高中数学解题教学模式的实践

张福明

在高中数学教学中，教师对解题模式有自己的经验，其中喻平教授根据不同的教学目标确定了四种解题教学模式：认知建构模式、自动化技能形成模式、模型建构模式、问题开放模式.下面结合自己的教学实践谈点体会.

一、认知建构模式

建构主义学习理论注重学生的主体地位，教师起促进作用.认知建构模式就是，在教学过程中，教师以提问题的形式，引导学生思考解题的方法，最后解答问题，从而使学生在已有的知识架构的基础上主动建立新的认知架构.在认知建构中，学生要做的是主动收集和分析相关的信息资料，对所学的问题提出各种假设，并加以验证.

例如，探讨函数单调性与导数的关系.根据学生以往所学的函数的单调性知识，在学习导数的时候，引导学生将导数进行变形转化成函数的等式，便可知道函数的单调性与导数之间的关系.

例1f（x）=x3+3x ，求该函数的单调性和单调区间.

解：因为f（x）=x3+3x，所以求导得 f′（x）=3x2+3.整理导数 f′（x）=3（x2+1）>0.因此f（x）=x3+3x在xeR上单调递增.单调区间为（-∞，+∞）.

二、自动化技能形成模式

自动化技能形成模式是指学生经过“题海战术”或大量练习后，对运算法则运用自如并将解题的技能内化，针对不同类型的题目有一个自觉自动的解题模式.

例如，利用等差数列的通项公式.在学习等差数列时，首先要进行公式的推导，再进行求和公式的推导an=a1+（n-1）d ，Sn=na1+n（n-1）d/2或Sn=n（a1+an）/2.得出通項公式后，将公式运用到题目中.

例2在等差数列{an}中，a1=21，a7=18，求公差d.

解：因为a7=a1+（7-1）d=21+6d=18，所以d=-12.

教师进一步举例：在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求它的通项公式.

解：由an=a1+（n-1）d，得10=a1+4d31=a1+11d，解得a1=-2d=3.所以等差数列的通项公式为an=3n-5.

三、模型建构模式

模型建构是指，在解题时，学生通过建立数学模型，从模型中选取相应的知识点和策略解题.在应用模型建构模式时，教师可以通过生活中的现象对学生发问，引导学生以数学的思维方式解决数学题目，并呈现数学模型的建构图样，给出解题的答案和分析.

例如，在解有关几何的体积或表面积的应用题时，可以将题目进行简化理解，直接将实际应用问题转化成空间几何的图形解决问题.

例3有一根长5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝最短的长度为多少厘米？

分析：此时学生明显可以确定数学模型的构建，直接画出图样，将实际问题转为几何问题进行解决.

四、问题开放模式

问题开放模式是指，在教学中，教师以开放式的问题为背景.开放式的问题包括条件、结论等的开放，条件、结论等在一定的情况下可以是多样的.问题开放式模式的教学，能够使学生的思维更加发散、活跃，提高学生思考问题的角度.在应用这种教学模式时，教师可以根据所学知识创设问题情境，并提出多种假设.这些假设要与解题思维、解题思路有密切的联系.

例如，反函数的应用.在讲反函数时，教师往往应用问题开放式模式，尤其是条件的假设问题，从而提高学生的解题能力.

例4若函数f-1（x）为函数f（x）=lg（x+1）的反函数，求f-1（x）的值域.

分析：常规方法是先求出f（x）的反函数f-1（x）=10x-1，再求得f-1（x）的值域为（-1，+∞）.如利用性质1，f-1（x）的值域即f（x）的定义域，可得f-1（x）的值域为（-1，+∞）.然而从反函数的性质来分析，则可以换个角度思考.若是y=f-1（x）函数y=f（x）的反函数，则有f（a）=bf-1（b）=a.从整个函数图象来考虑，是指y=f（x）与其反函数y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称；从图象上的点来说，是指若原函数过点（a，b），则其反函数必过点（b，a）.