基于自适应遗传算法的Weibull分布参数评定方法

文昌俊， 刘 鑫

(1 湖北工业大学机械工程学院， 湖北 武汉 430068； 2 湖北省现代制造质量工程重点实验室，湖北 武汉 430070)

基于自适应遗传算法的Weibull分布参数评定方法

文昌俊1，2， 刘 鑫1，2

(1 湖北工业大学机械工程学院， 湖北 武汉 430068； 2 湖北省现代制造质量工程重点实验室，湖北 武汉 430070)

鉴于以三参数Weibull分布建立可靠性寿命模型中存在参数评定误差太大、效率不高的问题，首先建立基于极大似然函数估计的极似然方程组，其次针对传统的遗传算法求解极大似然方程组过程中各个步骤，提出相应的优化与改进，然后得到自适应遗传算法来更精确地求解极大似然函数方程组。最后，通过MATLAB仿真对比分析，将自适应遗传算法与传统遗传算法求解结果进行对比，得出自适应遗传算法在求解Weibull分布参数中具有更高的效率以及适应性。该方法对基于极大似然函数估计的可靠性寿命模型的求解提供了参考。

可靠性寿命模型； 三参数Weibull分布； 极大似然函数； 自适应遗传算法

可靠性工程中，对于参数值的估计一直是寿命模型能否能够准确预测产品寿命的关键所在，而对于失效样本数据进行三参数Weibull分布的精确参数估计尤为困难。2006年，杨谋存等人使用极大似然估计求解三参数Weibull分布，再基于消元降维的思想求解似然函数方程组，但由于其采用的数值计算中二分法求解的参数值的误差较大[1]。2012年范英采用Newton-Raphson迭代法求解多种数据情况下的Weibull分布参数值，但该方法同样存在误差较大以及收敛性难以保证的问题[2]。2015年王亚菲将人工神经网络用于求解其参数，但由于其应用场合是汽车行业，行业特性决定了其本身存在大量历史数据，对于一般样本量并不充足的可靠性建模场合并不具有普适性[3]。本文先建立了Weibull分布三个参数的极大似然函数方程组，然后通过在优化传统遗传算法的基础上提出改进自适应遗传算法来求解方程组，既克服了传统数值计算方法的精度不够、效率不高等问题，又为类似场景下的参数评定问题提供了思路。

1 三参数Weibull分布模型

三参数Weibull分布的概率密度函数为

f(t;β,η,γ)=

(t≥γ;η>0;β>0)

式中：t为产品的失效寿命数据；β、η、γ分别为形状参数、尺度参数以及位置参数[4-5]。

对于寿命分布服从三参数Weibull分布的n个样品进行可靠性寿命试验，直至所有样品完全失效，记录其失效的时间点为t1,t2,t3,…,tn(n>0)，t1到tn以升序排列，则其最大似然函数

由上式可以得到其对数极大似然函数

l的取值一般为负值，其值越大，则表示结果越优。

2 对数极大似然函数方程组

用l分别对三个参数β、η、γ求偏导，得到其对数极大似然函数方程组[6]：

(1)

(2)

(3)

上述三个方程即对数极大似然函数方程组[7-8]，其中位置参数γ对三参数Weibull分布的概率密度函数只起到调节其位置的作用，在求解方程组的时候，可以暂令其为0，则可以将对数极大似然函数方程组化简为[9]：

(4)

(5)

上述方程组中，选定y为遗传算法目标函数。

3 遗传算法求解对数极大似然函数方程组

遗传算法是基于仿生自然界生物种群遗传进化过程来求解全局最优解的智能算法。由于遗传算法具有全局优化、拓展性强、鲁棒性好等优点，本文将传统遗传算法与三参数Weibull分布的极大似然函数方程组结合起来[10-11]，其求解的步骤如下：

1)种群初始化，确定Pm、Pc以及最大遗传总群代数MaxGeneration，随机生成初代总群数据，使其均匀分布在搜索域[a,b]内；

2)确定个体适应度值，计算并记录总群适应度值；

3)选择和复制，对群体中适应度大的个体进行选择、复制操作；

4)交叉，对上一步中的总群个体进行交叉操作；

5)变异，对群体中所有个体进行变异操作；

6)返回第三步重复执行，直到达到最大遗传总群代数，否则试验继续进行；

7)参数评定，基于目标函数值计算出三个参数。

在上述操作过程中，编码方式的选择，适应度函数的选定，变异、交叉概率Pm、Pc的设定，遗传退出条件的设置都会对最后的结果造成影响[12]。针对以上各个过程，提出改进后的自适应遗传算法，通过对各环节的优化达到提高算法的效率以及准确度的目的。

4 基于自适应遗传算法的对数极大似然方程组求解

综合考量各因素对于遗传算法求解三参数Weibull分布的极大似然函数方程组结果的影响后，针对求解过程中各个步骤，在相应环节作出如下优化。

4.1 采用二进制编码

在求解过程中，遗传算法有二进制、十进制以及实数编码。实数编码采用的总群个体分为0～1的二进制控制基因序列与实数的基因序列，但这种实数编码方式在解码方式上需要添加一定的识别技巧。而十进制编码在同样位数上能存储比二进制编码更多的信息，但二进制编码可以通过增大位数的方式来进行补偿，而且十进制编码在后续的选择、复制、交叉和变异等操作中的误差精度控制方面有别于二进制编码。综合考量后，最终采用二进制编码。

4.2 适应度函数的选定

在遗传过程中，个体越优秀，其适应度函数值越大。前文选定方程(4)中的y为目标函数值，而最优值即能使y离零点最近的值，则可令

为适应度函数，当y的值越靠近零点，T的值越大，个体的适应度值也越大，在遗传过程中保留下来的概率也就越大。

4.3Pm的设定

传统遗传算法的交叉以及变异概率是固定不变的，即Pm、Pc的值在每一代的遗传过程中为一定值。在实际遗传过程中却并非如此，适应度值大的个体(即优良的个体)，其对应的变异概率应该小于适应度小的个体，这样才能不断优化整个种群，使得整个种群朝着全局最优的方向移动，以免种群落入局部最优解。

当个体适应度值Fitvalue不小于种群平均适应度fmean时，其变异概率

4.4 遗传算法终止条件的改进

传统的遗传算法的停止条件即遗传代数达到最大遗传代数，但在实际求解过程中，要找到满足目标函数值为0的解几乎不可能，而对于早早收敛的种群，过大的遗传代数则很难再改良整个种群。在实际数值计算过程中，只要在误差范围内的数值解，即可认定其为全局最优解。所以将遗传算法的退出条件改为：

1)目标函数值小于设定精度Aeps；

2)遗传代数达到最大遗传代数MaxGeneration。

上述两条件满足任一条件均可退出计算，但优先满足条件1。

4.5 基于自适应遗传算法的求解流程

结合以上各部分的优化，采用自适应遗传算法求解方程组全局最优解的流程如图1所示。

图 1 自适应遗传算法流程图

图1中，Aeps=0.001，搜索域为[1,10],初始种群大小为50，Pc=0.9，Pm值设定见4.3，目标函数为y，适应度函数为T，最大遗传代数Gmax=100。

5 仿真以及结果分析

为验证改进自适应遗传算法的性能优于传统遗传算法，现从仿真软件中以随机抽取的方式，得到每次4组、每组50个的服从Weibull分布的样本数据，分别用传统遗传算法和改进自适应遗传算法对其进行多次仿真，仿真结果见表1—4。

表1 β=2.18，η=227.42，γ=1.58的样本数据

表2 β=1.94，η=221.80，γ=1.58的样本数据

表3 β=3.10，η=248.00，γ=1.58的样本数据

表4 β=2.21，η=233.27，γ=10.45的样本数据

由上述结果可见，其中y为目标函数值，针对随机参数数据样本，改进自适应遗传算法的目标函数值的绝对值远小于传统遗传算法的目标函数值的绝对值。且将改进之后的求解结果与原始的求解结果对比，可知改进后的目标函数的误差精度等级至少上升了一级，且在有些情况中，上升了不止一个等级。除此之外，对应的对数极大似然函数l的值，在传统遗传算法加入自适应条件后，也都呈现出上升的趋势。最后，将实际参数值与所求参数值进行对比，改进自适应遗传算法求解的三参数Weibull分布参数值对比传统遗传算法，明显更贴近实际值。

在对随机参数下的仿真结果对比分析后发现，改进自适应遗传算法求解此类问题的精度以及准确度，都明显优于传统遗传算法。

6 结论

本文基于对Weibull分布的参数求解的研究，结合极大似然估计其，建立了极大似然函数方程组，再对比改进自适应遗传算法和传统遗传算法在求解此类问题上的优劣。通过仿真结果的比较，得出改进自适应遗传算法在求解此类参数评定问题时，能够更好地避免早熟、过滤局部最优解，从而得到更加精确的可靠性寿命模型。

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[责任编校： 张 众]

Parameter Evaluation of 3-parameter Weibull Distribution based on Adaptive Genetic Algorithm

WEN Changjun1，2LIU Xin1，2

(1SchoolofMechanicalEngin.,HubeiUniv.ofTech.,Wuhan430068,China2HubeiKeyLaboratoryofModernManufacturingQualityEngin.，Wuhan430068,China)

The study is aimed at solving the problems of error and inefficiency in parameter evaluation of a reliability life model in 3-parameter Weibull distribution. Firstly, the maximum likelihood equation was made in the study. Then the deficiency, in steps of using traditional genetic algorithm to solve the maximum likelihood equations, was optimized. An adaptive genetic algorithm was obtained that can be used to solve the maximum likelihood equations. Finally, it compared the simulation results in MATLAB between adaptive genetic algorithm and traditional genetic algorithm. It can be concluded that the adaptive genetic algorithm was more efficient and adaptable than the traditional genetic algorithm. This method also provides a reference for solving the similar problems in parameter evaluation.

reliability life model; 3-parameter Weibull distribution; maximum likelihood estimation; adaptive genetic algorithm

2016-10-24

文昌俊(1970-)， 男， 湖北仙桃人，湖北工业大学教授，研究方向为可靠性与质量控制

刘 鑫(1994-)，男，湖北仙桃人，湖北工业大学硕士研究生，研究方向为可靠性与质量控制

1003-4684(2017)01-0089-04

TB114.3

A