亲历数学建模 优化建构策略

谢俊男

一、从体验中感悟，积累模型表象

数学建模过程包括从现实生活或具体情境中抽象出数学问题。也就是说数学建模的起点是发现问题与提出问题。在模型准备阶段可从生活情境入手，从体验中感悟比较清晰的数学问题，积累模型的表象。教学“鸽巢问题”一课，笔者尝试以“抢椅子”游戏引入。

【教学片段1】

猜测

师：你们玩过抢椅子的游戏吗？4位同学抢3把椅子，如果每个人都必须坐下，会出现什么情况？

生：总有2名同学坐在同一把椅子上！

师：还没发生的事，你们居然能猜测出来，这在数学上叫“推测”。你们的推测是否正确让我们一起来验证！请大家闭上眼睛，（教师制造“1 3 0”的坐法现象）好，睁开眼睛！

推翻

师：你们说总有一张椅子上坐2名同学，可现在没有出现这种情况啊？像这种坐法（1？摇3？摇0）不就推翻了你们刚才的推测吗？

思考

师：说明的推测还不够严谨！思考怎么将其完善。

生：补上“至少”就行了。

师：“至少”是什么意思？谁来说说看？

第一次试上时，笔者发现“总有”与“至少”二词如果直接正向出示，学生对其理解不够深刻，后来调整为以“抢椅子”游戏入手，找准模型与生活的契合点，让学生在“推测→推翻→思考”中自行添加“至少”一词，逆向操作反而能调动学生的主观能动性，较好地理解“至少”“总有”两大关键词，降低了学习难度。

二、在列举中对比，理清模型组成

列举法的优点在于它的直观性，以列举法的呈现为素材，通过对比让学生进一步理解“总有”这一存在性问题的关键词，即存在一个抽屉但不知道具体是哪个抽屉；与“至少”这一构造性问题的关键词，即知道大于等于2，但具体不知道是多少。最后通过对比各种摆法之间的联系与区别，凸显出（1 2 1）摆法的特殊性。从而让学生理清鸽巢模型的各部分组成。

【教学片段2】

活动一：用列举法证明4放3。

师：刚才说总有一个抽屉里至少放入2支铅笔，“总有”是什么意思？

生：一定有。

师：是不是真的这样？找找看，第一种摆法，在哪？圈出来！

逐一呈现（1 ③ 0），（④ 0 0），（2 ② 0），（1 ② 1）。

师：至少2支铅笔是什么意思？

生：不管怎样都不少于2支，可以是2支也可以大于2支。

师：（1 2 1）摆法是至少的情况，它相比其他摆法有什么特殊之处？

小组讨论：（4 0 0）摆法为什么不是至少的情况？

（1 3 0）摆法相比（4 0 0）摆法优化在哪？

（1 2 1）摆法相比（1 3 0）摆法怎么样？

第一次对比各种摆法旨在让学生进一步理解“总有”“至少”二词的含义；第二次对比各种摆法旨在凸显出（1 2 1）摆法的特殊之处。通过“观察→比较→分析”，明确（1 2 1）摆法相对于其他摆法的特殊之处在于每个抽屉都占有资源。

三、从直观到理性，明晰数学模型

数学模型的建构是由形象到抽象、由直观到理性的提炼简化的过程。列举法虽直观清晰，但在元素较多的情况下就有一定的局限性，教学时不应只停留在列举法直观层面上，而要将其上升到逻辑思维层面，找出其中蕴含的规律。

【教学片段3】

师：刚才我们知道了（1 2 1）这种摆法比较特殊，那么每人都拿出学具摆一摆，感受一下（1 2 1）摆的过程，再与你的同桌互相说一说你是怎么摆的。

师：谁看清楚他摆的过程？他先在每个盒子各放一根说明什么？（平均分）

师：为什么要这样摆？

生■：先让“每个抽屉都占有资源”。

生■：只有平均分才能将小棒尽可能地分散，保证“至少”的情况。

师：现在请你们将这种摆法记录到学习单上，想一想，怎么用算式来表达你的思考过程？（图1）

从实物操作到画图示意，让学生进一步明晰了为什么平均分。从画图示意到用算式表达，是概括与抽象数学模型的过程。通过摆一摆、说一说、画一画、列一列等一系列操作活动，逐步让学生经历由直观走向理性思考的数学建模过程，进而明晰数学模型。

四、从特殊到一般，逐层建构模型

只通过一个例子马上提炼出数学模型，是不科学也不严谨的，一个例子具有特殊性，当然不能“以一概全”。厦门市思明区教师进修学校吴伟华老师向笔者建议：鸽巢问题的研究立足点在于找规律，可以通过控制变量的方式逐层建构模型。即先控制“商1余数1”的情况，从小数据入手找规律；再控制“商1余数非1”的情况，让学生尝试运用找规律的方式进行探究；最后放手让学生自主举例研究商非1的情况下是怎样的。三放三收逐层建构鸽巢问题的数学模型。

【教学片段4】

教学“商1余数1”环节，学生汇报用算式表达思考过程，板书呈现：

3÷2=1（支）……1（支）？摇？摇1+1=2（支）

4÷3=1（支）……1（支）？摇？摇1+1=2（支）

5÷4=1（支）……1（支）？摇？摇1+1=2（支）

师：从上往下观察这些算式，你发现了什么规律？

生1：铅笔比抽屉数都是多1的。

生：余数都是1支。

生：“至少数”都是1+1=2支。

【教学片段5】

教学“商1余数非1”环节。

师：这些余数都是1，手气都这么好！如果余数不是1，“至少数”还是1+1吗？四人小组合作，每人选择一个问题，用你喜欢的方法来证明，再小组交流。

活动二：

a. 把5支铅笔放入3个抽屉中；

b. 把7支铅笔放入4个抽屉中；

c. 把16支铅笔放入12个抽屉中；

至少有（ ）支铅笔放入同一个抽屉。

汇报时呈现：

5÷3=1（支）……2（支）？摇 ？摇1+1=2（支）

7÷4=1（支）……3（支）？摇？摇 1+1=2（支）

16÷12=1（支）……4（支）？摇？摇1+1=2（支）

同“商1余数1”的探究方式一样，“商1余数非1”也是让学生从小数据入手找规律自主建模。通过引导学生观察算式的特点，发现在“商1余数非1”的情况下，不管剩几根，都得再平均分。所以是“至少数”加1，而不是加余数。

五、从模仿到举例，深化数学模型

模仿并不是单纯地模仿解题或机械地训練，而是模仿建模方式。经历了活动一的教结构，活动二的模仿探究，学生已积累了一定的学习经验，这时可以放手让学生自主举例验证“商非1”的情况。从模仿到举例，是对学生逐步放手、开放的过程，同时也是逐步深化鸽巢问题数学模型的过程。

【教学片段6】

活动三：举例证明商是3、4、5……的情况下会是怎么样的？

汇报：

1. 你举的数据是什么？对应你的算式与图示说一说怎么证明的。

2. “至少数”与谁有关？有怎样的关系？

探究前，可先让学生回忆一下前两个活动的探究方法与步骤，再放手让学生自主操作，才能做到有的放矢。从模仿到举例，一方面让学生自主探索，发挥了主观能动性，另一方面释放了教师包办过多的包袱。

从学科育人价值来看，在数学模型的建构中，不应只关注数学模型的结果，更应重视数学建模的过程。通过从体验中感悟——积累模型表象，在列举中对比——理清模型组成，从直观到理性——明晰数学模型，从特殊到一般——逐层建构模型，从模仿到举例——深化数学模型这五条建构策略，实现数学建模的最终目标：让学生形成模型意识与模型思想，以利于他们的自我数学建模，为他们的后续发展提供内生力。