“新定义”型问题中的推理探究

“新定义”型问题中的推理探究

■陕西省洋县中学 刘大鸣(特级教师) 朱永明

“新定义”型问题,主要是指在问题中定义了同学们没有学过的一些新概念、新运算、新符号,要求同学们读懂题意并结合已有的知识、能力进行理解,并根据新的定义进行运算、推理、迁移的一种题型。这类题目具有启发性、思考性、挑战性和隐蔽性等特点,由于它构思巧妙,题意新颖,是考查同学们核心素养、挖掘同学们潜力的较佳题型,因而受到命题者的青睐。下面对“新定义”中的推理探究题进行提炼,希望对同学们有所帮助。

题型1 定义的新概念问题“照章办事”,逐条“分析、验证、运算”推理

(2017年四川省成都市高三模拟)设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足:(1)T ={f(x)|x∈S};(2)对任意x1,x2∈S,当x1＜x2时,恒有f(x1)＜f(x2),那么称这两个集合“保序同构”。以下集合对不是“保序同构”的是( )。

A.A=N*,B=N

B.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0＜x≤10}

C.A={x|0＜x＜1},B=R

D.A=Z,B=Q

解析：由题中(1)可知,S为函数y= f(x)的定义域,T为函数y=f(x)的值域。由(2)可知,函数y=f(x)在定义域内单调递增,对于选项A,可构造函数y=x-1,x∈N*,y∈N,满足条件;对于选项B,可构造函数满足条件;对于选项C,构造函数(0,1),满足条件;对于选项D,无法构造其定义域为Z,值域为Q且递增的函数,故选D。

点评:对于新定义问题,一定要读懂新定义的本质,紧扣题目所给定义合理进行构造推理,本题依据两个集合“保序同构”的定义,构建函数的对应法则,满足定义域到值域的映射且为增函数的对应关系,再进行验证推理判断,切忌新定义同已有概念或定义相混淆。

题型2 定义的新运算依据“新法则”合理运算和推理

(2017届四川省雅安中学高三月考)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n)称为第k位码元。二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0),已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组:其中运算⊕定义为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0。现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于____。

解析：根据二元码运算法则,按照所给的数学规则和要求进行逻辑推理和计算,由题意得相同数字经过运算后为0,不同数字运算后为1;由x4⊕x5⊕x6⊕x7=0可判断后4个数字出错(可用反证法):由x2⊕x3⊕x6⊕x7=0可判断后2个数字没错(可用反证法),即出错的是第4个或第5个;由x1⊕x3⊕x5⊕x7=0可判断出错的是第5个。综上,第5位发生码元错误。

点评:新定义的运算问题,关键在于找到元素之间的对应关系再进行合理运算,有时需要借助图表寻找关系,利用对应关系列方程求解。本题结合运算法则“相同数字经过运算后为0,不同数字运算后为1”和校验方程组以及“反证法”由后向前进行逆推和计算,最后得到结果。

题型3 集合中的“新定义”抓代表元素验证其属性推理

(2017届山东省潍坊市高三月考)已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“理想集合”。给出下列4个集合:①M1=;②M2={(x,y)|y= s i nx};③M3={(x,y)|y=ex-2};④M4= {(x,y)|y=l gx}。其中所有“理想集合”的序号是( )。

A.①③ B.②③

C.②④ D.③④

解析：由题意得,设A(x1,y1),B(x2, y2),由x1x2+y1y2=0可知对于①是以x轴,y轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角为90°,所以当点A、B在同一支上时,∠A O B＜90°,当点A、B不在同一支上时,∠A O B＞90°,不存在,故①不正确;对于②,通过对图像的分析发现,对于任意的点A都能找到对应的点B,使得成立,故正确;对于③,由图像可得直角始终存在,故正确;对于④,由图像可知,点(1,0)在曲线上不存在另外一个点,使得成立,故错误。故②③对,应选B。

点评:对于新定义的集合,抓代表元素,根据新概念、新定义或新运算,明确集合中元素的特点和元素的产生过程,构造出符合要求的情境,再进行新概念和集合运算,合理进行推理判断。本题“理想集合”通过x1x2+y1y2=0就是在函数的曲线上任意一个点A都能找到一个点B,使得成立的解析式,然后对函数解析式逐一推理判断。

题型4 根据函数中的“新定义”捕捉信息,合理转化为函数性质或图像求解

(2017届辽宁省盘锦市高中月考)如果定义在R上的函数f(x)满足:对于任意x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)＞x1f(x2)+x2f(x1),则称f(x)为“H函数”。给出下列函数:①y=-x3+x+1;②y=3x-2(s i nx-co sx);③y=ex+1;④其中为“H函数”的是____。

解析：因为对于任意给定的不等实数x1,x2,不等式x1f(x1)+x2f(x2)＞x1· f(x2)+x2f(x1)恒成立,所以不等式等价为(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]≥0恒成立,即函数f(x)是定义在R上的“不减函数”即无递减区间。①函数y=-x3+x+1,则y'= -3x2+1,在上为增函数,其他区域为减函数,不满足条件。②y=3x-2(s i nx -co sx),y'=3-2co sx+2s i nx=3-函数单调递增,满足条件。③y=ex+1是定义在R上的增函数,满足条件。当x≥1时,函数单调递增,当x＜1时,函数单调递减,不满足条件。故答案为②③。

点评:函数的“新定义”,应依据要求分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决。本题通过新定义可知f(x)为“H函数”即为“不减函数”,判断函数的单调性即可得到结论。

题型5 不等式中的“新定义”合理转化为均值不等式求最值

对于使x2-2x≥M成立的所有常数M中,我们把M的最大值-1,称为函数x2-2x的“下确界”。若x,y,z∈R+,且的“下确界”为____。

点评:函数“下确界”来源于高等数学,这要求同学们认真阅读题意,在充分理解题意的基础上,求的最小值,运用学过的均值不等式知识求出相应函数的最值。

题型6 三角中的“新定义”依据定义和三角知识验证判断或计算推理

(北京市海淀区2017届高三第一学期期末测试)已知△AB C,若存在△A1B1C1,满足1,则称△A1B1C1是△AB C的一个“友好”三角形。在满足下述条件的三角形中,存在“友好”三角形的是____:(写出符合要求条件的序号)

(1)①A=90°,B=60°,C=30°;

②A=75°,B=60°,C=45°;

③A=75°,B=75°,C=30°。

(2)若等腰△AB C存在“友好”三角形,且其顶角的度数为____。

解析：(1)由“友好”三角形和三角形中的三角变换逐一验证,

对于①A=90°,B=60°,C=30°,则co sA=co s90°=0不满足题意,不存在“友好”三角形;对于②,若,且A=75°,B=60°,C=45°,取A +A1=90°,A1=15°,同理取B1=30°,C1= 135°,△AB C存在“友好”三角形;对③,若=1,且A=75°,B= 75°,C=30°,取A1=15°,B1=15°,C1=60°或120°都不能构成三角形,即不存在“友好”三角形。

(2)依据等腰三角形存在“友好”三角形的特点,求其顶角的值,若等腰△AB C存在“友好”三角形,则A=B,所以A+A+C= 180°。A1=B1=90°-A,C1=90°-C或C1=90°+C,分析可知C1=90°+C。

所以A1+B1+C1=180°,即270°-2A +C=180°,2C=90°,故C=45°,即顶角的度数为45°。

点评:依据题意,挖掘新定义的意义,结合三角知识要么逐一推理判断,要么依据定义合理计算确定其属性,本题“友好”三角形的判断和由“友好”三角形确定原三角形顶角的过程,都用到了诱导公式和组成三角形的条件。

题型7 数列中的“新定义”依据定义和数列知识验证判断或推理证明

如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差都大于3,则称这个数列为“S型数列”。

(1)已知数列{an}满足a1=4,a2=8,an+an-1=8n-4(n≥2,n∈N*),求证:数列{an}是“S型数列”;

(2)已知等比数列{an}的首项与公比q均为正整数,且{an}为“S型数列”,记bn=,当数列{bn}不是“S型数列”时,求数列{an}的通项公式。

解析：(1)由“S型数列”定义结合数列知识证明数列{an}是“S型数列”。

由题设知an+1+an=8n+4。①

an+an-1=8n-4。②

①-②得an+1-an-1=8。而a1=4,a2=8,所以a2n=8n,a2n-1=8n-4。

因此an=4n,从而an-an-1=4＞3,所以,数列{an}是“S型数列”。

(2)利用{an}为“S型数列”,{bn}不是“S型数列”,结合等比数列通项及单调性两边逼近求出其通项公式。由题意可知a1≥1,且an-an-1＞3,因此{bn-bn-1}单调递增且q≥2。而(an-an-1)-(an-1-an-2)= an-1(q-1)-an-2(q-1)=(q-1)(an-1-an-2)＞0,所以{an-an-1}单调递增。

又{bn}不是“S型数列”,所以存在n0,使得bn0

-bn0-1≤3。则b2-b1≤bn0-bn0-1≤3,a1(q-1)≤4。

又因为a2-a1＞3,即a1(q-1)＞3且a1,q∈N*,所以a1(q-1)=4。

从而a1=4,q=2或a1=2,q=3或a1= 1,q=5,即an=2n+1或an=2·3n-1或an= 5n-1。

点评:数列的“新定义”问题,关键是合理利用给定的定义与性质,结合相应的数列知识来处理。本题(1)中,由题设递推关系变形,结合等差数列的通项公式及新定义证明数列{an}是“S型数列”;(2)中由{an}为“S型数列”,{bn}不是“S型数列”,可结合数列单调性,两边逼近求出首项和公比确定其通项公式,解法耐人回味。

题型8 圆锥曲线中的新定义题型可运用定义合理转化为“定点、定值及最值”问题

(2017届江西师大附中、鹰潭一中高三第一次联考)已知抛物线C的标准方程为y2=2p x(p＞0),M为抛物线C上一动点,A(a,0)(a≠0)为其对称轴上一点,直线MA与抛物线C的另一个交点为N。当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时,△MON的面积为18。(1)求抛物线C的标准方程;(2)记若t值与M点位置无关,则称此时的点A为“稳定点”,试求本题中所有“稳定点”。

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为x=m y+a。得 y2-12m y-12a=0,Δ=144m2+48a＞0,y1+y2=12m,y1y2=-12a。

由对称性,不妨设m＞0。

①a＜0时,因为y1y2=-12a＞0,所以y1,y2同号。

②当a＞0时,y1y2=-12a＜0,故y1y2异号。

当a-3=0,即a=3时,t与m无关,此时A(3,0)为“稳定点”。

点评:圆锥曲线中的“新定义”,合理转化为“定点、定值及最值”问题,这是解析几何的本质——代数的方法研究几何问题所决定的。本题将“稳定点”转化为定值的探究,设直线方程,联立方程组,合理构建目标式t=,分类用坐标表示,由稳定点的意义确定a的值,其中“设而不求、整体和消元”思想的运用可有效地简化运算过程。

题型9 导数中的“新定义”合理转化为“函数的极值、最值和不等式”问题

(1)若函数f(x)有且只有一个极值点,求实数a的取值范围。

(2)对于函数f(x),f1(x),f2(x),若对于区间D上的任意一个x,都有f1(x)＜f(x)＜f2(x),则称函数f(x)是函数f1(x),f2(x)在区间D上的一个“分界函数”。已知f1(x)=(1-a2)l nx,f2(x)= (1-a)x2,是否存在实数a,使得函数f(x)是函数f1(x),f2(x)在区间(1,+∞)上的一个“分界函数”?若存在,求实数a的取值范围;若不存在,说明理由。

(2)利用“分界函数”的定义合理转化。若函数f(x)是函数f1(x),f2(x)在区间(1,+∞)上的一个“分界函数”,则当x∈(1, +∞)时,f(x)-(1-a)x2＜0恒成立,且f(x)-(1-a2)l nx＞0恒成立。记h(x)=

不妨记m(x)=f(x)-(1-a2)l nx=

故m(x)在区间(1,+∞)上单调递增,由f(x)-(1-a2)l nx＞0恒成立,得m(1)≥0,得

点评:导数中的新定义转化为函数的极值、最值或不等式恒成立问题,本题转化为利用导数研究不等式的恒成立问题,常用方法: (1)分离参数法,将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数最值问题,利用导数求该函数的最值,根据要求得所求范围。(2)函数思想法,将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的极值或最值,然后构建不等式求解。

综上所述,“新定义”型的问题,通常是选取合适的数学背景,把新定义、新运算巧妙地融入到试题中来,虽然它的构思巧妙、题意新颖、隐蔽性强,到处都体现出新意,但它考查的还是基本知识和基本技能,解题的关键在于全面准确理解题意,科学合理地推理运算。因此,“新题”不一定是“难题”,只有夯实基础,掌握好双基,以不变应万变才是我们取胜的法宝。

(责任编辑 徐利杰)