浅谈数列求和

袁惠

【摘要】求数列的前n项和是高中数学的教學重点之一，也是高考常考察的知识点之一，有些数列比较有特点，我们可以总结一些方法来求和，本文介绍公式法、错位相减法、裂项法、倒序相加法、分组求和法等方法。

【关键词】高中数学 数列求和 方法

数列求和是高中数学的一个重要内容，也是高考常考的内容，其主要常见的方法有公式法、错位相减法、裂项法、倒序相加法、分组求和等等。

1、公式法：

适用题型：直接是等差数列或是等比数列形式的可以直接利用公式求和

等差数列求和公式： = = n +

等比数列求和公式： =n （q=1） Sn= （q 1）

例1. （2014·全国卷Ⅱ）等差数列{an}的公差为2，若a2、a4、a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=________.

答案：n（n+1）

解析：∵ 等差数列{an}的公差为2，且a2、a4、a8成等比数列，∴ a4（2）=a2a8，即（a1+6）2=（a1+2）（a1+14），解得a1=2，则an=2n，∴ Sn=n（n+1）.

例2. （2014·福建卷）在等比数列{an}中，a2=3，a5=81. 若bn=log3an，则数列{bn}的前n项和Sn=________.

答案：2（n2-n）

解析：设{an}的公比为q，依题意得a1q4=81，（a1q=3，）解得q=3.（a1=1，）因为bn=log3an=n-1，所以数列{bn}的前n项和Sn=2（n（b1+bn））=2（n2-n）.

注意：使用公式的前提，需明确基本量。

2、错位相减法

适用题型： 用于等比数列、等差数列与等比数列的积数列求和

例3 （2014·全国卷Ⅰ）已知{an}是递增的等差数列，a2、a4是方程x2-5x+6=0的根，则数列2n（an）的前n项和为________.

答案：Sn=2-2n+1（n+4）

解析：方程x2-5x+6=0的两根为2、3.

由题意得a2=2，a4=3.

设数列{an}的公差为d，则a4-a2=2d，

故d=2（1），从而得a1=2（3）.

所以{an}的通项公式为an=2（1）n+1.

设2n（an）的前n项和为Sn，由（1）知2n（an）=2n+1（n+2），

则Sn=22（3）+23（4）+…+2n（n+1）+2n+1（n+2），

2（1）Sn=23（3）+24（4）+…+2n+1（n+1）+2n+2（n+2），

两式相减得

2（1）Sn=4（3）+2n+1（1）-2n+2（n+2）=4（3）+4（1）2n-1（1）-2n+2（n+2），所以Sn=2-2n+1（n+4）.

注意：在错位相减后要数准形成的等比数列的项数。

3.裂项法

适用于通项公式是分式形式的，可以把一项拆成两个或多个的差的形式，然后进行累加抵消中间的许多项。

例4： 求数列 的前n项和.

解： = （裂项）

则 Sn = =1- =

注意：1、找规律消去重叠的项。即把所有正项放在一起，所有负项放在一起消去重叠的项。

2、数列每一项拆为两项，首尾相消或隔项相消，无限项化为有限项，余下的项首尾前后呼应，即前面剩正项则后面剩负项，，前面剩负项则后面剩正项，前后剩项个数一致。

常用公式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

4.倒序相加法

适用于等差数列、与二项式系数相关联的数列求和

例5（2003年上海春季高考题）设 ，求 的值 。

解析：本题要求利用课本中等差数列的求和方法，如果平时只记忆公式，而缺乏对课本公式来源过程的阅读，就不知道要用“倒序相加法”。

令 ①

则 ②

为化简，应将①、②式相加，类似于等差数列的情形，猜想： 。而

所以：

所以：

5.分组求和法

适用数列表面看既不是等差数列，也不是等比数列，但将这类数列适当分组，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例6：求 的前 项和.

解：

.

注意：准确把握通项时的项数及分组求和时的项数。

点评：拆项的目的是把非等差、等比数列的求和问题通过拆项转化为等差、 数列的求和问题.本题中若将数列改为“ ， ， ， ，…”，则需要用错位相减法求其前 项和.

以上是数列求和的常见的几种方法，做题时观察数列的特点和规律选择适当的方法就会轻而易举的进行求解。

【参考文献】

[1]贾鹏云； 高中数学数列教学设计的实践探讨[J]；新课程学习，2010（11）

[2]成晚顺；高中数学“数列教学”的实践与探讨[J]；现代阅读，2012（8）