再现真实过程重在思维提升——“函数（第1课时）”教学设计与思考

张伟俊

再现真实过程重在思维提升
——“函数（第1课时）”教学设计与思考

张伟俊

一、教材分析

函数是中学数学最重要的基本概念之一，是在数、式、方程、不等式、平面直角坐标系等内容的基础上展开的，同时也是学生后继学习一次函数、反比例函数、二次函数等内容的基础。

二、学情分析

八年级学生看问题往往是局部的、静止的，不善于把抽象概念与具体事例联系起来。学生之前学的都是常量数学，研究对象多为孤立的、静止的，引入变量给函数下定义，显得抽象、复杂，因此，本课的教学应重视通过大量实例，在引导学生认识事物变化的过程中有效地渗透、逐步地揭示函数的本质特征。

三、教学目标

了解常量、变量的意义和函数的概念，能举出函数的实例；经历从具体实例抽象出函数概念的过程，体会“变化”与“对应”的数学思想，会判断函数关系；在探索函数概念的过程中，体会数学的应用价值和事物之间相互联系并不断运动、变化、发展的哲学思想。

四、教学重、难点

重点：了解函数的概念和自变量的意义，会判断函数关系；难点：从具体实例中抽象出函数的本质，理解“对应关系”。

五、教学过程

1.创设问题情境，明确研究方向。

引例1《名侦探柯南》中有这样一个情境：柯南根据案发现场的脚印，锁定疑犯的身高。你知道其中的道理吗？

引例2北京时间2013年6月13日13时18分，天宫一号目标飞行器与神舟十号飞船成功实现自动交会对接。天宫一号目标飞行器与神舟十号飞船为什么能实现自动交会对接呢？

设计意图：从生活实际出发，让学生意识到研究“变量”的必要性和重要性。同时有意识地指明“从简单到复杂”的研究思路，激发学生的探究兴趣。

2.初步感受变化，引入变量概念。

实例1电影院以20元每张的票价出售电影票，在售票的过程中，涉及哪些量？其中，哪些量没有变化？哪些量不断变化？

实例2一辆列车匀速从常州驶向南京，在这个运动的过程中，涉及哪些量？其中，哪些量没有变化？哪些量不断变化？

设计意图：引导学生初步感受生活中的变化，体会不变的量和变化的量，引进常量和变量的概念。

3.探究变化规律，提炼函数模型。

实例3新中国成立以来，我国已经进行了六次人口普查。下表是我国六次人口普查的人口数统计表。

（1）在这一变化过程中，有几个变量？（2）1953年，中国人口数为多少？2010年，中国人口数为多少？（3）在这一变化过程中，变量之间有怎样的依存关系？

实例4在一根弹簧的下端悬挂重物，在弹簧的弹性限度内，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm。弹簧原长10cm，设重物质量为mkg,受力后的弹簧长度为lcm。

（1）在这一变化过程中，有几个变量？（2）你能用m表示l吗？当m=1时，l为多少？当m=3时，l为多少？（3）在这一变化过程中，变量之间有怎样的依存关系？

实例5某地一天的气温变化如下图。

（1）在这一变化过程中，有几个变量？（2）任意给出某一时刻t，你能说出这一时刻的气温T吗？（3）在这一变化过程中，变量之间有怎样的依存关系？

思考：上述的3个变化过程有什么共同点？

先小组交流，再大班展示，最后师生共同总结出3个要点：1个变化过程、2个相关变量、单值对应关系。

设计意图：借助表格、表达式、图像这3种形式的典型实例，引导学生体会“在每个变化过程中，两个变量之间的单值对应关系”，为提炼函数概念做好准备。

4.界定函数概念，剖析函数表述。

教师首先规范表达函数定义，让学生尝试复述，紧扣“关键词”，引导学生真正理解两个变量间的单值对应关系。然后，举例说明函数概念：

（1）在一个变化过程中，变量x、y之间满足y=x2。①y是x的函数吗？为什么？②x是y的函数吗？为什么？

（2）小明说：“正方体的棱长为a，正方形的体积v是a的函数。”小亮说：“长方体的长为a，宽为b，高为4，长方形的体积v是a的函数。”他们说得正确吗？为什么？仿照范例，自己编一个表示函数关系的实例。（学生先独立完成，再小组交流，最后展示。）

设计意图：在提炼实例共同点的基础上，引进函数模型，并通过从正反两方面举例的方式引导学生初步理解函数的概念。

5.介绍函数历史，促进理解函数。

教师向学生介绍“函数”一词的来源。

设计意图：促进学生对函数概念的理解，激发学生的研究兴趣。

6.精心剖析例题，巩固函数概念。

例1用一根1m长的铁丝围成一个长方形。（1）当长方形的宽为0.1m时，长为多少？（2）当长方形的宽为0.2m时，长为多少？（3）当长方形的宽为am时，长为多少？（4）长方形的长y(m)是宽x(m)的函数吗？为什么？

例2根据表格中的信息，回答问题。

x y x y 1 2 3 4 5 6 7 1.0 8 1.5 1.0 9 1.5 1.0 10 1.8 1.0 11 2.0 1.2 12 2.0 1.2 13 2.5 1.5 14 2.5

其中，x表示乘公交车的站数（站），y表示相应的票价（元）。（1）y是x的函数吗?为什么？（2）x是y的函数吗?为什么？

变式：在国内投寄平信应付邮资如下表。

4 0＜m≤6 0 1 . 6 0信件质量m邮资y 0＜m≤2 0 0 . 8 0 2 0＜m≤4 0 1 . 2 0

邮资y（元）是信件质量m（克）的函数吗?为什么？

例3（延伸拓展）在下列表示关于y与x的对应关系的图像中，哪些可以看成y是x的函数？

设计意图：通过对典型例题的精心剖析，在表达式、表格、图像等3种不同的背景下，引导学生判断函数关系，内化对函数概念的理解。

7.课堂回顾总结，畅谈学习感悟。

8.分层布置作业，促进分层提高。

六、教学反思

面对抽象的数学概念，我的教学主张是要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式，让概念教学成为过程教学，而不是告知式的结果教学。因此，本节课以大量的生活实例为素材，按照“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开，充分展现了函数概念的形成与应用过程，并努力在函数概念引入、形成、表述、解释、应用的过程中，让学生了解函数模型、体会数学思想、感受数学文化。

1.目标的呈现，彰显现实需要。

通过对柯南破案和太空之“吻”两个实例的分析，引导学生体会研究变量之间关系的必要性，并类比方程的研究思路，明确运用“从简单到复杂”的思路研究变量之间的关系。

2.概念的引入，凸显共同属性。

从具体情境到数学知识的形式化，需要教师为学生搭建合适的“脚手架”，提出能引发学生思考的问题。在具体情境的探究过程中，我通过问题串的形式，让学生的思维不断聚焦并逐步意识到，从宏观上看，探究的总体框架是1个变化过程、2个相关变量、1种对应关系；从微观上看，在认识常量和变量后，集中精力探究两个变量之间的关系——单值对应关系。概念的形成是一个积累、渐进的过程，在这样一种指向明确的探究过程中，学生不断地思考提炼，有利于让概念成为学生主动思维的结果。

3.概念的形成，体现亲切自然。

学生从大量的同类事物的不同例证中，抽象出两个变量之间关系的“共同属性”后，为了表示这样的“两个变量间的单值对应关系”，很自然地就引进了一个新的数学模型“函数”。这样的概念不是教师讲出来的，而是靠学生自己去感悟、体验出来的，显得亲切自然。

4.概念的理解，抓住关键字词。

函数概念是一个比较抽象的概念，学生理解有困难。在教学中，引导学生抓住“每一个值”“唯一的值”“对应”等关键词，再结合数学史、具体实例进行解读，能收到化难为易的效果。

5.概念的应用，回归本质理解。

学习函数概念的根本目的是让学生用函数的观点认识生活中变化的事物，能识别具体情境中的函数关系。在函数概念的应用环节，通过大量的正反例和变式训练，反复让学生进行分析、比较、鉴别、归纳，揭示函数概念的本质，加深学生对函数概念的理解。

在这节课的教学中，我试图从“追求思路自然、再现真实过程”和“立足方法引领、重在思维提升”两个方面立意，力争让每一个学生在掌握知识技能的同时，学习兴趣得到提升，研究方法得到优化，数学思维得到发展。