正确面对学生思维的岔道

卢 平

(江苏省苏州市吴江汾湖高级中学 215211)

一、问题的引出

笔者在数列教学中曾经给出过这样的例题：

例1 等差数列{an}中，若a8=0，则等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a15-n(n<15，n∈N*)成立.那么，在等比数列{bn}中，若b10=1，则会有什么样的等式成立呢？

解 因为a8=0，因此ak+a16-k=2a8=0(k∈N*,k≤5).所以a1+a2+…+an=(a1+a2+…+a15-n)+(a16-n+a17-n+…+an-1+an).设S=a16-n+a17-n+…+an-1+an①,则S=an+an-1+…+a17-n+a16-n②.由①+②，得2S=(2n-15)(a16-n+an)=0，所以S=0，所以a1+a2+…+an=a1+a2+…+a15-n.类似地，在等比数列{bn}中，因为b10=1，从而有bkb20-k=1(k∈N*,k≤9).所以b1·b2·…·bn=(b1·b2·…·b19-n)·(b20-n·b21-n·…·bn-1·bn)=b1·b2·…·b19-n.

二、课堂教学中的“意料之外”

上述问题的设计、分析与解题步骤都一目了然，但在课堂教学的实施过程中却产生了意料之外的问题.

1．意料之外的错误

教师呈现问题之后请甲乙两同学上黑板解题得到以下答案：甲：b1b2…bn=b1b2…b19-n(n∈N*,n<19).乙：b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b19-n+17(n∈N*，n<19).

甲同学在随后的答案解释中基本能够达到教师的要求，但乙同学却给出了将等比数列{bn}看出了等差数列{bn}的回答.

此时，丙同学举手说自己看错题后得出的答案与乙又有不同，他得到了b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b19-n+2n-19(n∈N*，n<19).

这时丁同学举手表态：乙做错了，假如等差数列{bn}是常数列1，n=1时等式不成立.

2．将错就错的收获

学生的一个意料之外的错误引来了众多学生的共同讨论，此时，教师如果将学生错误简单归结为审题不够仔细而结束他们的讨论，学生的探究兴趣与思维也就会因此而终止.笔者面对这种情况提出了以下问题：

例2 等差数列{bn}中，若b10=1，会有什么样的等式能够成立呢？应该怎样思考？前面的答案都对吗？为什么？

课堂上随机生成的问题使得学生很快便进入了思考的状态.教师在学生进行一定的思考之后请乙同学解释其思考问题的过程.

乙同学：根据已知条件可以看出，例1中的等式是等差数列某一项为0时得到的，假如问题中的数列也为等差数列，区别在于b10=1而不是b10=0，因此，假设有新的数列{cn}并使cn=bn-1，因此c10=0，后续解题过程可以采用例1中的方法.

同学们觉得乙同学与丙同学解题时采取的方法是一致且有道理的，不过两位同学最终给出的答案却并不一致，乙同学此时突然发现自己在计算时发生了错误导致答案没有正确呈现，而丙同学做对了.

解题步骤如下：构造数列{cn}并使cn=bn-1，则数列{cn}为等差数列，由c10=0，所以c1+c2+…+cn=c1+c2+…+c19-n，由cn=bn-1得b1-1+b2-1+…+bn-1=b1-1+b2-1+…+b19-n-1，化简，得b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b19-n+2n-19(n∈N*，n<19).

笔者在准确答案得出以后继续追问学生是否还存在其他解法，学生在一定的思考之后给出了以下直接求解的方法：因为b10=1，从而有bk+b20-k=2b10=2(k∈N*，k≤9).

所以b1+b2+…+bn=(b1+b2+…+b19-n)+(b20-n+b21-n+…+bn-1+bn)，设S=b20-n+b21-n+…+bn-1+bn①，

则S=bn+bn-1+…+b21-n+b20-n②.

由①+②，得2S=(2n-19)(b20-n+bn)=(2n-19)×2，所以S=2n-19，所以b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b19-n+2n-19(n∈N*,n<19).

这是一种不拘泥于“ak=0”这一形式并能从本质上进行解题的思路.

三、课后反思

笔者在自己所料不及的学生解题错误中将错就错却收获了意想不到的教学效果.

1．善待学生错误

共同存在于课堂教学活动中的预设和生成这对辩证对立统一体是课堂教学的两翼.教师在课前应将教学目标的确立、重难点的突破等环节进行精心的备课与预设，不过，课堂教学并不是仅仅围绕“教”而展开的，与之相对的学生的“学”才是课堂教学中尤其重要的.学生在学习的过程中常常会出现教师预料之内以及意料之外的错误，教师怎样发现学生的错误以及怎样对待这些错误是课堂生成中最为重要的环节，而且这一环节往往能够体现教师是否能够在教学中以人为本并尊重学生个性差异进行教学.

2．培养学生思维能力

如何在教学中渗透数学思维并因此提升学生解决问题的能力是每个数学教师高度关注的问题.从以上案例中我们不难看出，问题的解决需要逻辑推理、运算等各种基本的数学思维共同参与，类比、归纳、化归等数学思想的运用表现得尤为突出，性质与方法的类比、化归思想等都在学生的解题中得到了运用，严格的逻辑推理使得数学命题得到准确的判断，反例的列举则可以用来否定命题的正确性，数学学习中逆向思维的价值也因此得以完全展现.

3．认知主体始终是学生

从现代教育理论和后现代主义的角度来看待学习认知的主体，我们不难形成以下的观点：(1)平等、信任的对话是教师和学生之间应该努力营造与建立的，教学活动因此可以成为相互沟通与理解的双方交流，教育的真实性、公平性才会因此受到保障；(2)采取绝对统一的形式开展教学在层次各异的学生群体中是不科学的，教师应该在充分预设的基础上进行生成性资源的灵活运用以帮助和促进学生学习兴趣的有效激发，使得学生在宽松、和谐的教育氛围中进行各种思维活动，在学生思维的岔道口进行科学的引导、拓展与利用，使学生思维的品质以及教师教育教学的智慧在不断的探索与收获中获得长足的发展.

[1]卓斌．例谈数学教学中问题串的设计与使用[J]．数学通报，2013(6)．

[2]高翔，张波．高中数学教师对问题串评价与编制的调查研究[J]．数学教育学报，2016(3)．