例析数学归纳法在高中数学中的应用

仲兴业

数学归纳法是证明一些与正整数有关的数学命题的一种方法，即先证明当n取第一个值n0时命题成立，然后假设当n=kk∈N+，k≥n0时命题成立的前提下，证明当n=k+1时命题也成立，那么就证明了这个命题成立.下文主要介绍数学归纳法在解决高中数学问题中的应用.

一、证明恒等式问题

例1 对于n∈N*，用数学归纳法证明：

1·n+2·（n-1）+3·（n-2）+…+（n-1）·2+n·1=16n（n+1）（n+2）.

证明 设f（n）=1·n+2·（n-1）+3·（n-2）+…+（n-1）·2+n·1.

（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；

（2）设当n=k（k∈N*）时等式成立，即1·k+2·（k-1）+3·（k-2）+…+（k-1）·2+k·1=

16k（k+1）（k+2），

则当n=k+1时，

f（k+1）=1·（k+1）+2[（k+1）-1]+3[（k+1）-2]+…+[（k+1）-2]·3+[（k+1）-1]·2+（k+1）·1

=f（k）+1+2+3+…+k+（k+1）

=16k（k+1）（k+2）+12（k+1）（k+1+1）

=16（k+1）（k+2）（k+3）.

∴由（1）（2）可知当n∈N*时等式都成立.

二、证明不等式问题

例2 已知n∈N*，

求证：（1+2+3+…+n）·（1+12+13+…+1n）≥n2.

证明 可结合不等关系：1+12+13+…+1n≥1+12（n>1）来证明，但注意要将奠基的起点后移，即在第一步证明中，不仅要证明n=1时原不等式成立，还要证明当n=2时，原不等式也成立.

证明：（1）当n=1时，原不等式显然成立，

当n=2时，不等式

左边=（1+2）×（1+12）=92=412，

右边=22=4，则左边>右边，

∴当n=2时，原不等式成立.

（2）假设当n=k（k∈N*，k>1）时，（1+2+3+…+k）·（1+12+13+…+1k）≥k2成立，则n=k+1时，

[1+2+3+…+k+（k+1）][1+12+13+…+1k+（1k+1）]

=（1+2+3+…+k）（1+12+13+…+1k）+1+2+3+…+kk+1+（1+12+13+…+1k）（k+1）+1≥k2+k（k+1）2（k+1）+（1+12）（k+1）+1

>k2+k2+32k+1=（k+1）2.

所以当n=k+1时原不等式也成立.

由（1）和（2），可知原不等式对任何n∈N*都成立.

三、证明整除性问题

例3 证明： an+1+a+12n-1能被a2+a+1整除n∈N*.

证明 （1）当n=1时，命题显然成立.

（2）假设n=k时，命题成立，即ak+1+a+12k-1k∈N*能被a2+a+1整除.则当n=k+1时，

ak+2+a+12k+1=ak+1a+a+12k-1a+12 =aak+1+a+12k-1+a+12k-1a+12-aa+12k-1

=aak+1+a+12k-1+a+12k-1a+12-a

=aak+1+a+12k-1+a+12k-1a2+a+1

由于ak+1+a+12k-1能被a2+a+1整除，

所以aak+1+a+12k-1+a+12k-1a2+a+1能被a2+a+1整除

即当n=k+1时，命题也成立.

根据（1）和（2），可知命题对任何n∈N*都成立.

四、证明几何问题

例4 证明：任何一个正方形都可以分割成5个以上的任意正方形.

证明 一个正方形分割成4个正方形是很容易的.由此猜想：若能把一个正方形分割成k个正