突破多元不等式问题

吴耀军

多元不等式问题中，由于未知的元不止一个，无法单纯地判断某一个的范围，常需要利用基本不等式来解决，多元问题一般属于较难题，如何有效突破这类问题，进而提高解题应变能力，以期养成良好思维品质，是我们“准高三”学生应该多加思考的，下面笔者通过实例讲起，试图探索该类问题的常见解法。

本题若采用消元策略，则函数式较复杂，运算过程较繁，不建议使用。

三、点滴思考

思考1：高中数学中，线性齐次约束条件下的线性目标最值或范围求解问题一般用线性规划方法解决即可，而对于非线性目标最值或范围求解问题，除了有特殊的几何背景外一般可以有以下步骤分析解答。

（a）观察所给条件，若条件中变量都为正实数，则优先考虑使用基本不等式工具解决。

（b）结合条件，分析所求目标结构特点，如变量出现在目标式分母位置，考虑分母相加是否与条件有等量或大小关系，具体可参考上例，利用整体思想、常数代换法、换元法等价转化解决。

（c）除上所述，若条件中变量可以相互转化表示，则亦可考虑消元法，减少目标式变量出现位置，甚至减少为只含单个变量，从而直接转化为函数，利用函数的方法加以解决，当然同时也要注意变量限制，即函数定义域。

高中数学中多元问题类型多样，内涵丰富，但熟能生巧，期待勤奋好学的你能利用复习的契机，勤归纳、多探究，铺好复习之路。