案例教学法在概率统计课程中的应用研究

汪红霞

摘 要 “概率论与数理统计”是最重要的公共基础课程之一，其理论严谨，应用广泛。采用案例教学法，能充分调动学生的学习积极性。本文讨论了案例教学法应用于“概率论与数理统计”课程的意义，方法与步骤以及案例的选用准则。

关键词 概率论与数理统计 案例教学法 准则

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.11.043

0引言

“概率论与数理统计”是一门研究随机现象规律的学科。它用统计的思维和方法探索不确定性的客观世界，用随机性思维认识人类社会中各个领域的非确定性事物。它特有的探索思想渗透于现代生活的方方面面，成为众多学科领域不可替代的常用分析工具。通过学习该课程，学生既可以获得概率论与数理统计较为全面的基础知识和方法，又能学到观察客观世界的随机性思维方式，掌握处理不确定性问题的随机分析、统计分析和数据处理技术，培养用随机性思维分析、解决问题的能力。

目前，在该课程教学中，仍存在“填鸭式教学”现象，教师占据着绝对权威地位，学生则被动接受。而“概率論与数理统计”这门课程具有理论方法独特、抽象的特点，使得这门学科的思维方式与以往学生们接触的数学基础课程有较大的区别。若一味机械地进行定义、定理等讲解，会让学生感到该课程枯燥乏味，无法取得良好的教学效果。

怎样激发学生的积极性与主动性，培养能把理论与实践相结合，具有创新精神的人才，是我们必须面对的重要课题。在上世纪初，美国教育学家杜威针对传统教育的弊端，提出了“明了—联想—系统—方法”教学四个阶段的创造性观点，注重培养学生发现问题、解决问题的技能，即“确定问题情境—提出解决方案—搜集资料验证、假设—得出结论。”强调将实际案例融入到教学中，通过让学生紧密合作来解决实际案例问题，再学习案例背后隐藏的科学知识，形成解决现实问题的技能，并培养自主学习能力。案例教学法起源于上世纪20年代，最早由哈佛商学院提出，当时他们采用的案例都是来自经济管理中的真实事件。到了20世纪80年代，由于美国卡内基小组于1986年提出了《准备就绪的国家：二十一世纪的教师》报告，报告中特别指出了案例教学法在师资培育课程的价值，并提出案例教学法是一种相当有效的教学模式，案例教学法才得到重视。案例教学法于1990年起开始在我国教育界受到重视，发展至今已颇具成效，现在我国每年还举办全国应用统计专业硕士案例大赛。下面就案例教学法的意义、步骤及选用标准进行阐述。

1 案例教学法的意义及作用

案例教学法主要有三个作用：一是激发学生的学习兴趣和主动性；二是提高学生解决实际问题的能力；三是提高学生的创新能力及团队合作能力。总之，它是一种既能提高学生的综合素质，又能将理论与实践相结合的有效教学模式。①

（1）激发学生的学习兴趣和主动性。案例教学法将现实世界中的实际案例带入课堂，让学生独立思考与分析，此时教师已转变了角色，教师不再是绝对权威者，成为学生主动学习的引导者，这样不仅能激发学生的学习动力，还能培养学生的学习兴趣。

（2）提高解决实际问题的能力。“概率论与数理统计”课程的许多内容都与生活和生产实践紧密相关，案例教学法不仅能使学生更加深入地理解理论知识，还能促使学生把所学的理论知识运用于实践。针对实际案例，结合统计计算软件，从而能提高学生解决实际问题的能力。

（3）提高创新能力及团队合作能力。案例教学法应用于课堂的过程中，学生的主体地位得到了尊重，教师则起到引导作用。一般情况下教师将学生分成若干个学习小组，每个小组围绕教师提供的实际案例展开讨论，各成员进行积极思考与发言，在教师的引导下提出解决问题的有效方法。这样不仅可以培养学生的团结协作能力，又可以从不同角度理解掌握理论知识，最终获得创新能力与团队协作能力的提高。

2 方法及步骤

2.1 案例精选

教师要结合“概率论与数理统计”课程中的理论知识点，有针对性地精选现实世界中典型的案例，再在教学中以恰当的方式展示给学生，激发学生的积极性及主动性，让学生带着案例去理解消化课本中的理论知识，有效提升学习效果。在精选案例后，教师要注意三个方面的内容：一是确定案例的展示形式，以使学生能充分理解案例内容；二是教师要根据案例设置出能体现教学重点及难点的问题，让学生容易将课本理论知识融入案例中，去发现问题、提出问题，进而提出解决问题的方法；三是教师结合案例提出的问题要能体现课本中的知识点，要易于学生接受。问题要由浅入深地展示给学生，使得课本中的理论知识充分融入案例教学中。

2.2 案例讨论

实施案例教学法的关键是激发学生主动参与案例讨论。教师在教学前精选一个典型案例，然后依据教学目的，整理出相应问题，调动学生的探讨兴趣，促使学生利用课内外所学的理论知识对案例展开积极讨论。每个人在讨论过程中要发表各自的思想与观点，然后各组或班级对讨论的结果进行总结，最后教师对学生的讨论结果进行点评，从而使学生得到启发，培养了学生解决实际问题的能力。

2.3 案例总结

教师总结是实施案例教学法的最后一步，也是关键一步。在案例总结中，教师要及时评价学生的优缺点，分析案例的疑难点，有针对性地进行扩展分析。教师要从不同角度对学生讨论中存在的问题加以指导，用不同方法来解决案例中的问题，结合常用的统计软件（R、SAS等）编程来解决问题，再总结出最佳方案。希望通过案例总结，使学生学会运用所学知识来解决问题，最终让学生能举一反三、触类旁通，使所学到的理论知识得以延伸及应用，解决现实中的相关问题，也可以提高学生的计算能力。

3 选用准则

3.1 趣味性

兴趣是最好的老师。概率论与数理统计中有很多有趣的典故和例子都来源于生活。教师可以引用实际案例，激发学生的学习兴趣。比如在讲古典概型时，可以给学生举赌徒分赌金的例子：甲、乙两赌徒分别下赌金500，约定谁先赢5局，谁就能获得全部赌金。赌了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，他们不想赌下去了，应该怎样公平地分配赌金？有些例子可以用玩游戏的方式呈现出来，例如关于有奖竞猜的蒙提霍尔问题。教师可以给学生设置场景，假如学生在参加一个电视有奖竞猜节目，教师给学生三个箱子，编号分别为A、B、C，其中有一个箱子里有奖（教师知道哪个箱子有奖），学生选择了其中一个箱子（假如是A箱），教师打开了B箱，并让学生看到B箱里没有奖，此时教师可以问学生：“给你一次机会，你改变自己的主意，会选C箱吗？”这些是有趣的例子，学生期待找到答案，学习动力会更足。

3.2 典型性

案例是为教学目标服务的，所选案例应该与相应的理论知识有直接联系，因此它应该具有典型性。比如讨论抽签公平性问题，讲古典概型时可以提问题：盒中有a个黑球，b个白球，把球随机地逐个取出（不放回），那么事件A：“第k（1≤ k ≤ a+b）次取到黑球”的概率？讲解条件概率时，可以提问：5张签中有3张“有”，2张“无”，5人依次抽签（不放回），那每個人抽到“有”的概率是多少？ 所以教师应该精心选择有代表性的案例，并且给学生归类总结，举一反三，会达到事半功倍的效果。

3.3 知识性

有一些概率统计问题，可利用别的数学知识来加以分析解答。反过来，其它一些数学问题，也可以利用概率统计的知识来解决。因此教师可以列举一些表面上不属于概率统计范畴内的问题，利用概率统计的思想方法，建立适当的概率模型，通过统计软件编程去解决这些问题。如利用概率统计模型可以求解很难直接计算的积分、极限等数学问题，增加概率论与数理统计的知识性，激发学生的学习兴趣。

3.4 实用性

在案例选取过程中，还要注意增加与实际生活贴近的例子，如：电影院设座问题、捕鱼问题、诸葛亮与臭皮匠问题、库存与收益问题、彩票中奖率问题等。对这些案例的背景、解决方法、所涉及的知识点等进行讲解，再介绍用统计软件解决这些实际问题，不仅能提高学生的积极性，也能使学生明白概率统计是建立在现实生活基础上的一门应用性很强的学科，从而使学生认识到这门课的重要性。引入案例后，要引导学生对每一个案例进行分析，思考下列问题：（1）要解决的问题是什么？（2）有些什么方法可以来解决这个问题？（3）怎样运用这些方法来解决问题？（4）如何用统计软件编程来解决实际问题？这样能使学生理清思路，从整体上把握概率统计的基本思想。

4 小结

总之，在“概率论与数理统计”课程中应用案例教学法，无论是在教学内容上，还是在教学形式、方法和手段方面，都是对传统数学教学模式的一种发展和补充。案例教学法充分体现和尊重了“从实践到认识，再从认识到实践”的发展规律，使抽象的理论易于接受和理解，是教学改革中的有益尝试。

注释

① R.A. Johnson， Probability and Statistics for Engineers Seventh Edition， Beijing Electron Industry Press， 2005.