一类流体动力方程周期解的存在性和唯一性

金 珍,万 龙

(1. 南昌工程学院 理学院, 江西 南昌 330099； 2. 江西财经大学 信息管理学院, 江西 南昌 330013)

一类流体动力方程周期解的存在性和唯一性

金 珍1,2,万 龙2*

(1. 南昌工程学院 理学院, 江西 南昌 330099； 2. 江西财经大学 信息管理学院, 江西 南昌 330013)

研究了一类非齐次流体动力方程的周期解的存在性和唯一性.首先采用Galerkin方法构造近似时间周期解序列,然后利用先验估计和Leray-Schauder不动点定理,证明近似时间周期解序列的收敛性,从而得到了该问题时间周期解的存在性,并且证明在一定条件下该解的唯一性.

流体动力方程；周期解；Galerkin方法；Leray-Schauder不动点定理

Existence and uniqueness of time periodic solution for the fluid dynamics equation. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(1):040-046

0 引言及预备知识

漂移波是磁化非均匀等离子体中的一支低频静电波,经常与在托卡马克中观察到的低频密度涨落和能量衰变联系在一起.被激发的漂移波,当其振幅为有限时,非线性效应将起重要作用.这些充分发展的漂移波，被认为是导致等离子体反常输运的重要原因.HASEGAWA等[1-2]首先导出了描述非线性漂移波的Hasegawa-Mima方程：

∂t(1-▽2)φ-kn∂yφ=▽·[(ez×▽φ)·▽]▽φ，

(1)

这里：▽·≡▽⊥·是垂直于磁场B0方向的散度算子;kn=∂xln n0为常数,n和n0分别是有微扰和无微扰(但不均匀)时的密度;φ为漂移波的振幅;ez×▽φ是磁化等离子体的漂移波波速;z轴即为磁场B0的方向,且ez是单位向量.方程(1)描述了等离子体中非线性漂移波的演化过程.该方程模型与反映二维不可压流体的Navier-Stokes方程密切相关.二维耗散的Hasegawa-Mima方程

(u-Δu)t-knuy+γ(u-Δu)=

J(u,Δu)+f(x,y,t)，

(2)是一类简单的二维湍流系统,其中黏性系数γ>0,u=u(x,y,t),J(ξ,η)是Jacobi导数矩阵对应的行列式,即J(ξ,η)=ξxηy-ξyηx.在等离子体中,方程(2)描述漂移波的演化过程,其中，u是静电的涨落,kn=∂xln n0，n0是本底质点密度.在地球物理学流体中,方程(2)描述了地动的瞬时发展,被称为Rossby波的拟地动势涡度方程,此时u是地动流函数.

1986年,SWATERS[3]对一类流体动力方程的稳定性条件和先验估计问题进行了研究.1993年,ZHOU等[4]考虑一类广义的流体动力方程

(u-Δu)t+J(u,Δu)+AΔux+

BΔuy+f(u)x+g(u)y=h(u)的周期边界问题和Cauchy问题,利用Galerkin方法和积分估计得到上述问题的广义全局解和古典全局解.1998年,GRAUER[5]给出了一类流体动力方程的能量估计.2004年,GUO等[6]讨论了二维Hasegawa-Mima方程

∂t(u-Δu)+k∂yu+J(u,Δu)=0

的Cauchy问题,得到全局弱解的存在性和唯一性.接着,张瑞凤、郭柏灵等[7-11]讨论了广义Hasegawa- Mima方程整体解的存在唯一性、整体吸引子、动力学行为等问题.

随后,BRONSKI等[12]通过构造Lyapunov函数得到文献[5]中能量估计的结论,但推导过程比文献[5]更简单.近年来,国内外学者[13-17]讨论了几类Hasegawa-Mima方程的周期初边值、初始问题全局解的衰减估计、解的存在性和唯一性等问题.

为了更好地研究这类方程的性质,有必要对其时间周期解[18-25]的存在性和唯一性加以论证.

本文考虑了一类具有周期边界条件和非齐次项的流体动力方程：

ut-Δut+J(u,Δu)+αΔux+βux-γΔ3u=f,

(3)

u(x,y,t)=u(x+L,y,t)=u(x,y+L,t),

x∈R,y∈R,t>0,

(4)

u(x,y,t)=u(x,y,t+ω), x∈R,y∈R,t>0,

(5)

笔者将采用Galerkin方法和Leray-Schauder不动点定理证明其时间周期解的存在性.记

u(x,y+L,t)=u(x,y,t)},

u(x,y+L,t)=u(x,y,t)},

Ck(ω,X)={f:[0,∞)→X,f(i)是连续的ω周期函数,i=0,1,…,k},

(unt-Δunt+αΔunx+βunx-γΔ3un,φj)=

(-J(un,Δun)+f,φj)， j=1,2,…,n.

(6)

为证明近似解un(t)的存在性,定义C1(ω;Hn)→C1(ω;Hn)上的映射Fλ:vn→un为

(unt-Δunt+αΔunx+βunx-γΔ3un,φj)=

(-λJ(vn,Δvn)+f,φj),

(7)

(8)

其中，K>0与L,f,γ有关,但与n,α,β,λ无关.

1 先验估计

引理1 设f∈C1(ω;H-3(Ω)),如果Fλ(un)=un,0≤λ≤1，则存在常数C1使得

其中，C1与f,γ有关,而与n,L,α,β无关.

证明 方程Fλ(un)=un的等价形式是

(unt-Δunt+αΔunx+βunx-γΔ3un,φj)=

(-λJ(un,Δun)+f,φj).

将ajn乘以上式的第j个方程,对j从1到n求和,得

(unt-Δunt+αΔunx+βunx-γΔ3un,un)=

(-λJ(un,Δun)+f,un).

(9)

注意到

(αΔunx+βunx,un)=0,

(-γΔ3un,un)=γ‖▽Δun‖2,

(J(un,Δun),un)=(unxΔuny-unyΔunx,un)=

(10)

在上式两端关于t从0到ω积分,注意到un的周期性,得

由积分中值定理,∃t*∈[0,ω)使得

另一方面,由式(10)得

上式两端关于t从t*到t(t∈[t*,t*+ω))积分,得

‖un(t)‖2+‖▽un(t)‖2≤‖un(t*)‖2+

因此,由Leray-Schauder不动点定理可得方程Fλ(un)=un有解.

推论1 在引理1的条件下,

其中，p∈[2,+∞),C2与n,L,α,β无关.

引理2 设f∈C1(ω;H-2(Ω)),则存在常数C3使得

其中，C3与f,γ有关,而与n,L,α,β无关.

证明 将-λjajn乘以式(6)的第j个方程,对j从1到n求和,得

(unt-Δunt+αΔunx+βunx-γΔ3un,Δun)=

(-J(un,Δun)+f,Δun).

(11)

(αΔunx+βunx,Δun)=0,

(-γΔ3un,Δun)=-γ‖Δ2un‖2,(-J(un,Δun),Δun)=-(unxΔuny-unyΔunx,Δun)=

则由式(11)得

(12)

在上式两端关于t从0到ω积分,注意到un的周期性,得

由积分中值定理,得∃t*∈[0,ω)使得

另一方面,由式(12)得

上式两端关于t从t*到t(t∈[t*,t*+ω))积分,由引理1得

‖Δun(t)‖2≤‖▽un(t*)‖2+‖Δun(t*)‖2+

引理3 设f∈C1(ω;H-1(Ω)),则存在常数C5使得

其中C5与n,L,α,β无关.

证明 将(-λj)2ajn乘以式(6)的第j个方程,对j从1到n求和,得

(unt-Δunt+αΔunx+βunx-γΔ3un,Δ2un)=

(-J(un,Δun)+f,Δ2un).

(13)

(αΔunx+βunx,Δ2un)=0,

(-γΔ3un,Δ2un)=γ‖▽Δ2un‖2,|(-J(un,Δun),Δ2un)|=|(unxΔuny-unyΔunx,Δ2un)|=

2‖▽un‖L∞‖Δun‖‖▽Δ2un‖≤

(14)

在上式两端关于t从0到ω积分,注意到un的周期性,得

由积分中值定理,∃t*∈[0,ω)使得

上式两端关于t从t*到t(t∈[t*,t*+ω))积分,由引理2得

‖▽Δun(t)‖2≤‖Δun(t*)‖2+‖▽Δun(t*)‖2+

引理4 设f∈C1(ω;L2(Ω)),则存在常数C6使得

其中C6与n,L,α,β无关.

证明 将(-λj)3ajn乘以式(6)的第j个方程,对j从1到n求和,得

(unt-Δunt+αΔunx+βunx-γΔ3un,Δ3un)=

(-J(un,Δun)+f,Δ3un).

(15)

(αΔunx+βunx,Δ3un)=0,

(-γΔ3un,Δ3un)=-γ‖Δ3un‖2|(J(un,Δun),Δ3un)|=|(unxΔuny-unyΔunx,Δ3un)|≤

(16)

在上式两端关于t从0到ω积分,注意到un的周期性,得

故∃t*∈[0,ω)，使得

上式两端关于t从t*到t(t∈[t*,t*+ω))积分,由引理3得

‖Δ2un(t)‖2≤‖▽Δun(t*)‖2+‖Δ2un(t*)‖2+

2 高阶导数的先验估计

本节将得到方程(3)～(5)近似解的高阶导数的先验估计.简单起见,记C为只依赖于γ,f,λ1,ω的常数.

证明 将(-λj)2kajn乘以式(6)的第j个方程,对j从1到n求和,得

(unt-Δunt+αΔunx+βunx-γΔ3un,Δ2kun)=

(-J(un,Δun)+f,Δ2kun).

(17)

(αΔunx+βunx,Δ2kun)=0,(J(un,Δun),Δ2kun)=(▽Δk-1(J(un,Δun),▽Δkun).▽Δk-1(J(un,Δun)的首项是unx▽Δkuny-uny▽Δkunx,其他项是∑unxαyβunxα′yβ′,其中，r=α+β,r′=α′+β′,r+r′=2k+3,2≤r,r′≤2k+1.

又(unx▽Δkuny-uny▽Δkunx,▽Δkun)=0,故

|(J(un,Δun),Δ2kun)|≤C‖Δun‖L∞‖▽Δkun‖2+

ρ(‖Δkun‖2+‖▽Δkun‖2)≤C.

(18)

则由式(18)可得存在常数C,使得

引理6 设f∈C1(ω;H2k-2(Ω)),则存在常数C,使得

其中C与n,L,α,β无关.

证明 将(-λj)2k+1ajn乘以式(6)的第j个方程,对j从1到n求和,得

(unt-Δunt+αΔunx+βunx-γΔ3un,Δ2k+1un)=

(-J(un,Δun)+f,Δ2k+1un).

(19)

(αΔunx+βunx,Δ2k+1un)=0,

(-γΔ3un,Δ2k+1un)=-γ‖Δk+2un‖2,

(J(un,Δun),Δ2k+1un)=(Δk(J(un,Δun),Δk+1un),

Δk(J(un,Δun)的首项是unxΔk+1uny-unyΔk+1unx,其他项是∑unxαyβunxα′yβ′,其中，r=α+β,r′=α′+β′,r+r′=2k+4,2≤r,r′≤2k+2.

又(unxΔk+1uny-unyΔk+1unx,Δk+1un)=0,故|(J(un,Δun),Δ2k+1un)|≤C‖Δun‖L∞‖Δk+1un‖2+

C(‖Δk+1un‖2+1)≤

ρ(‖▽Δkun‖2+‖Δk+1un‖2)≤C.

(20)

则由式(20)可得存在常数C,使得

引理7 设f∈C1(ω;H2(Ω)),则存在常数C,使得

其中C与n,L,α,β无关.

(unt-Δunt+αΔunx+βunx-γΔ3un,unt)=

(-J(un,Δun)+f,unt).

所以‖unt‖2+‖▽unt‖2=(-αΔunx-βunx+γΔ3un-J(un,Δun)+f,unt).当f∈C1(ω;H2(Ω))时,可得‖Δ3un‖2≤C,从而存在K使得

‖unt‖2+‖▽unt‖2≤K‖unt‖≤

(unt-Δunt+αΔunx+βunx-γΔ3un,Δmunt)=

(-J(un,Δun)+f,Δmunt)，

所以，

(-1)m(‖▽munt‖2+‖▽m+1unt‖2)=

(-αΔunx-βunx+γΔ3un-J(un,Δun)+

f,Δmunt)=(-1)m(▽m(-αΔunx-βunx+

γΔ3un-J(un,Δun)+f),▽munt).

故存在常数C,使得

3 解的整体存在性和唯一性

本节将得到方程(3)～(5)时间周期解的存在性和唯一性.

定理1 对任意的k≥0,若f∈C1(ω;Hk+2(Ω)),则问题(3)～(5)存在时间周期解u(x,y,t)∈L∞(ω;Hk+5(Ω))∩W1,∞(ω;Hk(Ω)).

证明 由引理1～8及标准的紧性原理知，可选取{un(t)}的子序列,仍记为{un(t)}，使得对任意的k≥0,若f∈C1(ω;Hk+2(Ω)),则有

当n→∞时,非线性项

‖J(un,Δun)-J(u,Δu)‖=‖(unxΔuny-

unyΔunx)-(uxΔuy-uyΔux)‖=‖(unx-

ux)Δuny+ux(Δuny-Δuy)-(uny-uy)Δunx-

uy(Δunx-Δux)‖≤‖unx-ux‖‖Δuny‖+

‖ux‖‖Δuny-Δuy‖+‖uny-uy‖·

‖Δunx‖+‖uy‖‖Δunx-Δux‖→0.

由引理1～8，得

ut-Δut+αΔux+βux-γΔ3u+J(u,Δu)=f.

综上可得定理1成立.

定理2 假设定理1的条件成立,当M3足够小时,则定理1中得到的问题(3)～(5)的时间周期解是唯一的.

证明 设u,v是问题(3)～(5)的2个时间周期解,则

ut-Δut+αΔux+βux-γΔ3u+J(u,Δu)=f,

vt-Δvt+αΔvx+βvx-γΔ3v+J(v,Δv)=f,

两式相减,并令w=u-v,得

wt-Δwt+αΔwx+βwx-γΔ3w+

J(u,Δu)-J(v,Δv)=0.

(21)

注意到J(u,Δu)-J(v,Δv)=(uxΔuy-uyΔux)-(vxΔvy-

vyΔvx)=wxΔuy-wyΔux+vxΔwy-vyΔwx=

J(w,Δu)+J(v,Δw),

则由式(21)，得

wt-Δwt+αΔwx+βwx-γΔ3w+J(w,Δu)+

J(v,Δw)=0.

将上式与w作内积,得

(wt-Δwt+αΔwx+βwx-γΔ3w+

J(w,Δu)+J(v,Δw),w)=0.

(22)

注意到

(αΔwx+βwx,w)=0,

(γΔ3w,w)=γ‖▽Δw‖2,

(J(w,Δu),w)=0,

(J(v,Δw),w)=∬Ω(vxΔwy-vyΔwx)wdxdy=

-∬Ω(vxwy-vywx)Δwdxdy=

其中，C与f,γ有关,与α,β无关.

δ(‖w‖2+‖▽w‖2)≤0.

故‖w(t)‖2+‖▽w(t)‖2≤(‖w(0)‖2+‖▽w(0)‖2)e-δt,∀t≥0.

因为w=u-v关于时间t是周期变化的,则对于任意正整数s∈N,有

‖w(t)‖2+‖▽w(t)‖2=‖w(t+sω)‖2+

‖▽w(t+sω)‖2,

所以

‖w(t)‖2+‖▽w(t)‖2≤(‖w(0)‖2+

‖▽w(0)‖2)e-δ(t+sω),

从而得到 ‖w(t)‖2+‖▽w(t)‖2=0.

综上可得定理2成立.

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JIN Zhen1,2, WAN Long2

(1.CollegeofScience,NanchangInstituteofTechnology,Nanchang330099,China; 2.SchoolofInformationTechnology,JiangxiUniversityofFinanceandEconomics,Nanchang330013,China)

This paper studies the existence and uniqueness of time periodic solution for one type of fluid dynamics equation with inhomogeneous term. Firstly, the approximation sequence of time periodic solution is constructed using the Galerkin method. Next, the approximation sequence is verified to be convergent by means of a priori estimate and Leray-Schauder fixed point theorem. It is shown that there is a time periodic solution when the inhomogeneous term is periodic about time. We also prove that the solution is unique under certain conditions.

fluid dynamics equation; periodic solution; Galerkin method; Leray-Schauder fixed point theorem

2015-01-19.

江西省教育厅科技项目(GJJ150463.GJJ150464)；江西省自然科学基金资助项目(20151BAB211009,20161BAB201028)；国家自然科学青年基金项目(11601198)；南昌工程学院青年基金项目(2014KJ024).

金 珍(1982-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-2534-3355,女，硕士，主要从事微分方程及其应用研究.

*通信作者，ORCID:http://orcid:org/0000-0001-9770-532X,E-mail:cocu3328@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.01.006

O 175.2

A

1008-9497(2017)01-040-07