数学应让学生学会思维（上）——数学核心素养的理论性思考与实践性解读

文︳郑毓信

数学应让学生学会思维（上）
——数学核心素养的理论性思考与实践性解读

文︳郑毓信

享受国务院特殊津贴专家，江苏省文史研究馆馆员；南京大学哲学系退休教授，博士生导师。从事学术研究与各类教学工作50多年，包括中学、大学、研究生教育与各级教师培训工作；多次赴英、美等国作长期学术访问或从事合作研究，包括应邀赴意大利、荷兰、德国等国的著名大学作专题学术讲演。已出版专著32部，在国内外学术刊物上发表论文300多篇，学术成果获省部级奖7次。在数学哲学、数学教育、科学哲学与科学教育领域有较大影响。

一、数学核心素养之我见

对核心素养的大力提倡是教育领域的一个新的发展趋势。在一些学者看来，这不仅具有很大的普遍性，“当今世界各国教育都在聚焦对人的核心素养的培养”[1]，也为我国新一轮课程改革的深入发展指明了努力的方向：“今天，这个概念体系（指核心素养）正在成为新一轮课程改革深化的方向。”[2]

从理论角度看，在此应当说还有不少问题需要深入地进行研究。特别是，现今对核心素养的提倡与一般意义上的素质教育有什么区别与联系？“以素养发展为核心的教育”与新一轮课程改革中对三维目标的提倡又有什么不同？（详可见[3]）另外，对数学教育领域应当如何落实“走向核心素养”这一整体性教育思想也有多种不同的意见。例如，在一部分学者看来，我们应特别重视传统学科的改造与整合，包括明确提倡这样一个立场：“基础教育要去学科化。”与此相对照，也有一部分学者认为，在数学教育领域，核心素养可被等同于核心概念，从而我们对此也就无须予以特别的重视，即如“课程标准（2011年版）明确提出了10个核心素养，……曾把这些称之为核心概念，但严格意义上讲，称这些词为‘概念’并不合适……本文把这10个词称之为数学的核心素养”[4]。

笔者的看法是：提倡对传统课程的改造有一定道理，我们更应明确肯定相关的实践性研究（如清华附小的“1+X课程”）的积极意义。但与唯一强调传统学科的整合相比，我们又应更加重视多元化与统一性的辩证关系，并切实防止这样一种现象，即人为地制造某种“统一”（详见[5]）。当然，后一立场并非是指对于传统的学科教育我们不应作任何改变。毋宁说，这进一步突显了深入研究这样一个问题的重要性，即我们如何将“走向核心素养”这一思想很好地落实于各个学科的教学，真正做到“各有其长，各尽其职，相互配合，互相促进”。

进而，这又是“走向核心素养”给予我们的主要启示，即我们应当超出数学，从更为广泛的角度认识数学教育教学工作的意义。更为一般地说，这也就是指，作为一名数学教育工作者，我们应当更为深入地思考：究竟什么是数学对个人发展和社会进步所应承担的主要责任？这应当成为具体界定数学核心素养的主要途径。另外，在笔者看来，我们还可由国际上的相关研究获得这方面的直接启示，后者即是指，数学核心素养的界定应当坚持数学上普遍的高标准，并应努力做到少而精。（详见[6]）

以下就是笔者在这方面的具体主张，数学核心素养的基本含义就在于：我们应当通过数学教学帮助学生学会思维，并逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理，包括由理性思维逐步走向理性精神。

就上述论点的理解而言，我们还应特别强调这样几点。

第一，按照不同学科的必要分工与合作，我们可更好地认识数学教育的作用。以下就通过数学教育与语文教育的简单比较对此做出具体说明。

如众所知，这是学校教育最为主要的一个作用，就是让年轻一代健康成长，并不断取得新的进步，即能够越来越好，越来越完善——当然，这也正是人类社会能够不断取得新的进步最为重要的保证。那么，我们究竟如何理解这里所说的“越来越好，越来越完善”呢？以下就依据台湾著名作家林清玄先生的相关论述对此做出具体说明，尽管其所论及的只是人的自我完善或修养而非专门的学校教育：“要通过生命不断的转弯，发现多元的样貌，而不要生活在一元的状态下”“今天比昨天慈悲，今天比昨天智慧，今天比昨天快乐，这就是成功。”（“幸福，是打开内心的某个开关”，《新华日报》，2014年9月17日）

具体地说，“今天比昨天慈悲”，在很大程度上可被看成为语文教育指明了努力的方向：“什么是生命里重要的事情：一是爱，能爱，能表达爱；二是美，懂美，追求美；三是情；四是义，人要有情有义；五是感动，美好的情感能被激发。”简言之，语文课应当让学生具有满满的爱心，并能很好地加以表达。与此相对照，以下则是数学教育的主要使命，即应当让学生一天比一天更有智慧，更加聪明。简言之，数学课应让学生学会思维。

第二，三维目标之间的辩证关系也可被看成为我们更好地理解上述主张的合理性提供了重要的理论依据。

具体地说，所谓的情感、态度与价值观，应当说主要体现了文化的视角，而文化的主要特征就在于：这是一种潜移默化的影响，是通过人们的日常生活与工作不知不觉地形成的。也正因为此，与数学直接相关的情感、态度与价值观的养成就离不开具体数学知识与数学思维的学习。特别是，人们正是通过理性思维的学习与应用，逐步发展起了理性精神，由思维方法逐步过渡到情感、态度与价值观。

再者，知识又可被看成思维的实际载体，从而，“为讲方法而讲方法就不是讲方法的好方法”。反之，又只有用思维方法的分析带动具体知识内容的教学，我们才能帮助学生真正学好相关的数学知识，将数学课真正教活、教懂、教深。

综上可见，在上述的三维目标中，思维应当被看成具有特别的重要性，从而就从又一角度更为清楚地表明了这样一点：我们应将帮助学生学会思维看成数学教育的基本目标。这也就是指，我们应将促进学生思维的发展看成数学核心素养最基本的一个含义。

第三，相对于帮助学生学会数学地思维而言，通过数学学会思维应当说是更为合理的一个主张。因为，数学思维显然并非思维的唯一可能形式。各种思维形式，如文学思维、艺术思维、哲学思维、科学思维等都有其一定的合理性与局限性。从而，无论就社会的进步或是个人的发展而言，我们都不应唯一去强调学会数学地思维。毋宁说，后者事实上即可被看成清楚地表明了狭义的学科性思维的局限性。

当然，我们不应因此而完全否定数学思维的研究和学习。毋宁说，这即是对数学教育工作者如何做好这方面的工作提出了更高的要求。特别是，我们应切实做好这样两个方面的工作：（1）立足数学思维（数学家的思维方式），并以此作为发展学生思维的必要规范，包括通过与日常思维的比较，帮助人们更清楚地认识后者的局限性，能逐步形成一些新的思维方式；（2）立足日常思维，我们应跳出数学并从更为一般的角度认识各种数学思想与方法的普遍意义，从而就可对促进学生思维的发展发挥更为积极的作用（详见[7]）。

第四，通过数学学会思维，并非是指想得更快、能够与众不同，而是指我们如何促使学生积极地进行思考，并逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理。

应当指出，上述分析事实上也可被看成为我们具体判断一堂数学课的成功与否提供了基本标准：无论教学中采取了怎样的教学方法或模式，我们都应更加关注自己的教学是否真正促进了学生更为积极地进行思考，并能逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理。

总之，我们应将帮助学生学会思维看成数学教育的基本目标，并通过自己的教学努力促进学生思维的发展，包括由理性思维逐步走向理性精神。

在以下各节笔者将从实践角度对上述思想作出进一步的解读，即具体地指明数学教学在当前所应特别注意的一些方面与问题。主要包括：（1）应当正确处理动手与动脑之间的关系；（2）努力使学生养成长时间思考的习惯与能力；（3）帮助学生学会反思；（4）努力提升学生的思维品质。

二、动手与动脑

这是当前应当注意纠正的一个现象，即我们在教学中往往只重视了学生的动手，却忽视了如何促使他们积极地动脑。也正因此，现实中就经常可看到这样的现象：我们的学生一直在做，一直在算，一直在动手，但就是不想！

这是笔者近期聆听的一堂数学课，任课教师首先强调了这样一个认识：要想认识圆，必先画圆。

以下是几个主要的教学环节。

第一，要求学生用圆规画圆。

第二，教师在显示屏上展示了体育教师在操场上画圆的场景，并要求学生对画圆的具体步骤做出总结：（1）定圆心；（2）确定半径。

在上述基础上，教师又对学生提出了如下要求：在先前所画的图纸上画出该圆的半径和直径。

第三，教师以派代表的方式组织男女生进行比赛，即在黑板上用绳子画圆。教师特意做了这样的安排：她提供的两根绳子有一条是没有伸缩性的，另一条则有一定的伸缩性。不难想到，这正是这位教师做出这一安排的主要目的，即希望借此帮助学生更清楚地认识到这样一点：圆的半径的长度不能变。

第四，要求学生按照学习单从事活动：请你看一看、量一量、折一折，再想想圆有哪些特征？

最后，教师向全班学生提出了这样一个问题：想一想：生活中有哪些圆？用到了圆的哪些性质？

针对上述实例，笔者希望读者也能具体地想一想：你如何看待这一课例中教师对学生动手与动脑两者关系的处理？进而，这又能否被看成很好地体现了这样一个思想：数学教育的基本目标是促使学生积极地进行思考。

以下就是笔者在这方面的一些具体思考和建议。

（1）在学生用圆规画圆以后，我们是否应通过一定的提问（与讨论）引发学生的思考？如，画圆时容易出现什么样的问题？什么是画好圆的关键？……

（2）通过聚焦“圆不圆”这样一个问题，我们又可引发学生做出进一步的思考：“究竟什么样的图形是圆？”

（3）我们为什么要布置这样一个任务，即让学生“看一看、量一量、折一折，再想想圆有哪些特征”，这也就是指，圆的基本性质（半径相等、直径相等）难道真的是量（比）出来的吗？

当然，上述的分析并非是指圆的认识的教学应当完全排斥学生的动手，恰恰相反，我们应当依据学生的实际情况决定在此是否有必要让学生动手去画一画（因为，这显然也应被看成这一教学活动的一个重要目标，即帮助学生较好地掌握画圆的基本技能，后者也可为相应的认识活动提供必要的基础）。但是，在全部的教学过程中，我们应始终牢记这样一点：与单纯的动手相比，我们应更加重视由动手向动脑的转变，包括帮助学生由单纯的操作经验转向对相关知识的深刻理解。

由以下的一般性分析，相信读者可更好地理解纠正所说的现象的重要性，即我们的学生一直在做，一直在算，一直在动手，但就是不想！

例如，在度量问题的教学中，我们往往只重视实际操作，包括各种方法与工具的应用，却未能引导学生认真地思考：如何量才能更准、更快、更省事？同样地，在学生进行计算前，我们往往也未能引导他们认真地思考为什么要进行这些计算，从而就很容易出现以下的现象：尽管相关的计算或推理导致了某些结果，但其对解决所面临的问题却没有任何作用。再如，几何教学中一旦引入了某个概念，如等腰三角形、正方形等，我们往往就会急于让学生通过动手操作去发现它们的特征、性质，却没有认识到其中的很大一部分正是相关定义的直接推论。如，什么是等腰三角形，什么是正方形等，并由此引出相关图形的一些特征、性质。

由上述分析我们可认识到对所说的动手应作广义的理解：这不仅是指实物操作，也包括各种数学运作，如度量与计算，等等。进而，为了有效地纠正为动手而动手这一现象，我们应当十分重视这样几项工作：（1）在实际组织学生从事操作性活动前，我们应当认真地思考：为什么要让学生从事这样一个活动？我们如何使之真正成为学生的自觉行为？（2）在实际的教学过程中，我们应注意防止活动的异化，即应当注意分析学生事实上在做什么；（3）作为必要的总结与反思，我们在课后应认真地思考：学生通过从事所说的活动产生了什么效果？简言之，我们在此应突出这样三个问题：（1）为什么要从事这一活动（why）？（2）学生事实上在做什么（what）？（3）这一活动究竟产生了怎样的效果（how）？

另外，应当指出的是，这也是与上述现象密切相关的另一个应当纠正的倾向，即对活动经验的片面强调。因为，思维的发展不可能仅仅通过反复的实践与经验的简单积累得以实现，而是主要表现为由较低层次上升到更高的层次，我们应清楚地认识反思在这一方面的重要作用。（对此将见第四节的讨论）

以下再给出这方面的又一实例，希望借此能清楚地表明这样一点：就学生由单纯动手向动脑的转变而言，教师应当发挥重要的引导作用，特别是，应通过适当的提问引发学生的积极思考。

例2 角的初步认识的教学

这是小学二年级的一个内容，人教版教材中对这一内容是这样处理的：

（1）由生活实例引出角的概念（如图1）。

图1

（2）通过各个实例（包括正例与反例，如图2）帮助学生较好地掌握角这一概念的本质，并切实防止各种可能的误解。

图2

以下就是相关教师的教学设计，特别是，其中的三次动手与三次提问可被看成很好地体现了这样一个思想：我们应当通过适当的提问促进学生更为积极的思考。

具体地说，这位教师在教学中同样采取了由生活实例引出角的概念这一做法，但在学生列举了生活中所见过的各种各样的角以后，教师提出了这样一个任务（第一次动手）：把你头脑中所想的角画出来。

由于教师在此并未刻意地加以引导，课堂上出现以下情况就十分自然了：不仅学生所画的角各不相同，画角的方法也是五花八门。当然，这又是这一设计的主要目的，即通过进一步的讨论，特别是“其中有哪些可以被看成真正的角（即数学中所说的角）？”（问题1）帮助学生初步建立起角的概念，包括具体地认识角的一些特性：角有一个顶点，两条边。

在上述基础上，教师要求学生第二次动手画角：由于学生已经初步形成了角的概念，此时所得出的结果与前一次相比就有很大的进步，但又正是以此为基础，教师提出了第二个问题：你们所画的角有什么不同？将学生的注意力由先前的共同点（什么样的图形可以被看成数学中的角）转向了角的大小的比较这一更深层次的思考。

最后，为了促进学生认识的发展，教师要求学生第三次动手画角：这次是指“如何画出一个与已知角同样大小的角”。（当然，这并非唯一的选择。例如，相关教师当时所采取的以下做法应当说也是一个很好的设计，即要求学生首先对自己手中的小三角尺与教师的大三角尺上相应角的大小做出猜测，然后动手加以检验——不难想象，学生发现两者的大小相等时会受到怎样的震撼！以下则是另一个巧妙的设计，即在教学中，我们不只是通过旋转圆规或其他相关教具的两条边去生成大小不同的角，也可通过拉长两边去引发学生的思考：这时角的大小是否也有所变化？）

当然，不论课堂上采取了怎样的教学设计，我们必须将学生的注意力引向这样一个问题（问题3）：角的大小是由什么决定的？或者说，什么是相关的因素，什么因素与角的大小完全无关？我们在教学中还可要求学生用自己的语言表达自己在这一方面的想法。

综上可见，尽管相关的教学不能直接引入角的严格定义，但是，上述的活动（包括相关的讨论）仍然有助于学生较好地掌握角的本质。特别是，角的大小与边的长度完全无关，而仅仅取决于开口的大小，从而也就可以为将来的进一步学习（包括角的严格定义）打下良好的基础。

总之，这正是我们在当前应当努力纠正的一个现象：我们的学生一直在做，一直在算，一直在动手，但就是不想！

（待续）

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