初中数学几何推理与图形证明教学探讨

温泽萍

摘要：数学是中考的必考科目，几何推理与图形证明是中考的必考内容，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，因此要引起师生的高度重视.科学有效的学习方法，对于几何推理和图形证明题至关重要.它含有很多技巧和规律.本文简要介绍几种常见的几何推理和图形证明方法，并提出优化教学的策略，希望能够起到教学相长的作用.

关键词：初中数学几何推理图形证明

作为九年义务教育中的基础学科，数学强调学生的逻辑思维能力和应变能力，其成绩的高低对于初中生来说尤为关键，甚至成为跻身重点高中的瓶颈，因此学习灵活有效的解题思路对于提高数学成绩来说十分必要.几何推理和图形证明在中考中出现的频率极高，因此要得到学生的高度重视.两者将空间感和体积感相结合，不仅需要清晰的解题思路，还需要具备一定的想象能力.如果教师按照传统的教学模式照本宣科，学生很难理解题目的深意，教学效率自然大打折扣.因此，几何推理与图形证明题，需要教师总结有效的解题思路和方法，并着重对学生的学习能力和逻辑能力进行培养，使学生做到举一反三，巧妙应答.

一、初中数学几何推理与图形证明的常见方法

1.反证法

反证法，是初中数学几何推理与图形证明的基本论证方法.指的是，题目若顺向思维解答困难时，不妨用逆向思维解答，有时候从反面入手，反而更加容易.简单来说，就是当我们想证明一个命题为真时，先假设它的矛盾命题成立，然后进行演绎和推理，得出矛盾命题为假命题，从而证明命题为真.

例如，求证三角形中至少有一个角不大于60°，那么我们不妨假设△ABC的内角都大于60°，那么∠A+∠B+∠C>180°，因此假设不成立，因此三角形中必须至少有一个角小于等于60°.

由此可见，从命题的反面出发，有时候更容易解题.值得注意的是，教师既要注重对学生假设能力的培养，又要加强逻辑训练，尤其是当题目中出现“至多”、“不多于”、“任何”、“无限多”等量词时，应该格外注意真假命题之间的矛盾关系，以及学生对这种逻辑否定的正确表述.

2.面积法

面积法能够有效解决很多类型的几何推理和图形证明题.最典型的例题，就是勾股定理中采用的面积割补法，还有的题在表面上看并不直接与面积有关，但等积变换后用面积法解答，可能更加简易.

例如，点D和点E分别在△ABC的AC、AB边上，BD、CE相交于O，△BOE、△BOC和△COD的面积分别是15、30和24，求AE∶BE的值.该题的已知条件是三角形的面积，那么我们可以利用平行线的关系来推导线段的比值.我们可以作一条与CE平行的辅助线DQ，与AB相交，因此OB∶OD=S△BOC∶S△COD=30∶24=5∶4.假设OE=m，OD=4m，因此OC=2m，OB=5m.因为DQ与CE平行，那么△BOE∽△BDF，△ADF∽△ACE.因此AF∶AE=DF∶CE，AE=52EF.故AE∶BE=2∶1.

由此可见，面积法可以使用面积关系代替题目中的几何量，使问题更加直观、具体.

3.综合分析法

学生在进行几何推理时往往有两种固定模式，一是根据原因推结果，二是根据结果推原因.有的时候，几何问题相对复杂 ，仅用一种推理难以解决问题，因此需要将这两者结合起来.这就是综合分析法.有时候，综合分析会和几何变换相结合，当已知条件中的几何关系比较分散和隐晦时，就要求学生巧妙地对图形进行变换，使分散的条件变得集中，从而使思路更加清晰.

二、初中數学几何推理和图形证明的教学策略

首先，巧用基本图形.有的时候，学生会混淆几何和代数之间的区别，这时只要巧妙地使用基本的几何图形就能找到解题办法.有时，题目中出现的图形较为复杂，可以将其分解为多个简单图形，如等边三角形、平行四边形、正方形等.这样，几何证明就变得简单.

其次，正确使用辅助线.辅助线能够帮助我们理清图形之间的空间关系.在画辅助线时，三角形一般从某个顶点出发，而立方体从空间出发.画好辅助线后，要表明每一个新的线与面的名称，为后续的推理作好准备.

综上所述，几何推理与图形证明空间感较强的题目，解题过程充满趣味和挑战，以上方法能够为几何推理和图形证明提供思路.熟练掌握各种方法与技巧，并活学活用，能够理清题目间的隐含关系，以便准确解答，提高数学成绩.