巧用单位圆解决三角函数问题的思考

王宏伟

（甘肃省庆阳市第二中学）

巧用单位圆解决三角函数问题的思考

王宏伟

（甘肃省庆阳市第二中学）

在高中数学教学阶段，单位圆是应用较为广泛的一种解题策略，尤其是在与三角函数相关的题目类型当中，其所能发挥的解题作用尤为明显，将就“利用单位圆解决三角函数问题”展开讨论。

三角函数问题;单位圆;解题技巧

单位圆上的三角函数线是实现数形结合的一种有效方式，是能够对三角函数进行几何表示的一种方法。很多学生在进行三角函数这一章节的学习时，会将学习的重点置于公式记忆、函数性质的掌握以及图像性质的理解，对于单位圆三角函数线的部分却掌握的不够牢固。本文中笔者就将从以下几个角度来着手探讨这一类型问题的具体解题思路。

一、利用单位圆的三角函数线比较函数值大小

利用单位圆的三角函数线来比较函数值的大小，其解题关键就在于对三角函数、角等相关数学量的转化过程，以这样一道题目为例：

本题解题的难点在于sinα属于三角函数值，但是α本身属于角，二者之间属于不同的领域，看似无法做寻常的加减运算，所以如果单纯地想依靠计算的方式来进行判断，显然会陷入求解的瓶颈当中。

但是如果将题目当中所涉及的sinα、α等置于单位圆当中，我们发现，其本身在图形领域所富含的另外一层含义，我们可以利用单位圆将所要比较大小的部分转化为其他的、可以量化和具象化的内容。如图所示，将A、B、D视为单位圆上的点，E、C分别为D、B在x轴上的垂点，α=∠EOB，β=∠AOB，则：

sinα=ED、sinβ=BC（单位圆斜边大小视为1，正弦函数值等于对边比斜边，即等于角所对应的边长）

到此为止，比较大小过程中所涉及的sinα、sinβ、α和β，已经转化成了统一的比较值，即全部通过面积来表示。

而“a-sinα”就可以视作“扇形AOD的面积减去S△AOD”的二倍，“β-sinβ”就可以视作“扇形AOB的面积减去S△AOB”的二倍，换言之a-sinα和β-sinβ就可以通过比较弓形AD和弓形AB的面积来求解，我们可以通过图像观察到弓形AB的面积明显要大于弓形AD的面积，即2（β-sinβ）＞2（α-sinα），而题目所求解的sinα-α和sinβ-β的大小，也自然能够判断了。

二、利用单位圆确定变量的取值范围

再利用单位圆确定变量的取值范围的过程中，单位圆承担了鲜明的解题工具的作用，相对于传统的三角函数图像，其所能达成的效果更为直接，其不仅提高了解题效率，也间接提升了高中生解题的准确率。这类题目的阶梯关键在于要求学生必须掌握被平面直角坐标系所划分的单位圆的四个区域当中，不同象限的正负，以及曾见性的判断。以这样一道题目为例：

求函数f（x）=log（1-2cosx）（2sinx+1）的定义域

通过取交集的过程可以看出，利用单位圆来求解这样的题目，要比单纯观看函数三角函数波状图像更为鲜明，甚至通过画图或勾画区间的方式就能达到求解的目的。

［1］程光宇.利用单位圆解三角函数题［J］.中学数学杂志：高中版，2010（2）.

［2］俞少华.单位圆在三角函数中的应用［J］.数学学习与研究，2014（13）.

［3］王勇.利用单位圆比较三角函数值的大小［J］.新课程：教育学术，2012（4）.

●编辑 贺轶群