高中数学教学中数形结合思想的应用

吴天斌

世界著名数学家华罗庚在1964年说过一句话：“数形结合百般好，隔裂分家万事非.” 这句话表明“数与形是相互依存”的关系，同时也表明数形结合是数学教学的最本质特征之一.

一、“数”与“形”

“数”指数学中的数值、函数、等量关系，“形”指函数的图像、平面几何图形、立体几何图形等.数形结合是指根据数的基本结构特征，构造出与数相对应的函数图像或几何图形，同时利用图像或图形的性质来解决数的问题，或反过来将图像或图形问题转化为数的问题，利用数来解决形的问题.

二、数形结合的优点

数形结合思想，充分体现了数与形的的优点.数可以使解题步骤程序化，便于操作；几何图形或函数图像可以给人以直观的印象，便于理解.纵观历年高考数学试题，不难发现对于数形结合思想的考察屡见不鲜.数形结合是高中教学的重点内容，同时也是高考中的重点与难点.一线教师在教学的过程中往往会结合高考真题，来引导学生，让考生理解数形结合的思想.下面结合2016年高考中出现的与数形结合相关的试题，具体探讨数形结合思想的应用，希望对一线教师在引导学生理解数形结合思想课程中有一定的指导.

三、真题讲解

例1 （2016年山东理科，15）

已知函数f（x）=|x|，x2-2mx+4m， x≤m，x>m

其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是.

答案：（3，+∞）

解析 由题意画出函数图像为图1时才符合，

图1要满足存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根应有4m-m2

解得m>3，即（3，+∞）.

分析 题目中给出的是一个分段函数问题，单纯的依靠题目中的信息来求解问题，难度很大，要是能够画出函数的图像，结果就一目了然，所以说画出函数的图像是解决本题的关键.这道题的难度较小，可以作为在教师传授数形结合思想的伊始之用.

例2 （2016年北京理科，14）设函数f（x）=x3-3x，-2x， x≤ax>a.

①若a=0，则f（x）的最大值为；

②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是.

答案：2，（-∞，-1）.

图2

解析 如图2做出函数g（x）=x3-3x与直线y=-2x

的图象，它们的交点是A（-1，2），O（0，0），B（1，-2），由g′（x）=3x2-3，知x=1是函数g（x）的极大值点.

①当a=0时，f（x）=x3-3x，-2x，x≤0，x>0因此f（x）的

实际上就是解方程的根，将方程转化为二次函数即可求解；对于恒成立问题，需要考生结合基本不等式、以及函数的导数来进行判定.

综合分析以上几道2016年高考中出现的恒成立问题，我们不难发现，这类问题往往会包含参数和变量，会用到导数的知识，考查思维灵活性、创造性，思维性、技巧性较强，一般会将不同知识有机融合在一起.考生在解答这一类问题的时候，要善于将恒成立问题与函数联系起来.考试的题目虽然千变万化，但是考生在平时遇到这类问题的时候不要退缩，要敢于尝试、敢于挑战，老师也要引导学生去总结解题方法，引导学生去领悟考察形式.

（收稿日期：2016-08-10）

最大值是f（-1）=2；

②由图象知当a≥-1时，f（x）有最大值是f（-1）=2；只有当a<-1时，由a3-3a<-2a，因此f（x）无最大值，∴所求a的范围是（-∞，-1），故填：2，（-∞，-1）.

分析 这道题考察的是最值问题，应用数形结合的数学思想，画出函数图像，则图像的最高点纵坐标就是最大值，最低点纵坐标就是最小值.

例3 （2016年全国卷理科，4）

若平面区域x+y-3≥0，2x-y-3≤0，x-2y+3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）.

A.355B.2C.322

D.5

答案：B

图3

解析 如图3，画出不等式在

直角坐标系中表示的平面区域，由

x-2y+3=0x+y-3=0得A（1，2），由2x-y-3=0x+y-3=0得B（2，1）.

由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A、B时，两直线的距离最小，即

|AB|=（1-2）2+（2-1）2=2.

分析 这道题考察的就是利用函数的图像来求解两直线之间的距离，如果采用解析法来求解这道题目会花费大量的时间与精力.

例4 （2016年全国卷文科，20）

已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.图4

（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

解析 （Ⅰ）如图4，连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP//BQ，

得∠PFO+∠QFO+∠AFP+∠BFQ=180°，所以∠PFQ=90°；因为R是PQ的中点，所以RF=RP=RQ，所以△PAR△FAR，所以∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，又因为∠BQF+∠BFQ=180°-∠QBF=∠PAF=2∠PAR，所以∠FQB=∠PAR，所以∠PRA=∠PQF（同角的余角相等）

所以AR//FQ.

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），

F（12，0），准线为x=-12，

SΔPQF=12PQ=12y1-y2，

图5

设直线AB与x轴交点为N，

SΔABF=12FNy1-y2，

因为SΔPQF=2SΔABF，所以2FN=1，所以xN=1，即N（1，0）.

设AB中点为M（x，y），由y21=2x1y22=2x2得y21-y22=2（x1-x2），

又y1-y2x1-x2=yx-1，

所以yx-1=1y，即y2=x-1.

所以AB中点轨迹方程为y2=x-1.

分析 这道抛物线问题包含很多图像、直线、角之间的关系信息，而题目又没有给出相应的图形，如果教师在讲解习题的过程中，单纯用代数方法讲解题目，学生可能会一头雾水，所以教师在讲解习题的时候，可以结合抛物线的图像，在图像中标出函数、直线、角之间的关系，给学生以直观的感觉，学生就更容易掌握相关知识.一线教师在日常的教学过程中，要充分的结合习题来开展.而数形结合是一种非常抽象的思想方法，如果单纯的给大家讲思想，对学生来说很难入门，所以最好能够结合习题开展教学.综合以上几道2016年高考中出现的关于数形结合的试题，可以发现高考关于数形结合的考察是多方面的，从函数到集合均有涉及.以上几道高考真题可以作为教学的引例，让学生在解题的过程中，理解数形结合的概念，把握数形结合的思想.

（收稿日期：2016-08-20）