从1+1=2走向1+1>2——谈初中数学教材课时局部解读

浦叙德

从1+1=2走向1+1>2
——谈初中数学教材课时局部解读

浦叙德

从“教材解读”到“教学设计”，再到“课堂实践”，是一线数学教师追求课堂教学长效、达成数学学科核心素养培养目标的有效途径。其中，教材解读是起点和基础，教学设计是支点和关键，课堂实践是终点和归宿。从中可以看出，课堂教学成败的源头在教材解读。事实上，每一课时的教学素材都是由几个相关联的素材组成的，从系统论角度看，整体素材可以用分解的方式进行局部解读，通过对局部素材的深度解读，最终达成超预期的整体实践效果。如果把课时整体解读效果看作1+1=2，那么课时局部解读力图达成的目标就是1+1＞2。下面，笔者就按照苏科版教材一个课时中素材出现的先后次序，针对每一板块来谈谈进行局部解读的有效方法。

一、知识产生情境素材的解读

每一课时的开始，教材一般会给出“知识产生的情境素材”。情境是一种以激发学生问题意识为价值取向的、刺激性的数据材料和背景信息，是让学生从事数学活动的环境、产生数学行为的条件。情境素材主要有两类，一类是基于学生“生活现实”的生活情境，一类是基于学生“数学现实”的数学情境。生活情境素材既有数学的成分，又有非数学的信息，主要的解读方法就是从情境中先提取数学信息，后提出有价值的数学问题，把“应用型初始问题”作为课堂教学知识形成和发展的“敲门砖”，体现“生活实际问题，抽象数学知识，演绎数学知识，解决实际问题”中“抽象”的基本思想，又体现“生活—数学—生活”中“数学来源于生活”的基本规律，即“生活情境素材要数学问题化”。数学情境素材的主要解读方法，就是找到新知的源头，把“结构型初始问题”作为逻辑起点，体现“数学知识之间存在逻辑顺序、数学知识之间存在着实质性的联系”的知识关联，即“数学情境素材要逻辑关联化”。

知识产生情境素材的解读，本质要指向“会用数学的眼光观察现实世界”这一数学学科核心素养。如七（上）第2章有理数中“2.6有理数的乘法与除法”（苏科版，以下素材全部出自苏科版国标教材，不再一一注明），开篇就采用“在水文观测中，常遇到水位的上升与下降问题”的生活情境。学生对于这个情境，一是有日常的生活经验，二是有前面正数与负数意义的数学现实，所以，很容易形成基于生活现实就可以解决的系列问题。解读第一步，生活问题经验解决：“如果水位每天上升4cm，那么1天后、2天后、3天后……，水位上升了多少cm？3天后的水位比今天高/低多少cm？1天前、2天前、3天前……，水位比今天高/低多少cm？”“如果水位每天下降4cm……”“你还能提出什么问题？”解读第二步：生活问题数学抽象化。“规定水位上升为正，水位下降为负，几天后为正？几天前为负？”解读第三步，数学问题指向主题：有了这些数学规定，可以解决很多数学问题，在众多问题中，最后指向本课研究的有理数乘法问题。

二、知识形成发展素材的解读

在每一课时的中段，教材一般会给出“知识形成发展素材”。这些素材包括概念、法则、公式、性质、定理等基础知识，它们组成了数学这座大厦的基本框架。这些数学知识在教材中或隐或显，从解读的视角看，首先要读出显性的数学知识，其次要找到这些知识隐性的数学本质，最后要将已有知识、新学知识与将学知识形成知识体系和逻辑结构。在知识形成、发展素材中，教材也会设置一些引导学生“做数学”的栏目，如“数学实验室”“数学活动”“课题学习”“议一议”“想一想”“试一试”“做一做”“读一读”等，其目的是引导学生通过“做”，感受数学，探索知识，解决问题。这些素材和呈现方式主要是让学生亲身经历知识的产生、形成、发展过程。因为数学学习是一个不断获得学习经验，不断进行思维投入、知识建构的过程，只有“活动”与“过程”才能促进学生理解数学知识、获得思想方法、积累活动经验，从而形成数学学科核心素养。一句话概括就是，“知识形成发展素材要数学问题化、问题活动化、活动过程化”。

知识形成发展素材的解读，本质要指向“会用数学的思维思考现实世界”这一数学学科核心素养。如八（上）第4章实数中“4.1平方根”，教材呈现了“格点矩形计算对角线长的情境，从中析出的数学问题就是已知幂与指数求底数的问题；进而抽象出平方根的概念及内涵解析；在引出开平方概念后，利用开平方求平方根”三部分素材。该如何解读教材上这个知识的形成发展过程呢？教师直接利用教材的数学情境引入未尝不可，但没有体现知识产生的源头和知识之间的关联。考虑到“平方根、开平方”处于整个知识链实数中“数”与“运算”的中段位置，可以用“数的发展”与“运算完备”作为引入问题，在此基础上，教师通过生活与数学的例子，先解决已知底数和指数求幂的乘方问题，因为学生已学乘方，因此可以全部解决；再展示生活与数学中已知幂和指数求底数的问题，发现特殊的幂（完全平方数）和特殊的指数2可以求出底数（正负两个），而一般的幂（不是完全平方数）和指数2无法求出底数，引起学生认识冲突，感受学习新知的必要性。在此基础上，通过特殊到一般的归纳，引出平方根的定义，并解析出平方根有正负两个的内涵，一旦平方根概念形成，开平方概念的形成和发展就水到渠成了。

三、知识运用应用素材的解读

在每一课时的后段，教材一般会给出“知识运用应用素材”。教材中每节教学内容里面，一定会有相应的例题和习题。这些素材包括运用数学知识解决数学问题和应用数学知识解决实际问题，有的应用素材放在最后几课时组成的一条知识链中，集中呈现。例题和习题等素材是数学课堂教学的一个重要组成部分，是学生巩固基础知识、形成基本技能、发展思维能力、形成应用意识的重要途径。教师在解读知识、运用素材时，除了解读出必知的基础知识和必备的基本技能以外，更重要的是以此为素材进行二度开发，对例题、习题进行适当的变式、引申、拓展，挖掘出这些资源的潜能，解读出解决这些数学问题的思想方法，并通过问题解决培养学生的思维能力，从而提高学生的数学学科核心素养。

无论是对放在每一课时最后的应用素材，还是对新知形成发展后集中放在一起的应用素材，教师在解读时都要注意：解决实际问题本身是目的，但更重要的，目光应放在解决实际问题的过程中，运用数学知识，建立数学模型，发现数学规律，形成数学方法，寻找数学本质，从而完成“数学从生活中来，再回到生活中去”的循环，培养学生的模型思想，进而让学生形成必要的应用意识和创新意识。一句话概括就是，“知识运用应用素材要方法化、模型化”。

知识运用应用素材的解读，本质要指向“会用数学的语言表达现实世界”这一数学学科核心素养。如七（下）第10章二元一次方程组中“10.5用二元一次方程组解决问题”，就属于集中应用素材呈现的情况。教材呈现了“问题1.国庆长假期间，某旅行社接待1日游和3日游的旅客共2200人，收旅游费200万元，其中1日游每人收费200元，3日游每人收费1500元。该旅行社接待的1日游和3日游旅客各有多少人？”这个问题。实际上，代数类“用……解决问题”的每一课时的素材，都是一个实际问题。一些教师往往会选择增加同类的2～3个例子这样的简单化操作，作为整课教学素材的解读，这实际上是题海战术思想的具体体现，非常不可取。因为就算选择再多的例子，也无非是同一水平线上的重复，必要的反复是强调，过分的反复是多余，题目的叠加并不会提高学生的建模水平和解决问题的能力。而正确的材料解读方法应该是以这个问题为基本研究素材：1.提取问题中已知的数学信息（总人数2200人、总费用200万元、1日游每人200元、3日游每人1500元）和未知（1日游的人数、3日游的人数），找到已知量与未知量之间的数量关系（1日游的人数+3日游的人数=2200人，1日游的费用+3日游的费用=2000000元），未知量用字母（x、y）来表示，找到对应量的代数式（200x、1500y），把数量关系符号化表示成方程（x+y=2200，200x+1500y=2000000），最后是解方程（x=1000，y=1200）、检验和作答。这样就把一个整体问题分解成若干个局部小问题，实际上也完成了用二元一次方程组解决问题基本步骤的归纳，那就是“审、设、列、解、验、答”。2.对整个解题过程从宏观上加以回顾与总结，就可以得到“实际问题—数学化—数学问题（二元一次方程组）—数学的解—检验—实际问题的解”的建模过程。3.对原题进行变式，改变题目数据或改变情境素材，加强对解题步骤和建模过程（本质）的理解。4.可以再举一个“形变而实不变”的例子加以练习和巩固。5.还可以在上述获得的二元一次方程组的基础上，让学生自己编制符合实际的问题，此时的“百花齐放”才能让学生真正感悟“数学模型”在解决实际问题过程中的巨大作用。

无论是1+1=2的课时整体解读，还是1+1＞2的课时局部解读，都是为了教学设计的最优化，进而取得课堂教学优效、长效，达成数学教学的最终目标——数学学科核心素养。因为课堂教学是一线教师最应该坚守的永恒阵地，所以教材解读就必然是一线教师最值得探索的研究领域。愿有更多的数学同仁加入到数学教材解读研究的行列中来，更希望看到基于教材解读下的数学课堂教学既有眼前的执着，又有“诗”和“远方”！

本文系江苏省教育科学“十二五”规划专项课题“初中数学教材（点全·线联·面融）式课时解读的实践研究”研究成果之一（课题立项号E-c/2015/26）