运用数形结合思想 深刻理解数学知识

陈文渊

[摘 要]“数”和“形”是小学数学教学的研究对象，“以形助数”可以沟通几何直观与数学抽象之间的联系，可以将抽象问题具体化，复杂问题简单化，可以活跃学生思维，拓宽解题思路，提高解题能力。在教学中，教师可以通过以形表数、以形助数、以形想数、以形解数向学生渗透“数形结合”思想，使学生深刻理解数学知识。

[关键词]数形结合；教学研究；数学知识

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）02-037

“数”和“形”是贯穿整个小学数学教材的两条主线，“数”构成了数学的抽象化符号语言，“形”构成了数学的直观化图形语言，在研究抽象“数”的时候，往往要借助直观的“形”，即将代数问题转化成几何图形问题，把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来。

一、以形表数——连接“几何直观”与“数学抽象”之间的“纽带”

概念的特点是抽象概括，是事物本质属性的反映。概念教学是数学教学的难点，因为小学生以形象思维为主，理解抽象的概念知识有很大的难度，所以教师可以借助几何形体，以形表数，以形引数，把抽象的概念形象化，帮助学生在直观中理解抽象的数学知识。

例如，“乘法分配律”历来都是学生难学，教师难教的一节课。许多教师只关注演示分配律的两种不同表达方式，而忽略了对分配律意义的教学，学生对分配律的理解往往只停留在识记与模仿的层面，没有真正理解概念的本质。在教学这节课时，教师应以形表数，以形引数，让学生深刻理解乘法分配率的本质。

教师出示一个长为5厘米、宽为3厘米的长方形，让学生用两种方法求出长方形的周长。

生1：5×2+3×2。

生2：（5+3）×2。

师：谁能说一说算式中每一步所表示的意思？（让学生数形结合，说出算式的意思，为理解乘法分配律做好准备）

（教师隐去图中的具体数据。出示长方形 ，请学生写出求长方形周长的方法）

生3：（长+宽）×2。

生4：长×2+宽×2。

生5：长+宽×2。

师：为什么生1的式子只乘以一个2，而生2的式子要乘以两个2呢？生3的式子对不对？为什么？（学生作图辨析，如图1）

在这个以形表数的过程中，教师通过提问和引导作图，有效减少（5+3）×2=5+3×2这类错误的出现。学生对乘法分配律的直观模型有了更深刻的理解。

最后，教师以形引数，提取乘法分配律的符号模型，让学生经历符号化的过程。

师：将长方形的长和宽变成a和b，周长怎样算？a和b可以是几？（教师出示图2 ，让学生猜测并证明）

教师将周长的计算变成了线段a、b的延伸，形的延伸带动数的扩张，使教学一下子从平铺走向激荡，逼迫学生逐步从借助直观的画图，到看图想象，再到改造算式的活动中，理解和内化了“分配”的实际含义，建立了意义与形式的完整联系，成功抽取出乘法分配律的符号模型。

二、以形助数——寻找“几何直观”与“数学抽象”之间的“支撑”

探索规律需要较强的逻辑思维能力，而所需要的思维能力与学生的思维水平存在一定的差距，为缩短两者之间的差距，就需要在它们之间寻找一个支撑点，而这个支撑点就是“数形结合”。

例如，用简便方法计算 + + + +…+ 。看到題目后，学生的第一反应是用异分母加减的方法计算，虽然，这样计算比较烦琐，但几乎没有学生想到用简便方法计算。针对此现象，教师先引入另一道题：一块正方形菜地，用它的 种茄子，用它的 种辣椒，用它的 种土豆，用它的 种韭菜，种这四种菜的总面积占这块菜地的几分之几？当学生列出算式后，教师引导学生画图理解（如图3）。通过观察图形，学生不难发现其规律：要求 + + + 的和，只要用大正方形的面积减去阴影部分的面积即可，而阴影部分的面积刚好是这块正方形菜地的 ，从而得到简便算法 + + + =1- = 。同时，教师启发学生思考，依此类推再分下去，当分到 、 时，剩下的面积对应的是 、 ，再通过简便计算就能得出相应的面积。

这一过程绝不是简单的模仿和记忆，而是从正方形的面积入手，为学生构建数形结合的平台，将抽象的数学知识转化为便于学生理解的表象，从而将数与形有机地结合在一起，降低学生的解题难度，同时有利于培养学生的观察能力、抽象能力、推理能力和发散思维能力。

三、以形想数——架设“几何直观”与“数学抽象”之间的“桥梁”

计算教学应以清晰的理论引导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，使学生“知其然”，也“知其所以然”。借助直观的图形可以将抽象的算理形象化、简单化，使抽象的计算过程有了形象的替代桥梁，数学不再是抽象艰涩，而变得有趣生动。

例如，“精打细算”这节课，教学目标是让学生掌握小数除以整数的计算方法。结果学生在解题时不是丢了商中的小数点，就是在竖式中点上小数点，为什么会出现这样的错误呢？究其原因，就是没有真正理解算理。教师可以调整教学方法，借助图形，从小数的意义上让学生深刻理解算理。

师：这有两道除法竖式（如图4），你觉得哪种写法更合理？

生1：我认为两种写法都合理，因为15角也就是1.5元。

生2：假设这个算式中的11.5不表示钱，而是表示一些图形（如图5），这样一来第二种方法就不合理。

生3：如图6，可以把10个正方形平均分成5份，每份分到2个正方形，剩下的一个正方形就应分成10份，变成10个0.1，和剩下的5个0.1合在一起变成15个0.1后再继续分。把15个0.1平均分成5份，每份应分得3个0.1，3要写在商的十分位上，竖式中的15实际上是表示15个0.1，不应写或1.5。因此第一种写法更合理。

多么巧妙的回答呀，一个简单的图形清楚地诠释了计算的道理，令学生的印象深刻。

四、以形解数——开辟“几何直观”与“数学抽象”之间的“通道”

《九章算术》指出：析理以辞，解体用图。小学数学中的问题不仅抽象，而且有的数量关系还比较隐蔽，不易被觉察或直接应用。画图可以帮助学生将题中隐蔽的数量关系呈现出来，通过看图、想图，正确分析数量关系，寻找解决问题的策略，把学生的思维引向更深处。

教师出示例题：有一块长方形的试验田，如果试验田的宽增加4米，或者长增加6米，面积都比原来增加48平方米，你知道原来试验田的面积是多少平方米吗？学生分析该题的数量关系有一定的难度，教师可以引导学生画图（如图7），让学生看到图形的变化过程。

通过观察画图的过程，学生发现原来用48÷4就能求出长方形的长，用48÷6就能求出长方形的宽，用（48÷6）×（48÷4）就能求出长方形的面积。接着，教师给出变式练习：有一个长方形操场，长50米，宽40米。（1）如果长增加8米，面积增加多少平方米？（2）如果宽增加8米，面积增加多少平方米？（3）如果长和宽都增加8米，面积增加多少平方米？（4）如果将长方形的长和宽各减少8米，面积减少多少平方米？无论怎样改变题目的条件，学生都能快速地解决问题。

由此看来，在教学中渗透数形结合的思想，用恰当的图形表示其数量关系，让隐含条件显现，能使学生解决问题的方法更具有简约化与创造性。

著名数学家华罗庚指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”数形结合的思想渗透在数学教学的每个领域，这就要求教师在实际教学中应该努力钻研教材，把握数形结合思想方法渗透的固着点，落实渗透数形结合思想方法的着力点，从而为学生寻找一支合适的“长篙”，引领学生的思维向更深处漫溯。

（责编 李琪琦）