动三轴试验滞回曲线的椭圆拟合分析1

毛远凤 叶庆东 沈宇鹏



动三轴试验滞回曲线的椭圆拟合分析1

毛远凤1）叶庆东1）沈宇鹏2）

1）中国地震局第一监测中心，天津 3001802） 2）北京交通大学土木工程学院，北京 100044

采用正弦波形循环荷载动三轴试验获取土的动剪切模量和阻尼比的数据处理过程中通常存在两个困难：一是因为试验中存在各种噪声使滞回曲线椭圆形态不明显；二是椭圆拟合会因方法不当出现不收敛或者误差大等情况。为了在一定程度上克服第一个困难，本文将滤波技术引入到对应力应变时间序列的处理中来；为了更好地拟合滞回曲线椭圆，本文结合了主成份分析技术与椭圆的几何拟合方法，通过计算椭圆焦点位置、长半轴长度等来确定拟合椭圆，结果表明，该方法容易线性化且相对稳定，值得在动三轴数据处理中进行推广。

动三轴试验 滞回曲线 椭圆拟合 几何方法 滤波技术

引言

土的动剪切模量比和阻尼比是土动力学特征的重要参数（Hardin等，1968），在工程场地土层地震反应分析和地震安全性评价工作中不可缺少（郭婷婷等，2016）。通过描述土在动力荷载作用下的动应力应变关系（动本构关系）模型，将动剪切模量和阻尼比与动剪应变幅值的函数关系具体化。Seed等（1970）首先给出了砂土和黏性土的动剪切模量和阻尼比与动剪应变幅值的关系曲线。Hardin等（1972）给出了动剪切模量与动剪应变的关系（即Hardin-Drnevich双曲线模型）。Martin等（1982）在Hardin-Drnevich模型的基础上进行了改进，提出了三参数的Davidenkov模型和具有幂次形式的阻尼比拟合公式。陈国兴等（2005）基于Davidenkov模型，采用上限剪应变幅值作为分界点，推导出了修正的Davidenkov模型阻尼比计算公式。在所有模型中，Hardin-Drnevich模型需要求解的参数最少，只需要2个参数，因而较为简便，目前应用较为广泛。下文中讨论动剪切模量和阻尼比与动剪应变幅值关系就基于此模型。

土的动剪切模量和阻尼特性测定是地震等动荷载作用下土工建筑物设计和计算的基本依据（赵红芬等，2009）。通常，为获得土体的动剪切模量和阻尼比，最直接的方法是进行土动力学试验。在土的动力学特性与岩土地震工程试验研究中最常用的方法主要是动三轴和自振柱试验两种方法。其中，动三轴试验主要用于在室内测定粘性土的动强度、各类土的动模量和阻尼比、砂土抗液化强度等相关参数（吴世明等，2001；张涛，2004；申权等，2013；郭可骍，2015）。基于前人对土动力特性的分析，同时考虑到试验测试及数据采集系统的特征，试验荷载一般采用正弦波形循环荷载（南京水利科学研究院，2003）。在动三轴试验中，数据处理是保证试验成果有效产出的关键，而应力应变滞回曲线椭圆拟合则是判断试验成果准确性的决定因素。

1 循环应力动三轴试验

图1 确定动弹性模量和阻尼比示意图

2 拟合滞回曲线椭圆的方法分析

试验采用正弦波循环荷载，即动应力可以表示为：

对应的动应变可以表示为：

椭圆拟合的方法有很多种，如蒙特卡罗法、非线性最小二乘法（许正文等，2008；闫蓓等，2008）、参数拟合法（陈基伟，2007a；2007b）和几何法（彭青玉，2003）等。蒙特卡罗法也称统计模拟法，需要借助计算机生成大量样本并对其特征进行统计分析，通常较为费时；非线性最小二乘法直观明了，但是需要求解5个参数，同时还要求二元二次函数满足椭圆的约束条件，事实上是一个二次规划问题，容易因陷入局部极小而不能很好地拟合观测数据；参数拟合法处理已知初相的问题较为方便，但对本文涉及的问题无法线性化，求解存在困难。彭青玉（2003）根据椭圆到两定点距离之和为常数的几何定义出发，提出了椭圆拟合的几何方法。与传统方法相比，该方法直接基于几何定义，因此相对稳定，并且很容易线性化，可操作性强，下文中将对该方法进行详细介绍。

图2 应力、应变初始（（a）、（b））及滤波后（（c）、（d））的时间曲线

椭圆拟合的几何方法中，需要给定半长、短轴以及长轴与横坐标的夹角。我们的做法是首先将滤波后的应变-应力曲线画在一张图上，然后手动删去明显异常的点，如图3。

理想情况下椭圆上的点到两焦点距离之和为常数2，实际中由于误差的存在，椭圆拟合方程表示为：

图4 椭圆拟合迭代前（a）后（b）变化示意图

3 试验结果

表1 试样动三轴试验结果，不同动剪应变下的及

图5 不同动剪应变下的及动阻尼比曲线

从图5可以看出，本文中椭圆拟合的几何方法能够很好地拟合曲线，是能够应用于工程实践的实用方法。

4 结论

通过上述试验和分析，得到了不同动剪应变下该粘土样的动剪切模量和阻尼比随剪应变变化的关系曲线。可以看出，本文进行椭圆拟合的几何方法是一种相对稳定、可操作性强的方法。在实际工程中，采用人机交互可有效地控制数据质量。将该方法应用于同一批其他试验土样的滞回曲线拟合，均得到了较好的结果，进一步证明了该方法可以确保土动三轴试验数据结果的可靠性以及各土动力学特性参数取值的准确性。

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Analysis on Ellipse Fitting of Hysteresis Curve inDynamic Rriaxial Test

Mao Yuanfeng1), Ye Qingdong1)and Shen Yupeng2)

1) The First Monitoring and Application Center, China Earthquake Administration, Tianjin 300180, China 2) School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China

There exist two difficulties in the data processing of dynamic tri-axial tests when we use sinusoidal cyclic loading to obtain dynamic shear modulus and damping ratio. One difficulty is that the elliptic hysteresis curve is not clear enough due to various noises, and another one is that the procedure of fitting ellipse is divergent or the results of fitting with larger uncertainty because selected ellipse fitting method is improper. In this study, in order to overcome these difficulties to some extents, we processed time series of dynamical stress and stain with filtering technology. To fit the elliptic hysteresis curve well, we calculated the fitted ellipse by determining the two focuses and the length of the long axis of ellipse which we obtained by combining principal component analysis with ellipse geometrical fitting method. The result shows that this method is easy to linearize the nonlinear ellipse fitted problem and relatively stable, and it is worth popularizing in the dynamical tri-axial test data processing.

Dynamic tri-axial test; Hysteresis curve; Ellipse fitting; Geometric method; Filtering technology

10.11899/zzfy20170402

中国地震局第一监测中心科技创新主任基金（FMC2017002）与中国地震局震情跟踪项目（2017010124）共同资助

2017-03-06

毛远凤，女，生于1987年。硕士。主要研究领域：岩土工程、地震科研。E-mail：myf4440@163.com

毛远凤，叶庆东，沈宇鹏，2017．动三轴试验滞回曲线的椭圆拟合分析．震灾防御技术，12（4）：743—750．