纲举目张 一通百通

刘小燕

[摘 要]小学数学应用题的很多题型都与百分率有着千丝万缕的关联，随着小升初的数学试卷中应用题比分的不断上升，百分率问题越来越受到关注。由易到难地归纳出四种常见的百分率题型，并深入浅出地进行分析，希望能起到抛砖引玉的作用。

[关键词]百分率 应用题 生活实例

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）02-061

近十年来，小升初的数学试卷中，小学数学应用题的题型一般有以下几种：求平均数应用题、归一问题（如工程问题）、相遇以及追及问题、比和比例问题……它们或多或少地与分数和百分率有着千丝万缕的关联。下面将百分率的有关知识点进行梳理。

一、已知的两个数之间的百分率计算

常见题型：（1）甲数是乙数的百分之几；（2）甲数比乙数多（少）百分之几。

这是所有百分率问题的基础，尽管这两类题型比较简单，但教师在教学中要予以足够的重视，务必确保百分之百的通过率。为了提高学生解决问题的能力，教师可结合产品的合格率、考试成绩的优分率等设置一些习题。对于题型（2），要让学生在大脑中留下根深蒂固的印象：a比b多的百分率不等于b比a少的百分率！（如，5比4多25%，但4比5不是少25%，而是少20%。）

二、已知一个数a和百分率x%，求另一个数b

对此，可以设置习题：（1）50的70%为_________；（2）_____的60%为30；（3）_______比5大20%；（4）比_____大20%的数是72；（5）一件衣服打九折之后出售还赚利润21元，进价是2400元，标价是_____元；（6）一件衣服的进价为50元，售价为80元，若按售价的八折售出，利润是______元，利润率为_____。

重点题型：（1）已知数a增加（或减少）百分率x%，得b，求b的值；（2）a增加（或减少）百分率x%后为已知数b，求a的值。

解这两种题型可用图示法： （增加对应的等式为a×（1+x%）=b）或 （減少对应的等式为a×（1-x%）=b）。

【例1】 （1）值日生乙单独擦黑板所用时间是20秒，甲单独擦黑板所用时间比乙多50%，两人一起擦黑板，需多少秒？

（2）值日生甲单独擦黑板所用时间比乙单独擦黑板多50%，两人一起擦需12秒，单独擦各需多少秒？

解：（1）乙用20秒，工效是1/20；甲所用时间为20×（1+50%）=30（秒），工效是1/30。两人一起擦的工效为1/20+1/30=1/12，所用时间为12秒。

（2）两人一起擦需12秒，合擦工效为1/12；甲单独擦比乙用时多50%，甲用时=乙用时×（1+50%）=乙用时的1.5倍，于是甲的工效是乙的2/3。所以乙的工效为 ÷（1+ ）= ，乙单独擦黑板用时为20秒，甲单独擦黑板用时为30秒。

【例2】 服装店的某一时间以每件120元的价格卖出两件羊毛衫，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件总的来说是盈利还是亏损，或是不盈不亏？

解：结合 120和 120，可得a=120÷（1+25%）=96（元），b=120÷（1-25%）=160。由于进价a+b=256（元）大于售价120×2=240（元），所以卖这两件总的来说亏损16元。

三、连续变化的百分率的计算

解答此类题，需要每变一步，就画一个分析图。

【例1】 大润发卖场的某种电器的进价是120元，按利率25%的售价摆上货架后，由于其供不应求，卖主将售价提高了20%，发现销售情况不大理想，只能再将销售价下调10%，此时该电器的售价为多少元？

解：三次变化的过程： 。利用有关等式，可得c=120×（1+25%）×（1+20%）×（1-10%）=162（元）。

四、盐水中的百分率计算

盐水问题就是传统的浓度问题。掌握这类问题的关键只有一个：含盐的百分率= ×100%。

常见题型：

（1）盐与水混合，求含盐的百分率。这一类题比较容易，但也要多让学生练习，加深学生对含盐率的理解。

（2）在已知含盐率的盐水中加入一定量的盐或水，求新盐水的含盐率。只要把握新盐水中的真实盐量和新的盐水量，问题就能迎刃而解。其变形题（在已知含盐率的盐水中加入一定量的盐或水，并且知道新盐水的含盐率，求加入的量。）有一定的难度，建议用“加盐水不变、加水盐不变”的思路进行解题。

（3）两种盐水混合所涉及的运算。这类习题看似复杂，实际上不难，只要搞清盐量的变化情况，解题就易如反掌。

（4）在已知含盐率的盐水中加入一定量的盐，求新盐水的含盐率。（其类似题目还有在酒中加入酒精或在硫酸铜溶液中加入胆矾等）这类习题本质上是以题型（2）的形式出现，用解题型（3）的方法解题，只偶尔出现在竞赛试题中。

【例1】 在含盐率50%的40克盐水中加入多少克盐，才能使盐水的含盐率变为60%？

解1：（方程法）设需加入x克盐，则x+40×50%=（x+40）×60%， 解得x=10。

解2：用“加盐水不变”的思路解。加盐之前的水=40×（1-50%）=20（克），加盐之后的水也是20克，此时的盐水量为20÷（1-60%）=50（克），比以前增加的量=50-40=10（克），10克就是加入的盐量。

【例2】 李明在超市购买了以下商品：①康师傅方便面4桶，单价3.5元/桶，打九折；②脉动饮用水10瓶，单价3.1元/瓶，不打折；③苹果2斤，单价4.5元/斤，打八五折；④雕牌洗衣粉2袋，单价5.5元/袋，打八折。

（1）仔细读题，完成下表，并求出总付款多少元；

（2）若超市的平均赢利率为20%，则这批商品超市的成本是多少？

（3）如果李明是为5位客户跑腿的，每位客户都买了一份上述商品，每个客户都允许李明多拿15%的辛苦费，那么诚信的李明必须向每位客户收取多少费用？一共获得多少辛苦费？

解：（1）

总付款=各商品的应付款的总和=12.6+31+7.65+8.8=60.05（元），因此实际付款60元。（5分钱各大超市还是乐意让利的）

（2）学生在解此题时容易出现的典型错误是60×（1-20%）=48（元）。很明显，如果成本是48元，收入为60元，其赢利是60-48=12（元），赢利率为12÷48×100%=25%，与已知条件矛盾。正解是60÷（1+20%）=50（元）。

（3） 李明必须向每位客户收取的费用=60×（1+15%）=69（元），辛苦费=5×9=45（元）。

综上，教师如能结合实际问题行之有效地完成百分率的教学任务，学生必然就能轻松自如地消灭应用题这只“拦路虎”。

（责编 金 铃）