分类讨论思想在高中数学教学中的应用

江苏省宝应县安宜高级中学 蔡洪霞

高中数学知识比较抽象，对于一些可能出现的多种情况，就要求学生能够准确归类，做到不漏不重，有效地将问题化为几种情况，分别对待，通过分类讨论思想的灵活运用，不仅能让学生巩固掌握的数学知识，还能有效促进学生思维能力的发展，从而提高学生的学习效率，让学生热情高昂地投入到数学的学习和探究中。

一、分类讨论思想在数学中的意义

所谓分类讨论思想，就是根据数学研究对象的性质和特点，将其分成几个小类，将一个问题转化成几个小问题进行研究和解决。在高中数学教学中，常常会涉及所研究对象的各种情况，这就要求根据研究对象的确定条件和变化条件的特点规律，将其按照不同的情况进行分类，然后再逐一进行讨论，分类讨论思想是数学中比较常用的思想方法之一。在对研究对象进行分类的时候，需要根据研究对象的特点进行正确的分类，避免分类不全或是重复的情况。分类讨论思想在解决实际问题的过程中有着重要的意义，对于比较抽象、复杂的数学问题，运用分类讨论思想，可以将其转化为几个简单的问题，从而有利于帮助学生树立运用数学思想的意识，提高学生的思维能力。

二、分类讨论思想在高中数学教学中的应用分析

分类讨论思想在数学的各个知识学习和探究中都有着普遍的应用，下面主要就高中数学中的一些常见的应用进行分析：

1.分类讨论思想在函数中的应用

函数是高中数学知识的重点，也是学生比较难以掌握的难点，函数的结果常常会随着变量的变化而变化，因此，在高中数学函数教学中进行分类讨论思想的应用，可以把函数参数作为研究对象，然后进行分类讨论，深入问题的研究，将函数的各种情况都进行有效分析，从而提高学生的知识掌握程度，促进学生数学思想的运用能力。

比如：一个公司组织员工去外地旅游，在预订酒店的时候有甲、乙两家酒店价格一致，都是100元每人每天，已知甲酒店的团购方案是如果超过10人，超过10人的费用打9折，乙酒店的团购方案是如果超出20人，超过20人的费用打8折，如果你是负责联系酒店的负责人，以上两家选择哪家更合适一些呢？

本题中的出游人数不确定，因此需要用分类讨论的思想进行解决，假设出游的人数是x，则当x≤10的时候，两个酒店一样；当10＜x≤20的时候，甲酒店合适；当x＞20的时候，住甲酒店的费用为：10×100+（x-10）×90，住乙酒店的费用为：20×100+（x-20）×80，当两个酒店消费一样时，解得x=30。因此，当20＜x＜30的时候，住甲酒店合适，当x=30时，两个酒店消费一致，当x＞30的时候。住乙酒店合适。

2.分类讨论思想在概率中的应用

概率问题也是高中数学教学的重点内容，因为概率有着很多的不确定因素，必须要对各种可能出现的情况进行合理分析，并进行进一步地讨论和研究，因此很多时候需要进行分类讨论思想的运用，才能让学生全面把握概率的各种可能性，进而掌握概率的知识，提高学生的数学素养。高中数学教师在进行概率教学的时候，要从概率的研究对象出发，结合概率问题的具体要求进行合理分类，这样既可以做到全面不遗漏，也可以有效解决问题。教师要引导学生进行合理的分类，对各个可能出现的情况进行逐一讨论，以便最终确定问题的结果。分类讨论有利于学生用较短的时间高效地解决问题，从而有效提高学生的学习效率。例如：有18个球，小明从1到18逐个为每个球进行编号，如果这18个球中任意取出3个，那么，所取出的这三个球正好可以组成公差为3的等差数列的概率是多少？

本题是一个古典概型的问题，总的取法一共有C=17×16×3种。每个球都有被取出的可能，因此，可以用分类讨论的思想进行分类，因为公差为3的三个球可以组成一个等差数列，因此，当a1=1的时候，球的编号要想符合条件，就需要从1、4、7、10、13、16中进行选择，共有4种符合条件的选法。同样，当a1=2，a1=3的时候，同样有4种选法。因此，所取出的这三个球正好可以组成公差为3的等差数列的概率是

3.分类讨论思想在数列中的应用

分类讨论思想在数列教学中也被经常用到，在一些具有周期性的数列问题中，合理运用分类讨论思想可以做到事半功倍，有效提高学生的思维能力和学习效率。因此，教师要引导学生在数列的学习中进行分类讨论思想的实际运用，尤其对一些知道了前n项的和，要求解数列通项公式的问题，需要对n=1的情况进行要求讨论。例如：已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-n，那么，数列{an}的通项公式是多少？

本题需要注意n=1的特殊情况，因此，当n=1时，a1=12-1=0；当n≥2时，时，a1=0，所以通项公式为an=2n-2。

总之，分类讨论思想在高中数学的教学中有着广泛的应用，可以有效促进学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的学习效率，让学生掌握数学的思想方法，并能进行灵活运用，培养学生的数学逻辑思维能力。因此，高中数学教师在教学的过程中，不但要让学生掌握数学的知识概念，还应该通过对学生的各种训练，促进学生的数学思想的意识，从而有效提高数学教学质量。

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[2]罗倩倩.分类讨论思想在高中数学教学中的应用[J].高考，2016（24）.

[3]罗桥忠.如何培养高中数学教学中的数学思维[J].高考（综合版），2014（04）.