数形结合，提升数学解题能力

江苏省高邮市第二中学 沐椿昌

研究表明，大多数人的右脑较为发达，图象记忆的效率相比文字性记忆的效率更高，印象更加深刻，不容易遗忘。高中数学中有好多文字性的概念和相关题目，在教学过程中，面对这些枯燥的文字概念，学生在做题时会手足无措，所以我们要尽可能地将其转化为对应的数学图象，以便学生更好地理解和记忆。

一、相互转化，发展抽象思维

在诸多数学题目中，“数”与 “形”相互结合是较为常用的方法，同时还涉及它们之间的转化，把题目中数字性的描述转化为图形的形式，有助于学生理解题目中所给条件之间的关系及本质，准确把握题目的命脉，逐渐培养并发展学生的抽象思维。反之，也可将题目中图形类的条件转化为对应的数量关系，其效果大同小异。

高一数学侧重于数量转化为对应的图形，学生刚步入高中，没有抽象思维这一概念，因此，培养学生的抽象思维是教学计划工作的重点之一。以高中必修一第一章《集合与函数概念》为例，《集合》部分涉及很多数量转化为图形类的题型，例如：三年级（1）班共有42人，18人选了微机小组，15人选了象棋小组，还有12人两个小组都没参加，问两个小组都参加的有多少人？好多同学一看到此题就懵了，因为搞不清他们之间的数量关系。我在讲解时，首先引导同学们利用图形的方法进行分析，画个大圈并在圈外标上42，其次在圈内画上两个小圈并有部分重合，分别标注18和15，而后在大圈内两个小圈外写上12。至此，问题迎刃而解，数量关系一目了然，很容易就求出了问题的答案。此题虽不复杂，列解方程也能求出答案，但通过该方法能培养同学们数形转换的意识，并由浅入深，当遇到更加复杂的题目时，用类似的方法解题效率会更高。

解数学题目的关键是抓住题目的本质，遇到类似的题目可以利用数形转化的思想进行解题，能快速理清已知条件与未知条件之间的数量关系，从而准确解答。在讲解集合这部分习题时，我们要正确地引导同学们将数量转化为所对应的图形，力求让学生在初级阶段形成抽象思维，为之后的学习打下坚实的基础。

二、对应表征，渗透融合思想

所谓真正掌握数形结合思想，不仅要实现从“数”转化为对应的“形”，还需利用逆向思维从“形”转化为对应的“数”，在整个过程中，我们要从培养学生数形结合意识逐渐过渡到帮助学生建立并增强这一意识，在讲解相关题目时，要特别注重数与形之间的对应表征，正确地引导学生，不断给学生渗透融合思想。

高中数学中，函数也是一大难点，在判断函数问题解的个数时，如果能实现数形之间的双向转化，在解相关题目时就会取得事半功倍的效果。例如必修四第一章《三角函数》中部分习题涉及求解的个数，如：方程log2x=sinx解的个数为（ ）。A.1；B.2；C.3；D.4。如果利用常规的解方程的方法，很难求出结果，利用图象法很快就能求出结果，将方程的根的个数问题看作是两个函数图象交点的个数，并从题目所给的已知条件入手。首先让同学们回忆了对数函数的相关知识点，并且在坐标系中作出其图象，过（0,1）点，然后绘制出正弦函数图象，标出特殊点的相对位置，答案一目了然。为了达到双向转化的目的，我将题目中的已知条件拆分成两个类似的函数f（x）1=lgx，f（x）2=cos2x，在黑板上画出对应的图象（未标注函数关系式），让同学们写出其函数表达式，当两个函数相等时，组成新的函数，并求新函数解的个数。

在平时的练习中，我们要适当增加“数”与“形”之间双向转换的题型，让学生逐步掌握这一方法，提高解题能力。通过这样的方法，在解题时，不仅巩固了之前所学的知识点，还将其与现阶段的所学进行了结合。在今后教学中，我们需要让同学们真正了解数形之间的相对关系。

三、分析错误，强化逻辑能力

“错误常常是正确的先导”。有效的错误分析是通向正确的必经之路，学生在做数形结合类习题时犯错是不可避免的，正确地进行错因分析胜过做多道数学题，由此，分析并纠正涉及数形结合问题的错误就显得尤为重要。在给学生进行习题讲解时，需要有意识地培养学生的逻辑思维能力，并不断强化。

在高中数学中，常常涉及解不等式的题目，而且往往是学生易错的题目。以高中数学选修1-1第二章第三小节《抛物线》相关题目为例：不等式的解集是？多数同学出错的原因是没有考虑定义域，直接上手做，就导致了错误。在讲解该题目时，我先带领同学们进行了仔细分析，梳理出整体的做题思路，然后按步骤进行讲解，首先求出函数的定义域：x≠0，令f（x）=x，g（x）=，建立直角坐标系，

有效地分析数形结合类习题解题时所出现的错误，能使学生的思维更加缜密，加深对于数形结合思想在实际题目中的理解，从而提高学生解决实际问题的能力。我们要让学生在分析错因的过程中不断提高，并将数形结合思想提升到新的高度，使其贯穿于整个高中数学学习过程中。

总而言之，要想提高学生的数学解题能力，就要注重数形结合意识的培养，并不断使其发展成为一种思想，并在做题过程中不断强化该思想，做到灵活、巧妙地应用。因此，我们需要以此为基础，让学生系统地学习并掌握数形结合思想，提高学生的数学解题能力。