分数布朗运动模型中广义积分的逼近法

瞿波

【摘要】极限理论描述了目标函数在自变量无限变化过程中的变化趋势，它是近代数学思想和方法的基础。极限理论教学是高等数学教学的重要环节，是微积分中几乎所有理论的基础，也是学习高等数学等大学数学科目的基础。学习极限概念是高等数学教学中遇到的第一个较难理解的概念，正确理解和掌握极限的概念和思想方法也是高等数学教学中的重点和难点。本文介绍了高等数学极限教学的几个注意点以及计算极限的几种主要方法，对学生理解极限理论提供一些思维上的引导。本文通过极限思想在分形中应用的介绍，从感性认识上提高学生学习极限理论的兴趣。通过分数布朗运动模型的建立和改进，以带有无穷限的广义积分用分步离散的逼近方法，通过对核函数的转换，分数布朗运动模型的模拟结果可以得到改善。最后对记忆长度的确定和粒子数的确定也作了研究，研究表明：当记忆是时间步长的10倍，而粒子数不小于1000时，可以得到较理想的模拟。本文所用到的极限近似逼近方法，对极限的近似计算具有启发性指导，创新数学极限理论的教学。

【关键词】极限数学教学分形分数布朗运动广义积分

中图分类号：G712 文献标识码：A

一、极限思想及其教学

1.极限学习意义的认识

极限理论是高等数学的核心思想，也是这一课程的重点与难点。后续课程中的微分积分都是围绕极限这一概念展开的，因此对极限思想的深刻理解是学好高等数学的前提。

极限是数学由具体到抽象、从常量到变量、从有限到无限、从初等数学过渡到高等数学的关键。微积分的思想之所以相当严密，是因为借助了极限的思想。而对于极限概念的理解，直接关系到高等数学的学习效果。凡是高等数学没学好的学生，大多因为是对极限概念理解得不深、不透，从而难以理解后续知识中的一些重要概念。如同“只见树木不见森林”，缺乏对微积分这一学科的宏观、整体的认识，从而对高等数学的学习提不起兴趣，甚至产生厌学情绪。

牛顿、莱布尼兹创建的微积分理论中，极限理论是其中最伟大的思想。因为极限思想的复杂程度远远大于中学数学的范畴，因此对于初步接触高等数学的大学生来说，难免会有畏难情绪，这时需要教师循序渐进地、由形象到抽象地把学生的思维引导到极限概念中来，任何的急于求成都会事倍功半。此前虽然有很多关于极限教学的研究文章（如[1]，[2]，[3]），但多数文章侧重于介绍极限理论的发展史或者学习极限的重要性，而对极限教学的具体方法研究较少。本文基于作者多年的高等数学教学实践，梳理出极限教学中一些容易忽视的环节和需要重点关注的地方，以供参考。为进一步理解极限理论，本文用分形中的分数布朗运动作为极限应用的实例，剖析无穷限广义积分简化为分步和式的过程，从而加深对极限理论的理解。

2.极限思想的导入和阐释

初步接触极限概念，微积分的起源和历史故事可以引起学生的兴趣，尤其是欧拉的传奇故事会给数学涂上传奇的色彩。用通俗的语言指出高等数学和初等数学的区别和联系，简单介绍微积分的“分割、近似、求和、求极限”的思想，指出这种思想可以解决任何不规则、不均匀的实际问题，以引起学生学习微积分的兴趣。

极限思想是一个全新的概念，学生在理解极限的ε--N定义时，需要不断和实际例子相比较，以理解其真正含义。在介绍极限概念时，可以借鉴国外的极限理论引进时所用的方法[5]，即用列表的形式感官从两边趋近极限值的过程。[4]，继而再过渡到抽象的ε--N （或 ）定义。另外，东汉刘徽的割圆术求圆面积以及庄子的截杖问题都是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用，通过这两个例子来介绍极限思想，形象而具体，学生很容易理解。

极限概念引入时从个例的描述性定义到定量的转化，是极限教学的关键。首先要举出几个无穷数列的例子，让学生观察数列随n变化的规律。然后引导学生总结出ε—N的定义。要指出，证明极限的过程，其实也是找一个正整数N的过程。使得当 时， 。因此， 。

需要特别强调的是ε可以是任意小的一个正数，不管ε有多小，哪怕是一亿分之一或更小，总会找到某个足够大的自然数N， 满足（3）。N是随ε的变化而变化的。但N不是ε的函数，N不是唯一的。

在介绍函数极限时，需要先讲无穷极限再讲 。因为从数列极限过渡到无穷极限很好理解。在证明 时，一定要强调在放大不等式 时，保留 这一个因子。

二、极限求解的几种基本方法

在学习了极限定义和证明方法后，就是如何求極限。高等数学中求极限的方法有好几种。除了基本的连续函数的代入法（substitution）、因式分解并去零因子法（factoring）、共轭法去根号（conjugate）、抓大头法（ ）等方法外，还有以下几种重要的方法。

1.用极限收敛准则求极限

单调有界准则和夹逼准则是针对一些较难求极限的数列而用的方法。有一般项的表达形式时，可用此递推公式，两边求极限，找到极限值。在证明数列单调性时，可以用两种基本的方法：一是数学归纳法，二是求导数方法（导数大于（小于）零的函数递增（递减））。当然也可以用反证法。

2.用两个重要极限求极限

对第一重要极限 ，一般可以看成是形式 （1）此极限的应用主要是用在等价无穷小 ～u（x）， 从而可以在求极限的过程中，用 替换u（x）。但要注意前提： 。

对第二重要极限 ，或 ，其实这里的x只是符号，可以用一般的形式：

或 （2）要给学生强调的是：不论是哪种形式，首先要看整个函数是不是 形式，如果是，就要化为第二类重要极限的标准形式（6）。

比如： 看似像第二类重要极限的形式，但不是 形式，不可以用第二重要极限来做。这种题用连续函数求极限的方法 ，直接代入x=0即可。

而 就要用第二重要极限来求，因为它是 的形式：

（3）用两个重要极限时，常夹带着等价无穷小的应用。上面这个题解中就用到了几个等价无穷小的替换： ～x， -1～- 。等价无穷小替换是求极限的重要的方法之一，应该非常熟练地运用。在运用时要强调，只有乘除因子可以用无穷小替换，加减式中的因子不能用无穷小替换。

3.用洛必达法则

书本上，洛必达法则是在学了求导法则以后才介绍的。主要用于两种不定型：“ 型”和“ 型”。当然，还有很多形式： ， ， ， ， 等都可以转化为两种不定型，然后用洛必达法则来求解。在利用洛必达法则求极限时，首先要确定是不是两种不定型中的一个，如果是，就可以用洛必达法则。

洛必达法则常常要结合其他求极限的方法一起使用[6]，除了结合等价无穷小外，还可以结合变上限函数积分的求导法则来计算。比如：

求 ，这里分子分母是 型，可以用洛必达法则对分子分母同时求导。而分子是变上限函数求导，求导以后还需用等价无穷小： ～ ～ 。

所以有：

4.幂指函数和复杂函数的处理

幂指函数的极限计算是一个难点。（3）的原式是幂指函数。那里用了第二重要极限。在遇到幂指函数的极限计算 时，应该和学生强调： 如果 和 ，那么， 。但如果 和 有一个极限不存在，就要化成： 。

对幂指函数求极限的另一个方法是先取对数再求导的方法。但必须指出，在两边取对数时，可能会丢掉一个零根，这要在最后检查一下，并作交代。

除了以上几种求极限的方法外，还有用泰勒展开式的前几项求极限。至于到底展开到第几项，要看分母是x的几次方而定。 求极限的方法很多，这里只是强调一下几种简单的求极限方法的注意点。而极限的思想贯穿于整个微积分教学中。积分中极限思想的体现尤为明显。广义积分就是无穷极限的应用。而在分形的分数布朗运动模型定义中就用到了广义积分。

三、极限在分形中的应用

1.分数布朗运动模型

极限思想的产生来源于实践，又应用于实践。极限的产生为数学的发展增加了新的动力，它是近代数学思想和方法的基础。极限思想是微积分的基本思想。而微积分在许多领域有着广泛的应用。在讲授极限知识时，可以介绍极限的一些应用，以增强学生的感性认识，提高学习极限理论的兴趣。

极限的应用无处不在。微积分就是极限的最重要的应用。极限思想在经济学、物理学、机械自动化等各个领域都有广泛的应用。这里介绍一下极限在分形上的应用。

分形物就是具有自相似性质的物体[8]。自相似就是物体经过放大以后，局部的形状和原来整体的形状相似。比如海岸线、柯西雪花等。这种自相似可以无止境地进行下去，这就是一个典型的极限过程[7]。

布朗运动的模拟需要用到高斯白噪声，而高斯白噪声的模拟需要用极限表达式：WT（i） = Zn，这里Zn 是具有正态分布的随机变量。布朗运动就是高斯白噪声的无穷积分：B（t） = 。而无穷积分就是分割求和再求无穷极限的过程。

分数布朗运动是带有记忆的布朗运动。Mandelbrot and Van Ness （1968）[9]定义了分数布朗运动：

（4）这是一个广义积分，是从负无穷到现在的时刻t的极限过程。 是gamma 函数， H 是豪斯特指数（Hurst exponent）[10]。分数布朗运动在时刻t的状态和之前的所有历史时刻有关。这里B（t） 是平均值是零，具有单位方差的高斯随机过程。 Mandelbrot and Van Ness （1968） [9]把（9）改进为如下形式：

这里豪斯特指数H满足 0 < H < 1（5），就是更新了的分数布朗运动的定义。这里的负无穷大可以改成极限的形式。而如何达到这一极限呢？在实际应用中要采取逼近手段达到目的。

定义核方程：

则方程（5）可改变为

这个核当s趋于负无穷大时，很快趋于零。

考虑把 看成是成若干个单步增加的和，而单步增加：

单步增加的核方程是

从核方程（9）到核方程（10）经过了核变量的转化[8，11]，这里u = t – s. 把u=i-j代入方程（8）就有

.

因此，

当 时， 即是离散型的高斯白噪声（布朗运动）。显然有

因此，作者在改变了（5）积分中的核以后得到一個更精确、更简单的计算公式[11]：

在公式（5）中的负无穷记忆已经被（11）中的i-M取代了。而 M就是具有足够大的记忆。M>0，必须有M>i。这一改进也是无穷极限逼近的一个具体的应用。作者发现，当记忆M大于时间步长的1倍时，所计算的分数布朗运动的轨迹误差值就较小。当然，M越大，轨迹就越精确。衡量一个分数布朗运动是否精确的标准是满足下列公式：

这里，H是豪斯特指数， 是一个扩散粒子云在时间t的标准差[8，11] 。

2. FBMINC模型的优势

作者改进的分数布朗运动离散型形式（FBMINC）和原来Mandelbrot 和 Van Ness定义的分数布朗运动（FBM）之间差别不大。但作者的FBMINC模型改进了原来FBM模型的精确度[8，11]。主要是当H=0.8时，即扩散程度增加时的误差稍许明显一点。FBMINC模型显示了它比原来模型的精确性[8，11]。

理论上， 的标准差 应该是不随时间变化的常数。 随时间的增加而增加。然而，FBMINC模型中的 总是常数。这是离散型的FBMINC模型的优势。

此外，当记忆小于时间步长的时候，计算 ，根据公式（12），FBM模型不能很好地模拟分数布朗运动，而FBMINC虽然也对小记忆事件精确率不高，但比起FBM模型要改善了许多。

3.记忆长度的确定

在运用 FBM 和FBMINC 模型时，需要处理记忆 M与时间总步长 NSTEP 以及粒子云数目P 之间的关系。从分数布朗运动用于生成分形布朗运动和 FBMINC 的定义可以看出，（12）、（13）中的广义积分的逼近公式的精确性与记忆M 的取值有關。记忆M 增越大，精确度越高。但考虑到计算的效率，需要设定一个临界值M，保证逼近公式的精确性能达到一定的范围内。作者无法从文献中找到答案，因此，作了一些具体实验，从而得到结论。

简单检验分数布朗运动的精确性的方法是看公式（14）是否满足。如果对时间t是一条直线，其梯度是2D的话，那么所模拟的分数布朗运动就是精确的。这里，我们假定粒子数是P， P是一个很大的数。然而P 至少要多大才能精确呢？这里我们用FBMINC模型来检验。

性质1：当时间总的步长数NSTEP增加时，记忆也应该相应地增加。

在FBMINC模型中，需要满足NSTEP M。那么记忆M要多少倍的NSTEP才能算是好的模拟？

四、结束语

极限思想是高等数学教学中遇到的第一个较难理解的概念，正确理解和掌握极限的概念和思想方法是高等数学教学中的重点和难点。在教学过程中，要做到循序渐进，从形象到抽象，再到形象。本文力求通过极限思想教学中需要特别注意的几个细节来强调极限教学的逻辑性和严密性，培养学生缜密的数学思维能力和逻辑推理能力，为后续课程教学打下坚实的基础。极限思想贯穿于整个微积分的教学中。广义积分正是无穷极限的应用。而分数布朗运动模型的定义正是用了无穷限广义积分这一概念。本文通过分形中的分数布朗运动模型的建立和改进，对无穷限广义积分的逼近方法作了介绍。在无穷限广义积分的求解中，作者通过变换核函数，用离散型的分步求和形式来逼近无穷限广义积分。事实上，通过离散型的转换，分数布朗运动模型的模拟结果可以得到改善，精确性得到了提高。这里，精确性是指的步长跳跃的标准差不再随时间的增加而增加；当记忆很小时，也能较好地模拟分数布朗运动的轨迹。作者最后对记忆长度的确定和粒子数的确定作了研究，研究表明：当记忆是时间步长的10倍，粒子数是1000时，可以得到较理想的模拟。这种无穷限广义积分的逼近方法能促进对极限理论的进一步理解，对极限的近似计算有着一定的指导作用。

【参考文献】

[1]邓敏.浅谈极限概念的重要性及教学策略[J].教育教学论坛，2013，（4）：201.

[2]王洪英，车军领.微积分学中极限教学法探讨[J].山东师范大学学报（自然科学版），2008，23（1）： 143-144.

[3]王咪咪. 浅谈高等数学中极限概念的教学[J].滁州学院学报，2008， 10（6）.