聚焦圆中角的应用

文/王宗俊

聚焦圆中角的应用

文/王宗俊

在圆中，圆心角与圆周角是最常见的角.它们与弦、弧和扇形面积的联系比较密切，是中考命题的重点.下面以2016年的中考题为例，说明圆中角的各种应用.

一、求角的大小

1.利用圆心角求圆周角

例1（2016年绍兴卷）如图1，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（）

A．60°．B．45°．C．35°．D．30°．

温馨小提示：“在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”是解题的有力工具.

图1

2.利用圆周角求圆心角

例2（2016年黔西南卷）如图2，△ABC的顶点均在⊙O上，若∠A=36°，则∠BOC的度数为（）

A．18°．B．36°．C．60°．D．72°．

解析：由图2得∠BOC=2∠A=72°．选D．

温馨小提示：这类题目不难，直接利用圆周角定理求解.

图2

3.利用直径所对的圆周角是直角求角

例3（2016年眉山卷）如图3，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（）

A．64°．B．58°．C．72°．D．55°.

解析：∵BC是直径，∠D=32°，

∴∠B=∠D=32°，∠BAC=90°．

∵OA=OB，∴∠BAO=∠B=32°，

∴∠OAC=∠BAC-∠BAO=90°-32°=58°．选B．

温馨小提示：当圆中有直径时，通常根据“直径所对的圆周角是直角”解题．

图3

4.利用圆内接四边形对角互补求角

例4（2016年来宾卷）如图4，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=110°，则∠α=．

∵四边形ACBD内接于⊙O，∠C=110°，

∴∠ADB=180°-∠C=180°-110°=70°，

∴∠AOB=2∠ADB=2×70°=140°．填140°．

温馨小提示：构造圆内接四边形，利用圆内接四边形对角互补的性质求解.

图4

5.利用圆心角、圆周角求其他角

例5（2016年湖州卷）如图5，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（）

A．25°．B．40°．C．50°．D．65°．

解析：连接OC，∵圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∴AB是直径，

∵∠A=25°，∴∠BOC=2∠A=50°，∵CD是圆O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=90°-∠BOC=40°．选B．温馨小提示：见切线，连半径，可构造出直角三角形，利用直角三角形的性质可求角、边等．

图5

二、求弦长

例6（2016年陕西卷）如图6，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC.若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）

图6

解析：过点O作OD⊥BC于D，则BC=2BD，

∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，

∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，

∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，

温馨小提示：常通过作辅助线，如连接半径，过圆心作垂直于弦的直径或半径，构造直角三角形，根据勾股定理解题.

三、求弧长

例7（2016年遵义卷）如图7，半圆的圆心为O，直径AB的长为12，C为半圆上一点，∠CAB=30°，则的长是（）

A.12πB.6πC.5πD.4π

解析：如图7，连接OC，∵∠CAB=30°，

∴∠BOC=2∠CAB=60°，∴∠AOC=120°．

又直径AB的长为12，∴OA=6，

图7

四、求面积

例8（2016年潍坊卷）如图8，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则阴影部分的面积是（）

解析：连接OD、CD．

∵AC是直径，∴∠ADC=90°，

∵∠A=30°，∴∠ACD=90°-∠A=60°，

∵OC=OD，∴△OCD是等边三角形，

图8