浅谈高中数学中圆和直线的关系

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摘要：我们在初中的数学学习中已经对直线与圆之间的关系有所了解，我们还知道了判断直线和圆之间位置关系的几种方法，比如可以根据直线与圆交点的个数或者根据直线与圆之间的距离大小与圆的半径r来进行比较，从而判断出圆与直线的位置关系。而我们在高中数学的学习中，在原来浅显的基础上又进了一步。高一时我们学习了解析几何，所以现在考虑的问题是我们如何能很好地对圆和直线之间关系的判断方法，而解决这一部分问题我们主要运用的是代数法和几何法。

关键词：高中数学；圆与直线；关系

我们在高中的一个学习重点就是关于直线和圆之间位置关系的问题，因为这种问题不仅对我们考察了与直线相关的知识，还对圆的知识进行了考察，这也体现出它的综合性。的利用，比如圆的半径。半弦长、弦心距、切线长定理等等。

一、圆和直线关系的基本概念

1.我们还可以利用几何的观点，也就是直线到圆心的距离d与圆的半径r来进行比较，从而判断二者间位置关系。第一，当dr，直线和圆的位置关系是相离。

2.当已知直线和圆相切的位置关系，题目主要考察的是我们对圆的切线方程进行求解。求这类问题主要有两种情况，第一种是已知切线的斜率，第二是已知直线上的一点。在第二种方法中可以分为已知的一点在圆上或者圆外两种情况，接着再用切线性质进行求解。第一，已知圆上有点p（x ，y ），那么圆x +y =r 的切线方程就是xx +y y = r ，可以得到圆（x-a） +（y-b） =r 的切线方程（x-a）（x -a）+（y-b）（y -b）= r。第二假如在圆外一点p（x0，y0），那么我们可以用直线与圆心的距离等于半径求出切线的斜率，从而得到切线方程，这里要注意不能漏了不存在斜率的切线方程。

3. 直线和圆相交的问题，一般是与弦长和弦的中点有关系。

二、对直线和圆位置关系进行判定

在上文阐述概念时，我们已经有所了解如何去判断圆和直线的位置关系，在这里加深阐述。当直线和圆之间有两个公共的点，那么说明二者之间是相交的；如果直线和圆只有一个公共点，那么二者之间就是相切的关系；当直线和圆之间没有公共点，那么二者之间就是相离的。

例如：设圆C的方程x2+y2-2x-2y-2=0，直线1的方程（m+1）x-my-1=0，对任意实数m，求直线和圆之间的位置关系。

解析：我们可以先求出直线恒过的一个定点，求出点和圆心之间的距离大小并与圆的半径相比较。我们从直线1的方程 （m+1） x-my-1=0得到m（x-y） +x-1=0，直线恒过（1，1）点，根据方程 x2+y2-2x-2y-2=0可以知道圆心（1， 1），所以圆和直线都过点（1，1），且此点是圆心，那么二者的关系就是相交。此题主要考察的是圆和直线的位置关系，以及我们对转化思想的掌握，在做这样的题目是，我们要将圆与直线的关系转换为点与圆的关系。

三、求圆上一点到直线的距离

对圆上的点到直线距离进行求解，我们中很多人在看到这样的题目时找不到突破点。点到直线的距离求得就是点到直线垂线的长度，什么时候最大，什么时候最小。下面实例分析：

已知圆的方程x2+y2 =1求其上的一个点与直线3x+4y-25=0的距离的最小是多少？

解析：首先我们将直线到圆心的距离与半径作比较，如果距离比圆半径大，那么二者的关系就是相离，所以可以得到圆上的点到直线的距离就等于圆心与直线距离再把圆的半径减去。解：圆心（o，o）到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为：5-1=4。故答案为：4。

考点：直线与圆的位置关系。点评：考查了学生数形结合的思想，转化和化归的思想。

四、截距相等问题

在解决截距相等的问题时，我们第一要考虑的就是截距都是0的情况，当截距不为0时，我们要考虑符合一定要一样。我们不能简单的认为截距就是距离，因为距离是非负，而截距可以为负。

例如：在x，y轴上截距相等并且与圆（x-3）2+（y-3）2=8相切的直线有几条？

解析：与在两坐标轴上截距相等且与圆（x-3）2+（y-3）2=8相切，那么一定有过原点的2直线。还有斜率为-1的两条直线。我们可以根据方程 （x-3）2+（y-3）2=8得到圆心为C（3 ， 3），求出半径r=2，由|OC|==3，所以原点在圆外。当所求直线的方程的截距为O时，直线过原点，那么满足题目的两条直线有2条。当截距不为O时，设所求直线的方程为：x+y=a （不等于零） 。可得圆心和直线间的距离d=（3+3-a）/，则a=2或a=10，所以我们可以得到有两条直线满足题意。

五、直线与圆相交

此题我们用实例证明，假设直线1与圆 （x+1）2+（y-2）2=100在A，B两点相交，点（-2，3）为弦AB中点，求直线1的方程表达式。

解析：我们可以根据已知圆的方程得到其圆心的坐标，把已知弦AB的中点与圆心相连，再根据垂径定理的逆定理得出画出的直线与直线1是互相垂直的，互相垂直的两条直线的斜率乘积为-1，根据圆心和弦中点连线的斜率得到直线1的斜率，再根据直线1与弦中点的相交，得到直线1的方程。具体解法，首先圆（x+1）2+（y-2）2=100可以看出圆心为（-1，2），（-2，3）为弦的中点，圆心与其的连线斜率为（3-2）/（-2+1）=-1，得到直线1斜率为1，最后可得直线1方程为：x-y+5=0。

六、结语

综上所述，对于直线和圆之间关系的学习首先我们要掌握二者之间位置关系的性质及判断方法，它是学好这块的基础要求。对于这章的学习，我们要勤于动脑，了解掌握其中的转化思想，这对我们的思维也有着很好的锻炼。

[参考文献]

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[2] 刘伟.高中数学教学中渗透数形结合思想的作用探讨[J].现代交际，2016（09）.

[3] 赵菲.数形结合教学模式在高中数学课程中的应用[J].新课程导学，2016（26）.

（作者单位：长沙市第一中学，湖南 长沙 410000）