去糟求精 优化教学

吉远忠

作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学精神、数学思想和研究方法等。才能随时随地发挥作用。使人终身受益。

——米山国藏[日]

缘起

邻居家的小刚是个数学迷，家里藏有很多数学方面的趣题集。作为一名数学老师，自己想当然地就成了他的挚友。一次偶然的机会，我看到小刚为“如何找出次品”焦头烂额、欲罢不能。教育直觉告诉我这是个好问题，以“找次品”为主题开展综合实践活动不失为一个好的创意。

由于我们使用的苏教版教材没有安排该知识点，类似问题也没有提及，上网搜索，发现人教版和青岛版教材中都有出现。其中人教版在五年级下册《数学广角》中安排了4个页面，青岛版在《数学与生活》中安排了2个页面。由此可见，四十分钟的活动时间很难覆盖所有找次品问题的类型，知识难度的挖掘上也不能过深。重新选择素材吗？几经心里盘问，还是很难割舍。徘徊之后，最终打定主意仍用“找次品”的资源，知识难度不往深处去，推理比较的方法倒是可以传授，运筹规划的思想也可以感悟。以“最优化”的思想主线串联“找次品”“学习经历”“生活经历”等，弱化数学知识的难度。强化学习活动的经验。指导思想明确后，我制定了两个教学目标：1.通过操作、推理、讨论等活动，体会解决问题的多样性及运用优化方法的高效性。2.感悟假设、分类的数学思想，体会数学在生活中的广泛应用，提高学习兴趣。

第一次试教

[教学设计]

一、問题引入，比较方法

1.引入问题：怎样在3包糖果中找出质量不足的那一包？学生口答。

2.看图理解天平称重的过程。思考：至少称几次能保证找出质量不足的那一包？

评析：图的呈现能帮助学生形象地理解，为后续在多个物体中寻找铺垫思维。

二、问题深入，感悟优化

1.思考：5个物品中怎样找出次品？小组操作，画图记录操作过程。

2.小组汇报，比较不同的解决方案。板书课题，介绍“最优化”。

3.画图表示在8包糖果中找出唯一次品的方法。

4.拓展介绍“你知道吗”。

三、问题拓展，运用优化

1.观看视频《田忌赛马》。

2.思考：按照其他的顺序比赛，结果会怎样？感叹孙膑卓越的运筹天赋。

3.回忆自己学习生活中运用最优化方法的经历，

4.赠言：运筹帷幄之中，决胜千里之外！

[教学思考]

1.教学思想明确吗

小学数学教学中可以渗透与运用的思想方法有很多，如推理、符号化、化归、分类、方程、集合、画图、优化、函数等。而一节课的教学时间有限，想让它承载过多的思想，不免有炒杂烩之嫌。倘若剪不断，则理必乱！借用天平称重找次品时，学生已经在观察“3找1”的图式中理解了推想的过程，很多同学也能直接口述“5找1”的方法，如果再在这里强调画图就成了画蛇添足。解决寻找次品的问题其实重在培养学生解决方法调试的意识，当确立一种方法后要进行逻辑推理。因此不能仅仅满足于结果的获得，还要敢于大胆尝试其他方案，在不同的方案之间进行比较，从而获得最优化、最便捷的称重方案。这里要突出的是推理和优化，而优化在这节课更具有代表性。因此，可以删去画图记录的教学要求，让学生自由地进行动手操作、口头交流，如若要画图也是学生自发进行。

2.活动形式合适吗

全班共有43名学生，由于天平数量的限制，只好分为6组，每组约7人。课前准备糖代价较大，所以用玻璃弹珠代替糖装在喜糖包里。数学课上要使用天平。对学生而言是件新鲜事，加上7人小组是课前临时组建的，刚开始上课就看出他们掩饰不住的兴奋。实际操作时，天平托盘较小，4包糖放在上面很不稳妥，有好几个小组的糖包滑落下来，弹珠满地跑，教室内不时有嬉闹声。一个字——“乱”，天平的操作成了几个调皮鬼玩耍的好机会。痛定思痛，天平的操作必须吗？小组的人数合适吗？比较数学课程标准中对两个学段“综合与实践”的要求发现：第一学段重视学生的实际动手操作，而第二学段需要鼓励学生“发现问题、分析问题和方案制定”。后者更注重实践活动的研究味，重归纳、重推理、重数学模型的思考。诚然，实践活动课中需要操作，但学生已能在头脑中进行“5找1”的推理思维，就可以不需要小组的称重。但又不能全部取消，毕竟班级中还有不少学生想象不出也想象不了推理的过程，如果没有亲眼所见的称重，他们可能就成了课堂的看客。总之，动手操作是思维的拐棍，探究过程中必须用，但还要注意不能让拐棍羁绊了前进的步伐。

第二次试教

[教学改进]

一、问题创建。引入“最优化”

1.引入问题：怎样在3包糖果中找出质量不足的那一包？学生口答，感受天平称重的快捷。

2.图式理解并回答：至少几次保证找出质量不足的那一包？

评析：数量较少时能轻松地进行推理思考，但数量增多、问题复杂时，没有图式的支撑很难完成多步骤的推想。这里的抽象图式既是对“3找1”合情推理的延时理解，也为后续自主探究“8找1”“12找1”做好铺垫。

二、问题深入，感悟“最优化”

1.问题：怎样在8包糖果中找出质量不足的那一包？独立思考后4人小组内验证操作。

2.汇报不同称法，寻求最优化的方案。

3.头脑风暴：如何3次从12包中找出质量不足的那一包？口头汇报。

4.揭示课题，板书认识“最优化”。

三、问题延伸，运用“最优化”

1.回顾学习中曾使用最优化方法的经历。（简便运算、租船方案）

2.列举生活中运用最优化方法的事例。（理发顺序、路径选择）

3.重温《田忌赛马》，探寻不同的比赛顺序，交流感受。

4.赠言：运筹帷幄之中，决胜千里之外！

[教学感想]

1.精心选取素材，有效促进思想的感悟

课程资源由可能状态进入实际应用领域有一个判断、鉴别、开发、建设、管理、应用和共享的过程，资源本身并无优劣之分，只是利用课程资源有是否合适之别。比较两个版本的教材在“找次品”数量上的不同，发现人教版安排的是先从“5找1”中引出天平，再在“9找1”中比较发现“3份法”最快捷：而青岛版的安排是直接在“8找1”的实验中发现“3份法”最省事，再通过“9找1”对“3份法”进行运用验证，两者不约而同地总结了“3份法”。诚然，他们的教学重点是“找次品”的问题模型，很有必要对这个问题进行深入的研究和拓展，而自己的重点不是掌握“3份法”，只是想让学生在不同的方案中感知“3份法”的最优化。优化的前提是多樣化，课堂上学生提出了很多种“8找1”的解决方案：

课堂上能涌现出如此多不同的方法，说明学生具有敢于挑战、主动思维和积极交流的学习品质。每呈现一种方案，学生就需要对它进行合理的推想，这其实就是对“找次品”核心数学思想——推理的反复运用，而多样化的结果又为优化比较提供了条件，这里把“8找1”素材的作用发挥得淋漓尽致，为后面头脑风暴思考“12找1”奠定了认知基础，也使学生对“3份法”的最优化价值有了深刻体验。

2.耐心检索资源，有效整合学科间的联系

数学不是孤立的，它是一门综合性、实用性很强的基础学科。数学的精神、数学的思维和存在方式都包含着丰富的文化意味，我们不可能关起学科的门来只谈数学。《义务教育数学课程标准》（2011年版）中也明确指出：“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识，体会数学与自然及人类社会的密切联系。”课中播放《田忌赛马》的视频，学生一方面感叹孙膑的聪慧，另一方面也从数学的视角去探索“还可以有其他赢的顺序吗”，这就是数学与生活的紧密联系。同样是《田忌赛马》，语文中的人物分析是那样的文采飞扬，数学课上的方案推想同样精彩纷呈。

信息技术的快速发展为教学整合创造了便利条件，我们没有理由做井里的青蛙。课中适时介绍“百度”，搜索“最优化”的相关词条，从而更清晰地明确思想的运用价值，也让学生感受学习方式的多元化。这是信息技术发展对教学提出的要求，也是培养学生终身学习能力的需要。

3.用心创设问题，有效帮助品质的养成

找次品的问题或许学生还有些陌生，但优化的数学思想其实早就运用。以最常见的简便运算为引子，学生一下子打开了记忆的阀门，回想出很多一题多解的经历，“怎样租船最省钱”“怎样安排理发的顺序使得等候的时间最短”“走哪条路最近”等，当然也包括了许多教科书中的开放题。这些学生自己亲身经历的学习问题鲜活地在头脑中再现，帮助学生感悟了优化的思想价值。

说到底我们给学生的不能仅是知识，还有解决问题的方法，更重要的是培养一种执着追求、勇于创新的理性精神。“没有最好，只有更好”不仅是语文课上的口号，也是数学课上要践行的态度。列举学习生活中运用“最优化”的事例，不仅让学生知道优化的思想无处不在，还要知晓“怎么解决问题”的后面接着思考“有没有更好的解决方法”，这是对自己的挑战，也是对自己的超越。我想这对学生的影响应该是深远而有意义的。