多元转化：解决数学绝对值问题

朱卫娟

（江苏省启东市吕四中学，江苏启东 226241）

多元转化：解决数学绝对值问题

朱卫娟

（江苏省启东市吕四中学，江苏启东 226241）

高中数学知识广泛，学生普遍对绝对值问题的相关知识掌握不牢靠，不能灵活运用所学知识解决具体问题，解题时仍然充满困惑。如果学生善于多元转化，根据不同试题的特点，选用合适的解题思路和方法，定能化难为易、化繁为简，轻松攻克绝对值问题的难关。

高中数学；多远转化；绝对值

引 言

绝对值问题是高中数学的一个重要知识点，它出现在高中数学的各个章节。绝对值问题本身并不是很难，但是有时候却常常出一些较难的问题，其考验的主要是学生对概念的熟知程度以及对某些性质的掌握情况。了解并掌握了解决数学绝对值问题的方法与技巧，对同学们以后的解题帮助很大。为了解决这个问题，笔者主要通过以下四个方面来多元转化，帮助同学们解答数学绝对值问题：分类讨论，各自考虑；零点分段，多个数值；两边平方，非负方程；几何意义，明显应用。

一、分类讨论，各自考虑

由于绝对值中的数的正负难以确定，因此分类讨论思想在解决绝对值问题时经常用到。分类讨论是把绝对值进行化简，取绝对值中的数分别为负数和非负数，然后再各自讨论，进行比较分析，得出较为全面的结论。因此，教师在教学的过程中，要不断给学生渗透此种思想，并举出例题让同学们对此方法能够灵活运用。

例如，我在教学人教版高中数学必修1第一章的“集合与函数概念”的时候，就运用分类讨论的思想来解题。在学完本章内容之后，为了加深同学们对知识的理解，我出了一道题来让同学们解答：设集合A＝{x| |x－a|＜1，x∈R}，B＝{x| |x－b|＞3，x∈R}，并且A包含于B，那么实数a，b满足__。A.|a＋b|≤4B.|a＋b|≥4C.|ab|≤4D.|a－b|≥4 这个题包含绝对值，所以要用分类讨论对其进行解答。首先对A化简，就可以得到：a－1＜x＜a＋1，其次，对B进行化简得到：x＜b－3或者x＞b＋3。又因为题目中的条件为A包含于B，那么，就可以得到b－3≥a＋1①或者b＋3≤a－1②。化简①为a－b≤-4，化简②为a－b≥4，最后综合一下就得到|ab|≥4，选择D选项。在解决集合问题时，运用分类讨论的思想，把分类后的式子各自考虑，让解题过程有一定的顺序，不会漏掉任何一种情况，使答案更加全面，提高解题正确性。

在解数学绝对值的问题中，由于字母的取值不同会影响最终结果。通过运用分类讨论的思想，把一个大问题按照不用情况划分成几个小问题，再慢慢地逐一击破，最后做出归纳总结，使整个解题过程更加完善，同时，让最终结果的准确性更高。

二、零点分段，多个数值

在解决绝对值问题的过程中，有些题目中绝对值的式子并不是一个，而是有多个，并且绝对值中含有参数，要求化简的结果根据参数的变化而不断变化。此时，需要用零点分段的方法把参数的情况进行分段，然后，把每一类化简的结果综合，就得出最终结论。因此，教师在面对有多个绝对值式子的题目时，要引导同学们用零点分段的方法来解题[1]。

例如，我在教学人教版高中数学必修5的“不等关系与不等式”时，举了一道例题让同学们对零点分段的方法加以运用。这道题的题目是：化简|x－2|＋|x＋1|这个式子。在化简这个式子时，我们可以采用当x≥0时，|x|＝x；当x＜0时，|x|＝-x的思想。这个式子中一共有两个绝对值，可以运用零点分段的方法来求解。化简|x－2|＋|x＋1|这个式子时，可以分别令x－2＝0和x＋1＝0，分别解得x＝2，x＝-1。找到零点之后，就要进行分段，可以分成x≤-1、-1＜x≤2、x＞2这三种情况。接下来就要对每种情况进行分类讨论：①当x≤-1时，原式＝-(x－2)-(x＋1)＝-2x＋1；②当-1＜x≤2时，原式＝-(x－2)＋(x＋1)＝3；③当x＞2时，原式＝(x－2)＋(x＋1)＝2x－1。零点分段法是有一定步骤的，通过一步一步地分析讨论，就可以得出最终结果。零点分段法通过先找到零点，再在零点的基础上进行分段，之后在每一个段里面进行化简，最后把每一段化简的结果进行综合。

通过零点分段法的讲解，让同学们在面对多个绝对值时做到心中有数，不慌不忙，可以运用此方法快速解出相关的绝对值问题。为了让同学们在面对问题时做到灵活应变，还需要老师的耐心讲解和同学们对此类型题目多加练习，从而提高做题效率。

三、两边平方，非负方程

解含有绝对值的方程的方式很多，但是面对有特殊情况的方程时，我们就可以具体情况具体分析，采用适合于题型的方法来解。如果一个方程的一边为绝对值，另一边为非负数，那么，我们就可以采用两边平方的方式来解方程。这样，会减少解方程时的步骤，既节约时间，准确率又高[2]。

例如，我在教学人教版高中数学必修2第三章的“直线与方程”时，教给同学们解方程的各种方法，其中一种方法就是两边平方法。为了检验同学们对此方法的掌握情况，我在课后给同学们出了一道解方程的题目，让同学们来练习。题目是若|x|＝8，则x为多少。这是一道特别简单的题目，只要运用我讲的内容，解这道题是毫无压力的。很快，同学们先把左右两边平方，就得到x2＝82，那么化简之后就得出x＝±8，很快就得出答案。接下来，我增加了难度，题目变为|2x＋1|＝8，解x。这个题在绝对值里的未知数前面加了系数，而且后面还加了一个常数1，同学们遵循之前的方法，把等式左右两边平方，就可以得到(2x＋1)2＝82，把2x＋1看成一个整体，就可以得到2x＋1＝±8。当2x＋1＝8时，x＝3.5；当2x＋1＝-8时，x＝-4.5。所以x可以取两个值，分别为3.5和-4.5。

四、几何意义，明显应用

在解绝对值问题的过程中，还可以运用绝对值的几何意义进行解题。x的绝对值的几何意义是指在数轴上表示x的点到原点的距离，我们可以运用这个性质来解题。此性质比较简单，只有发现题目中的绝对值具有明显的几何意义时，运用此性质解题时才比较方便。因此，发现题目中的条件与此性质有关系时，可大胆采用此性质来解题。

例如，我在教学人教版高中数学的必修5的“不等式”时，为了锻炼同学们对绝对值的几何意义的运用，我在讲完性质之后做了一个小测试。测试的题目为：在数轴上，点A所表示的点是1，那么，到点A的距离等于4个单位长度的点所表示的数是__。在听完题目之后，有的同学直接在草稿纸上画了一个数轴，并且标出表示点A的点，再往右边数了4个单位之后得到5的结论，就直接说出了5。很显然，他在考虑问题时缺乏全面性。在听到有的同学说出5或者-3的答案时，他才恍然大悟，原来自己少考虑了一种情况。最后，我公布答案为5或者-3，并让刚才出错的那位同学来说明理由，让他对此几何意义的印象更加深刻。他采用数形结合的方法，在黑板上先画出数轴，再标上点A，向右数了4个单位为5，再向左数了4个单位为-3，他还向同学们说明了解答此问题时的注意事项，让其他同学也引以为戒，不要再犯此类错误。

在解题过程中，有的问题的解决并不需要很多的技巧，只是对性质的考查。主要考查的是对知识的灵活运用，那么，就需要学生认真观察，仔细思考，把答案考虑得更加全面，提高答案的准确性。

结 语

教师要根据实际情况，针对特定类题型探索出更多的解题方法，让学生掌握并学会综合运用，提高学生对数学的学习兴趣，做到对数学知识灵活运用，真正提高学生的数学学习效率。

[1]张嘉桐,吴华.高中数学绝对值不等式的五类解法[J].考试周刊,2016,(13):56-57.

[2]李梓怡.高中数学绝对值不等式的试题类型探讨[J].新课程(下),2017,(02):88.

朱卫娟（1975），女，江苏南通人，大学本科学历，中学一级教师，研究方向是高中数学教学。