以知识整合促思维跃迁

高金德+++徐铎厚

摘 要：相对于知识的线性展开，知识间的整合对学生的思维发展具有更大的价值.因此，教师要开发整合课程，以帮助学生整合不同知识，促进思维方式的转变和跃迁，发现知识之间的内在统一，使貌似互不相容

课程内容的编排和教学过程的推进，一般都按照由简到繁、由低级到高级、由直观到抽象的循“序”原则进行.这对于线性知识的学习非常有利，但当遇到知识间跨度较大的情况，师生则会遇到极大挑战.

就拿“方程”与“函数”来说，单纯从某一个方面出发，而不考虑二者的内在统一性，就有可能走到“山重水复”的境地.在现实的课堂中，虽然有些教师在讲授函数的时候，会涉及方程的知识，但大多采用拿来主义的方式为我所用，学生难以从更高的层面把握二者的本质联系，无法整合思维惯性，难以形成上位思考.为此，我们开发实施了专门的整合课程，以帮助学生整合不同知识，促进思维方式的转变和跃迁，发现知识之间的内在统一，体验“峰回路转”，享受“柳暗花明”.

一、顺势而为突遇障碍 智慧显现尽在后续

教师：请同学们一起回答下面算式的结果.（板书：2-1=？）

学生惊讶.

教师：那如果我将上式改成下面一个等式，你会想到什么呢？（板书：x-1=1）

学生1：这是一个一元一次方程.

学生2：这个方程的解为x=2.

教师：很好，那如果我再将上式改成下面一个方程，你又会想到什么呢？（板书：x-y=1）

学生1：这是一个二元一次方程.

学生2：这个方程的解为x=y+1.

学生3：不对，x=y+1不是该方程的解，x的值应该是一个具体的值.所以这个方程没有解.

学生4：不对，我看x=2，y=1就应该是这个方程的解.

教师：噢，还有其他表达形式的解吗？

学生1：有，x=3，y=2； x=4，y=3；x=5，y=4等等都是该方程的解.

学生2：这些解的形式是成组出现的，并且有无数组.

教师：既然二元一次方程x-y=1有无数组解，那么我们究竟用怎样的方式来表示这无数组解呢？用怎样的呈现形式来更为直观地描述这无数组解呢？

课堂现场：学生讨论，无果，留下疑惑：方程的解都是具体的数值，而能满足方程成立的数值有无数组，无数组解的表达是永远不可能实现的.

教师：请同学们思考一下，在过去的学习中，哪些知识是用有限形式代表了无限形式的表达呢？

学生1：循环小数的表达是用有限形式代表无限形式的.比如：0.33……，因小数点后面有无限多个3而无法全部写出，故用0.■表示即可.

学生2：无理数的表达也是用有限形式代表无限形式的.比如：x2=3，其中x的值就是一个无限不循环小数，如果把所有的小数点后面的部分用数字表达是无法全部写出的，故用■或-■来表示即可.

学生3：在几何作图的时候也存在用有限形式替代無限形式的表达方式，比如直线AB的作图，我们即可用下图的作图方式表达，端点A、B之外表示向两方无限延伸.（学生作图如下）

学生4：哦，看来不能用常规形式表达的时候，可以转化其表达形式.所以我想二元一次方程x-y=1的无数组解也应该有办法表达，只不过要选择一种新的表达形式，那又该选择怎样的表达形式呢？

【设计意图】通过教师将三个等式逐一列举的过程，让学生感受从算式到方程的微妙变化；让学生意识到一元一次方程有唯一一组解，而二元一次方程则有无数组解.于是一个问题将呈现在学生面前：二元一次方程的无数组解该如何表达？穷极学生思维，把学生带到“行到水穷处”的境地，让他们体验到“山重水复疑无路”的窘迫，引发学生欲罢不能、跃跃欲试的情感冲动.

二、历史融入智慧复演 原理探究策略达成

教师：这个问题，在数学发展史上有很多人研究过，法国数学家费马就是其中一位.1630年在其论文《平面与立体轨迹引论》中提到：“两个未知量决定的方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线.”大家从这句话中，能否发现什么呢？

学生1：我认为这位数学家是从轨迹的角度研究方程的，即从直线或曲线的角度研究方程式.这样一来，直线或曲线的形式将更为直观地描述无数组解，跳出方程的解的常规思路.

学生2：可是如何从轨迹的角度研究方程呢？就比如我们刚才探讨的二元一次方程x-y=1，它怎么能与轨迹联系到一起呢？

学生3：我们原来学习一次函数的时候，往往要研究函数的图象，一次函数的图象是一条直线，可是这里没有一次函数的解析式啊.怎样才能把二元一次方程与一次函数建立联系呢？这种联系又要通过怎样的方式方法来实现呢？

教师：很好，大家的思考非常有价值.我们研究方程重在研究其解，研究二元一次方程自然要研究其无数组解.对于二元一次方程x-y=1，x=1，y=0，x=2，y=1，是该方程的解，像这样形式的解有无数组.我们如果将其转化成有序实数对（1，0），（2，1）形式，那么也就构成了点的坐标形式……

学生1：老师，您的意思是否是这样的：把 x=1，y=0，x=2，y=1，通过有序实数对的形式转化成点坐标（1，0），（2，1），并在直角坐标系中表示出来.这样方程的两组解就转化成两个点，这两个点不正是方程的两组解所对应的轨迹吗.

学生2：如果能将更多组解转化成其对应点的轨迹，那么方程对应的轨迹不就表示出来了吗.可是无数组解一个一个地转化不也是很麻烦的吗？

教师：这个问题问得非常好，哪位同学能够帮助他解决这个问题？

学生3：其实，将二元一次方程x-y=1进行恒等变形为y=x-1的形式，就有点一次函数的外形了.联系到我们学过的一次函数图象，就可以把x的值与对应的y的值看成是数对，在平面直角坐标系中找到对应的点.如此，二元一次方程无限组解的表达困难也就因新的表达方式迎刃而解.

教师：非常好，大家探究的正是方程和函数内在统一性的问题，请大家整理一下自己的发现.

【设计意图】一次函数及其图象的引入有多种方式，本环节我们是通过二元一次方程引入一次函数，通过对方程的解引入函数图象，让学生更为深刻地知道函数图象的形成原因.这种做法恰恰符合大数学家费马的解析几何的基本原理.同时，教材知识的安排一般按照从数、等式、方程、方程的解、函数、函数图象这样一种顺序，因此以上环节的探究活动更符合学生的认知规律.

融入费马解析几何的基本原理，目的就是让学生在融入数学家思想的前提下对已有的问题进行思考，这正是数学家智慧复演的现实体现.在这样一个过程中，我们自然达成二者的内在统一性：1、单组解与单个点的内在统一性，即二元一次方程的一组解唯一对应一次函数图象的一个点. 2、无限组解与整个图象的内在统一性.即二元一次方程组的所有组解与一次函数图象完全对应统一.同时形成研究二元一次方程与一次函数的策略：站在“形”的角度研究二元一次方程的解——数，即用一次函数图象来表达二元一次方程的无数组解；站在“数”的角度研究一次函数图象——形，即用二元一次方程无数组解来认识一次函数的图象.

如此一来，学生便有了一种“坐看云起时”的释然，体验到“柳暗花明又一村”的快乐.

三、策略运用势不可挡 知识汇聚四方辐辏

教师：请同学们思考以下问题：

1.一次函数y=x-1与y=-2x+1在同一坐标系中的图象如图1所示，思考：问题1：从方程的角度看，两条直线代表什么？

问题2：从函数图象上看到的两条直线的交点A，从方程的角度看，它又有怎样的含义？

学生1：一次函数y=x-1的图象可以认为是二元一次方程y=x-1所表达的无数组解，同理，一次函数y=-2x+1的图象可以认为是二元一次方程y=-2x+1所表达的无数组解，点A可以认为是同时满足两个二元一次方程y=x-1和y=-2x+1的一组解.

学生2：如果进一步思考的话，联立方程组y=x-1，y=-2x+1并求出该组解，即可得点A坐标.

教师：很好，那么我们又如何处理下面这个陌生的问题呢.

2.一次函数y=x-1与二次函数y=x2-x-2在同一坐标系中的图象如图2所示.思考：如何求出直线与抛物线的交点坐标A、B？

学生1：老师，二次函数是什么意思，我们还没有学过啊.

学生2：我们可以认为后面一个是一个二元二次方程，它对应的曲线就是方程y=x2-x-2的无数组解.直线对應的是方程y=x-1的无数组解.点A、B正是同时满足以上两个方程的公共的两组解.

因此联立方程组y=x-1，y=x2-x-2，求解即得A、B的坐标.

教师：很好，下面涉及到高中函数内容的问题，不知大家敢尝试吗？

课件展示：3、观察下列函数图象（图3—图6），请说出其交点坐标的求解思路.

学生：在图3中点A可以认为是二元一次方程y=x+1与二元三次方程y=x3的公共解，联立方程组y=x+1y=x3求解，即得交点坐标，后面三个问题也是如此.

【设计意图】学生在明晰费马解析几何基本原理的基础上得出方程与函数的内在统一性之后，自然可在函数图象交点问题的求解过程中形成策略.而这一策略的应用范围是非常广泛的，在更多的函数图象中，凡是讨论到交点的问题，联立方程组是一条非常好的思路.

当这种策略根植于学生的内心世界中，面对同类问题，不管其中的知识是学过的，还是没有学过的，都能迎刃而解.而牵扯到学生尚未学习过的知识，也能围绕策略的运用而汇聚在一起，正如车轮上的辐条聚集在毂上那样汇集到一处.学生通过策略的运用看到更为广阔的知识天地，也将发现这些不同知识背后的联系.

像这样一种方式的课堂，问题的呈现不是简单的罗列，而是在符合学生认知规律前提下由浅入深的设计；思维的呈现不是即时性的，而是一个有序的、突出其连续性的思维链条，前后呼应，互为印证，在解决问题的过程中打通知识之间的通道，搭建知识之间的桥梁；策略的呈现不是教师直接给予的，而是在深入思考问题的过程中凝聚而成的经验结晶；知识的呈现不是严格按照教材中规定的先后次序进行，而是在学生的思维及思维的跃迁中，自然而然地熔炼成一个相对完整的体系，看似打乱了章节知识的次序，实则建构了学生整体把握知识的意识.

数学知识在教材中的呈现有先后，但学生的思维发展有时需要跃迁，也正是这种跳跃催生新的知识，这在数学发展史上成为常态.由此，基于教材而不拘泥于教材设计的整合课程，理应走进学生，成为促进学生发展的有效方式之一.在日常教学中，我们充分挖掘不同类型的知识之间的跨界价值，开发出很多这样的整合课程，深受学生欢迎.

可见，数学教学改革，不应也不会专注于“术”的痴迷而失却“道”的考量，迫切需要形而上的大格局意识.因为，没有这种形而上的深度思考，就很难形成形而下的精准定位.当学生有了对知识之间的本质属性的把握后，居高临下，融会贯通，才能既见到树木，又看到森林，貌似互不相容的“天堑”因变换解决问题的角度而成为“通途”.