可逆圆形热循环过程的循环效率研究

柴 蕊 穆成富 毛俊雯 张大立 李柏青

(湖州师范学院理学院物理系 浙江 湖州 313000)

可逆圆形热循环过程的循环效率研究

柴 蕊 穆成富 毛俊雯 张大立 李柏青

(湖州师范学院理学院物理系 浙江 湖州 313000)

从理论上讲任何正循环都可以作为某种热机的工作原理，其循环效率不仅与循环曲线的形状有关，而且与循环曲线在p-V图的位置有关. 作为理论探讨，以对称性最高的圆形循环为例来讨论上述问题很有代表性.首先给出圆形热循环的循环效率的解析表达式，在此基础上讨论了随圆心的坐标及半径的改变循环效率的变化关系，以及圆形循环的循环效率曲线在p-V图上的分布情况.

卡诺循环 热机效率 圆形循环

在传统热学教材中通常以卡诺循环、奥托循环、狄赛尔循环等常见热循环过程为例来具体讲解热机效率的计算. 从原则上讲,在p-V图上任何一条正循环闭合曲线都可以作为某种热机的工作原理， 可以根据热机效率(循环效率)的定义

来计算这台热机的效率[1]，其中W是系统对外做的净功，Q1是系统从外界吸收的总热量. 然而循环效率不仅与循环曲线的形状有关，而且与循环曲线在p-V图的位置有关. 为了从理论上研究上述问题，本文选取圆形循环进行研究，一方面因为圆形循环具有最高的对称性，另一方面圆形循环对于加深理解如何判断一个循环中何时吸热何时放热有着重要的意义.关于圆形和椭圆形热循环过程的分析，已经有文章做过一些初步研究[2～6]. 本文将讨论圆形循环的热机效率随着圆心的位置及半径的变化情况，并进行了具体的数值计算. 这里的讨论方法对于任意循环过程同样适用.

1 圆形热力学过程吸热与放热的判断方法

为了求出圆形循环过程的循环效率， 首先需要判断其热力学过程中的吸热与放热过程，也就是需要求出从吸热变为放热及从放热变为吸热的过渡点坐标. 对于一般的热力学过程， 判断吸热和放热的方法有许多种. 文献[2]中给出了通过确定过程热容的正负来判断热力学过程的吸放热方法, 文献[3]列出了功热比法和作图法两种判断方法， 本文采用后一种方法来研究.

圆形循环过程如图1所示，作两条绝热线1-6和2-4，与圆相切，交于1,2两点，过1点作等压线1-3，过5点作等压线6-4.

图1 作图法判断吸热放热过程

对于热循环过程1-2-3-1， 净功等于系统从外界吸收的热量，即

W=Q=Q12+Q23+Q31>0

过程3-1等压压缩系统放热

Q31<0

过程2-3绝热

Q23=0

由此可得在该循环过程中

Q12>0

故1-2为吸热过程.

同理,对于热循环过程2-5-4-3-2， 可以得出在该循环过程中,过程2-5为放热过程.对于热循环过程1-6-5-1， 可得过程5-1为放热过程.

2 圆形循环循环效率的理论推导

首先要建立描述圆形循环的函数方程. 由于压强和体积具有不同的量纲，我们要选择坐标轴的单位,本文用pr和Vr来作为p-V图纵轴和横轴的单位， 它们分别具有压强和体积的量纲，并且纵坐标和横坐标只标出物理量的大小而不标单位. 这样标定后p-V图上的圆形方程和数学里面x-y坐标轴上圆的方程没有区别[4]. 文献[4]中坐标轴的标定相当于取pr=1×105Pa和Vr=1×10-3m3. 由于本文要讨论的循环效率是没有量纲的物理量， 我们可以不必指出物理量的具体单位，不妨取pr=1个压强单位，Vr=1个体积单位.这样p-V图中圆形循环的方程可以表示成

(p-p0)2+(V-V0)2=r2

(1)

其中(V0,p0)是圆心坐标,r是圆的半径, 根据我们刚才的坐标轴约定， 半径是无量纲的物理量.

2.1 求过渡点坐标

吸热和放热的过渡点(V1,p1)，(V2,p2)是圆形热力学过程与绝热线的切点，如图2所示， 所以热力学过程曲线与绝热线在该切点处斜率相等[4].因此需要先求圆形热循环的过程曲线斜率. 将过程方程式(1)两边对V求偏微商，偏微商的下标标以c， 表示圆形过程方程曲线上的斜率，得到

即

(2)

图2 准静态绝热过程下的圆形热循环

根据绝热线的过程方程， 可以得到绝热线上的斜率[1]

(3)

其中γ是比热容比.吸热和放热的过渡点即两曲线的切点应同时满足式(2)和式(3)，即

即

V(V-V0)=γp(p-p0)

(4)

因为图2中过渡点还是圆上的点， 同时还应该满足式(1).所以式(1)和式(4)就是吸热和放热的过渡点坐标(V1,p1)和(V2,p2)所应满足的方程，联立求解得到

(5)

(6)

根据一元四次方程求根公式并舍掉非物理解， 由式(5)可得

(7)

(8)

如此我们可以确定循环图中吸热放热分界点的具体位置，这对于求循环效率至关重要.上面两个表达式虽然形式复杂，但从中我们可以看出吸热放热分界点的位置与圆心坐标V0,p0和半径r有关，并且依赖于气体比热容比γ.

这里我们定义了如下几个函数

α(V0,p0,r,γ)=

{3×(γ+1)2×[Δ2(V0,p0,r,γ)+

Δ1(V0,p0,r,γ)=C(V0,p0,r,γ)2-

3B(V0,p0,r,γ)D(V0,p0,r,γ)+

12A(V0,p0,r,γ)E(V0,p0,r,γ)

Δ2(V0,p0,r,γ)=C(V0,p0,r,γ)3-

9B(V0,p0,r,γ)C(V0,p0,r,γ)D(V0,p0,r,γ)+

27A(V0,p0,r,γ)D(V0,p0,r,γ)2+

27B(V0,p0,r,γ)2E(V0,p0,r,γ)-

72A(V0,p0,r,γ)C(V0,p0,r,γ)E(V0,p0,r,γ)

C(V0,p0,r,γ)=

D(V0,p0,r,γ)=

将过渡点的压强值代入式(6)就可以求出过渡点的体积值.所以由式(6)～(8)可得过渡点坐标(V1,p1)、(V2,p2)的具体解析表达式.

2.2 圆形循环循环效率的解析表达式

图2中圆形热循环为正循环，在整个循环过程中，气体吸收总热量为Q1，气体对外做的净功为W， 则循环效率为

(9)

另一方面,热循环过程中的净功为循环曲线所围面积，即W=πr2.在图2中过程3-4-1为吸热过程，此吸热过程中气体吸收热量即为循环过程中系统从外界吸收的总热量Q1.根据热力学第一定律，有

Q1=ΔU+W1′

(10)

其中W1′为吸热过程中气体对外界做功，ΔU为此过程中内能的改变.理想气体内能仅仅与温度有关， 所以吸热过程中的内能变化ΔU可以表示为

ΔU=νCV,m(T2-T1)

(11)

其中摩尔等体热容可以普适常量R和气体比热容比γ表示

(12)

根据理想气体状态方程pV=νRT(ν表示气体的物质的量)可以得到

(13)

由式(11)，(12)，(13)联立得热循环过程中的内能变化ΔU

(14)

因为p,V满足圆形热循环方程式(1)， 可以求得在吸热过程中外界对气体所做的功W1

(15)

上式是吸热过程外界对气体所做的功，从物理上讲也就是循环曲线的上部分(p1,p2点的圆弧上部分)与横轴所围成的面积的大小. 从式(15)也可以看出此功大小与吸热放热分界点的坐标密切相关，也与圆的半径有关.在准静态过程中气体对外界所做的功和外界对气体所做的功差一个负号，即

W1=-W1′

由式(9)、(10)、(15)联立求解，可以得到圆形循环的循环效率的具体表达式

(16)

3 循环效率随圆心位置和半径的变化关系及分布

从式(14)、式(15)和式(16)可以看出圆形循环循环效率是p1,p2,V1,V2的函数，而从式(6)、(7)和式(8)可以看出p1,p2,V1,V2又是圆心坐标(V0，p0)和半径r的函数， 所以我们可以通过数值计算求出循环效率随圆心位置和半径的变化关系，以及循环效率p-V在图上的分布情况.

3.1 圆心(V0,p0)沿反比例函数变化

图3 圆心坐标(V0,p0)沿曲线变化时

图4 循环效率η沿着不同等温线的变化情况

3.2 圆心固定在点(3,3)时循环效率随半径r的变化情况

图5 圆形热循环效率η随半径r的变化关系图

从图5可以看出循环效率随圆的半径增大而增大.与前面分析类似，可以通过循环效率的表达式式(16)对这个现象进行物理解释：圆的半径增大说明系统对外界所做的净功增大，导致式(16)的分子增大.但圆形热循环曲线的吸热部分曲线与横轴所围成的面积增大，同时过渡点(V1,p1)、(V2,p2)所经过的等温线之间的距离变大即内能变大，这两种因素导致式(16)的分母也增大，分子分母两种效应互相竞争导致图5的结果出现.

3.3 圆形循环循环效率在p-V图上的分布

下面讨论圆形循环循环效率在p-V图上的分布情况.令式(16)的循环效率取不同数值，分别是η=0.1,0.15,0.2,0.25，让圆心坐标(V0,p0)在p-V图中自由变化(同时考虑圆最多只能与坐标轴之一相切，否则没有物理意义)，画效率的等高线图.这里式(16)中半径r取为一个单位.结果如图6所示.

圆形热循环效率η取不同值时，圆心位置也随之不断变化的等高线如图6所示.当η值增大时等高线的密集程度增加，圆心位置的变化程度减小.在同一η值下，圆心位置也沿一定的曲线分布移动.在图6中我们可以直观地看出圆形循环循环效率在p-V图上的分布.由于圆心坐标(V0,p0)满足式(1)和式(4)，所以圆心横纵坐标V0，p0在图6中并不对称.

图6 不同效率取值下圆心坐标(V0,p0)的变化图

4 结束语

本文计算了圆形热循环过程的循环效率η,给出它的解析表达式.然后讨论了圆形热循环的循环效率随圆心坐标在p-V图沿不同曲线移动的变化关系，同时讨论了循环效率随圆半径的变化情况.最后研究了圆形循环循环效率在p-V图上的分布情况.圆心在p-V图移动过程中，过渡点(V1,p1)、(V2,p2)所经过的等温线之间的差值决定了系统在吸热过程中的内能变化ΔU，吸热曲线与横轴所围成的面积决定了吸热过程中系统对外界所做的功，这两个因素共同决定了整个圆形热循环过程中系统从外界吸收的热量，即决定了循环效率的大小.

1 李椿，章立源，钱尚武，等.热学(第2版).北京：高等教育出版社，2008.134～141

2 严子峻.判断热力过程吸热与放热的一种简便方法.物理与工程，2002,12(3)：16～19

3 高德文，王继红.判断热力过程吸热与放热的两种方法.物理与工程，2000,11(3)：27

4 秦允豪.普通物理学教程热学习题思考题解题指导(第3版).北京：高等教育出版社，2012.168～170

5 李勇，史顺兵.理想气体椭圆形可逆循环效率计算问题讨论.平顶山学院学报，2009，10 (3)：86～88

6 苏景顺，贾秀敏.理想气体椭圆循环的效率.大学物理，2005，24(2)：25～26，56

ResearchontheCycleEfficiencyforaProcessofReversibleCircularThermalCycle

ChaiRuiMuChengfuMaoJunwenZhangDaliLiBaiqing

(SchoolofScience,HuzhouUniversity,Huzhou，Zhejiang313000)

Theoretically, any normal thermal cycle can be considered as an operating principles of heat engine, its efficiency is related not only with the shape of cycle, but also with its position inp-Vdiagram. In theory, we can take circular thermal cycle as an example to discuss the above questions, because circular cycle has the highest symmetry. Firstly, we give the analytic expression on the efficiency for a circular thermal cycle. Secondly, we discuss the changes of the efficiency with the center coordinates and radius. We also give the distribution curve of the same value of efficiency on thep-Vdiagram.

Carnot cycle; efficiency of heat engine; circular cycle

柴蕊(1994- ),女,2012级物理师范专业本科生.

指导教师：穆成富(1978- ),男,博士，讲师，主要研究方向为理论物理.

2016-08-01)