高考数学大揭密

乔军

三角函数是历年高考数学中的必考的知识，与三角函数有关的考点出现的概率基本上是百分之百，每年必考、每省市必考.本文通过综合分析近年出现在全国各个省市的高考数学试题中的和三角函数有关的题目，对高考中三角函数考题的考查方式及解析方法进行归纳总结，以供读者学习参考.

一、考纲要求

《2016年普通高等学校招生全国统一考试大纲（数学）》对于三角函数这一知识点要求如下：①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；②能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y =sinx，y=cosx，y=tanx的图像，了解三角函数的周期性；③理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间-π2，π2内的单调性；④理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x = 1，sinxcosx=tanx.；⑤了解函数y=Asin（ωx+φ）的物理意义；能画出y=Asin（ωx+φ）的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响；⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.

二、考察方式

总览每年高考数学对于三角函数的掌握程度的考察，题型灵活多变，在选择题、填空题、以及大题中都有出现.三角函数的考查包括基础理论、基本概念、基本公式变换及三角函数的特性等知识，该类题目综合性非常强、思维容量非常大.考查三角函数题目，不仅可以有效考察学生对所学的知识的掌握程度，还可以考察学生的逻辑思维能力.同时也考查学生的辩证思维能力.

三、例题分析

例1 （2012年全国理科，7）已知α为第二象限角，

sinα+cosα=33，则cos2α=（）.

A.-53B.-59C.59D.53

例题精讲 sinα+cosα=33，

两边平方可得1+

sin2α=13sin2α=-23.

∵α是第二象限角，因此sinα>0，cosα<0，所以

cosα-sinα=-（cosα-sinα）2

=-

1+23=-153

.

∴cos2α=cos2α-sin2α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）=-53.

标准答案：A

考点解析 本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用.首先利用平方法得到二倍角的正弦值，然后利用二倍角的余弦公式，将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题.

例2 （2012年全国理科，14）

当函数y=sinx-3cosx（0≤x<2π）取得最大值时，x=.

例题精讲 由

y=sinx-3cosx=2sin（x-π3）

由0≤x<2π-π3≤x-π3<5π3

可知-2≤2sin（x-π3）≤2

当且仅当x-π3=3π2即x=11π6时取得最小值，x-π3=π2时即x=5π6取得最大值.

标准答案：5π6.

考点解析 本试题主要考查了三角函数性质的运用，求解值域的问题.首先化为单一三角函数，然后利用定义域求解角的范围，从而结合三角函数图像得到最值点.

例3 （2012年全国理科，17）△ABC的内角A、B、C的对边分别为

a、b、c，已知cos（A-C）+cosB=1，a=2c，求C.

例题精讲 由A+B+C=πB=π-（A+C），

由正弦定理及a=2c可得sinA=2sinC

所以cos（A-C）+cosB=cos（A-C）+cos（π-（A+C））=cos（A-C）-cos（A+C）=cosAcosC+sinAsinC-cosAcosC+sinAsinC=2sinAsinC

故由cos（A-C）+cosB=1与sinA=2sinC可得2sinAsinC=14sin2C=1.

而C为三角形的内角且a=2c>c，故

0

考点解析 本试题主要考查解三角形的运用，给出两个公式，一个是边的关系，一个是角的关系，而求解的为角，因此要找到角的关系式为好.该试题从整体来看保持了往年的解题风格，依然是通过边角的转换，结合了三角形的内角和定理的知识，以及正弦定理和余弦定理，求解三角形中的角的问题.试题整体上比较稳定，思路也比较容易想，先将三角函数关系式化简后，得到A，C角关系，然后结合a=2c，得到两角的二元一次方程组，自然很容易得到角C的值.

例4 （2016年北京理科，15）

在△ABC中，a2+c2=b2+2ac.

（1）求∠B的大小；

（2）求2cosA+cosC的最大值.

例题精讲 （1）由余弦定理及题目得cosB=

a2+c2-b22ac=2ac2ac=22，又因为0

（2）由（1）知A+C=3π4，

2cosA+cosC=2cosA+cos（3π4-A）

=2cosA-22cosA+22sinA

=22cosA+22sinA=cos（A-π4），

因为0

考点解析 1.三角恒等变形，根据余弦定理公式求出cosB的值，进而根据取值范围求B的大小；2.余弦定理，由辅助角公式对2cosA+cosC进行化简变形，进而根据A的取值范围求出其最大值.正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量（如面积、外接圆、内切圆半径和面积等）提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据.其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法.注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想.

例5 （2016年北京理科，7）将函数y=sin（2x-

π3）图象上的点P（π4，t）向左平移s（s>0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）.

A.t=12，s的最小值为π6

B.t=32，s的最小值为π6

C.t=12，s的最小值为π3

D.t=32，s的最小值为π3

例题精讲 由题意得，t=sin（2×

π4-π3）=12，故此时P′所对应的点为（π12，

12），此时向左平移

π4-π12=π6.

答案：A

考点解析

三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩.特别注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出.翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.

例6 （2016年上海理科，7）

方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为.

例题精讲

由cos2x=1-2sin2x，3sinx=2-2sin2x，即2sin2x+3sinx-2=0，

所以（2sinx-1）（sinx+2）=0，

所以sinx=12，

所以x=π6或5π6

答案：π6或5π6

考点解析 考查二倍角的计算公式，将三角函数与二次函数结合.

例7 （2016年山东理科，7）

函数f（x）=（3sinx+cosx）（3cosx-sinx）的最小正周期是（）.

A.π2B.πC.3π2D.2π

例题精讲 化简式子得f（x）=2sin（x+π6）×2cos（x+π6）=2sin（2x+π3），故最小正周期T=2π2=π，故选B.

考点解析 这道题目主要考察求值问题，三角函数的周期性计算.

例8 （2016年山东理科，16）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=tanAcosB+tanBcosA.

（Ⅰ）证明：a+b=2c；

（Ⅱ）求cosC的最小值.

例题精讲

（Ⅰ）由题意知2（sinAcosA+sinBcosB）=sinAcosAcosB+sinBcosAcosB，

化简得2（sinAcosB+sinBcosA）=sinA+sinB，

即2sin（A+B）=sinA+sinB

又因为A+B+C=π，所以sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，

进一步得sinA+sinB=2sinC，由正弦定理得a+b=2c.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知c=a+b2，所以

cosC=a2+b2-c22ab=a2+b2-（a+b2）22ab=38（ba+ab）-14≥12，

当且仅当a=b时，等号成立.

故cosC的最小值为12.

考点解析 （Ⅰ）根据两角和正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；

（Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC，由基本不等式求出cosC的最小值.

例9 （2016年全国理科，12）

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，φ

SymbolcB@ π2），x=-π4为f（x）的零点，x=π4为y=f（x）图像的对称轴，且f（x）在（π18，5π36）单调，则ω的最大值为（）.

A.11B.9C.7D.5

例题精讲

因为x=-π4为f（x）的零点，x=π4为y=f（x）图像的对称轴，所以π4-（-π4）=T4+k2T，即

π2=2k+14T=2k+14·2πω

，所以ω=2k+1（k∈N），又因为f（x）在

（π18，5π36）单调，所以

5π36-π18=π12≤T2=2π2ω，即ω≤12，当ω=11时，由-114π+φ=kπ（k∈Z），|φ|≤π2得φ=-π4，此时f（x）在（π18，5π36）不单调，不满足题意，当ω=9时，φ=π4，满足题意，所以ω

的最大值为9.故选B.

考点解析 三角函数的性质，包括周期性、单调性以及对称性，同时将三角函数和最值问题结合在一起考查，考查方式灵活新颖.

例10 （2016年全国理科，17）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c.

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若c=7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长.

例题精讲

（Ⅰ）由已知及正弦定理得，

2cosCsinΑcosΒ+sinΒcosΑ=sinC，

2cosCsinΑ+Β=sinC，

故2sinCcosC=sinC，

可得cosC=12，所以C=π3.

（Ⅱ）由已知12absinC=332，又C=π3，所以ab=6，

由余弦定理可得，

a2+b2-2abcosC=7，

故a2+b2=13，从而（a+b）2=25，

故△ABC周长为5+7.

考点解析 （Ⅰ）考查通过余弦定理进行边和角的关系互换，进一步化简即可求出C角的大小.

（Ⅱ）根据题目已知条件12absinC=332

以及（Ⅰ）中C=π3可得ab=6，再通过余弦定理可得（a+b）2=25，从而可得△ABC的周长为5+7.

例11 （2016年全国理科，5）若tanα=34，则cos2α+2sin2α=（）.

A.6425B.4825C.1D.1625

例题精讲 由tanα=34，计算可得

sinα=35，cosα=45或sinα=-35，cosα=-45，故cos2α+2sin2α=1625+4×1225=6425，故选A.

考点解析 同角三角函数间的基本关系计算，即sin2x+cos2x=1，同时考查二倍角公式计算

例12 （2016年全国理科，14）

函数y=sinx-3cosx

的图像可由函数

y=sinx+3cosx的图像至少向右平移个单位长度得到.

例题精讲

因为y=sinx+3cosx

=2sin（x+π3），

y=sinx-3cosx=2sin（x-π3）=2sin[（x+π3）-2π3]，故函数y=sinx-3cosx

的图像可由函数

y=sinx+3cosx的图像至少向右平移2π3

个单位长度得到.

答案：2π3

考点解析 考查三角函数图象沿水平方向的平移变换，以及两角和与差的正弦公式.

例13 （2016年江苏（Ⅰ），14）在锐角三角形ABC中，sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 .

例题精讲 由三角函数基本公式

sinA=sinπ-A=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC和sinA=2sinBsinC，

可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC（*），

又因为△ABC为锐角三角形，则cosB>0，cosC>0，

在（*）式两侧同时除以cosBcosC可以得到tanB+tanC=2tanBtanC，

又因为tanA=-tanπ-A=-tanB+C=-tanB+tanC1-tanBtanC（#），

则tanAtanBtanC=-tanB+tanC1-tanBtanC×tanBtanC，

由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=-2tanBtanC21-tanBtanC，

再令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA>0，tanB>0，tanC>0，

由（#）得1-tanBtanC<0，解得t>1

tanAtanBtanC=-2t21-t=-21t2-1t，1t2-1t=1t-122-14，

由t>1则0>1t2-1t≥-14，因此tanAtanBtanC最小值为8，

当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，

解得tanB=2+2，tanC=2-2，tanA=4（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角.

答案：8

考点解析 该题目可以称为高考中填空题的压轴题，主要考察三角函数的基本公式计算，考查正弦、余弦、正切函数之间的公式变换，解答该题目需要考生熟练掌握三角函数的基本公式，要求考生有高超的计算能力.

例14 （2016年江苏（Ⅰ），15）

在△ABC中，AC=6，cosB=45，C=π4.（1）求AB的长；

（2）求cosA-π6的值.

例题精讲

（1）因为cosB=45，又因为B为三角形的内角，故sinB=35，因为

ABsinC=ACsinB，所以

AB22=635，算出AB=52.

（2）因为cosA=-cosC+B=sinBsinC-cosBcosC，

所以cosA=-210，又因为A为三角形的内角

，所以sinA=7210.

所以cos（A-π6）=32cosA+12sinA=72-620.

考点解析 考察三角形的内角关系，三个角之间的相互转换计算.但是计算的数据比较复杂，要求考生要有较强的计算能力.

例15 （2016年北京文科，13）在△ABC中，∠A=2π3，a=3c，则

bc=.

例题精讲

由正弦定理可知

sinAsinC=ac=3，所以sinC=sin2π33=12，所以C=π6，所以B=π-2π3-π6=π6，所以b=c，即bc=1.

考点解析 考查三角形角和边的基本关系，以及不同角之间的关系.

例16 （2016年北京文科，16）

已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期为π.

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.

例题精讲

（Ⅰ）因为f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+π4）

所以f（x）的最小正周期T=2π2ω=πω.由题意可知πω=π，故ω=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=2sin（2x+π4）

函数y=sinx的单调递增区间为[2kπ-π2，2kπ+π2]（k∈Z）.

由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2，

得kπ-3π8≤x≤kπ+π8.

所以f（x）的单调递增区间为[kπ-3π8，kπ+π8]（k∈Z）.

考点解析 考查三角函数的周期性、单调性、二倍角公式以及两角之间正弦余弦的转换.这道题可以说综合考查了三角函数的所有知识点，题目难度不大但是需要考生熟练掌握相关知识点.

例17 （2016年全国文科，12）

若函数f（x）=x-13sin2x+asinx在（-∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）.

A.[-1，1] B.[-1，13]

C.[-13，13]D.[-1，-13]

例题精讲

由f ′（x）=1-23cos2x+acosx≥0对x∈R恒成立，

可知1-23（2cos2x-1）+acosx≥0；即

-43t2+at+53≥0，对t∈[-1，1]恒成立，设函数f（t）=-43t2+at+53，则开口向下的二次函数的最小值可能为端点值，故只需要保证f（-1）=13-a≥0f（1）=13+a≥0，解方程组得到

-13≤a≤13，故答案为C.

考点解析 这道题目不仅考查了三角函数知识，还考查了二次函数以及导数问题.将三角函数与二次函数、导数结合起来，难度增加，但是只要考生熟练掌握考点，这道题目计算起来还是可以非常快.

例18 （2016年全国文科，14）

已知θ是第四象限角，且sin（θ+π4）=35，则tan（θ-π4）= .

例题精讲

由sin（θ+π4）=35，且角θ在第四象限可得cos（θ+π4）=45，所以

sinθcosπ4+cosθsinπ4=35，

cosθcosπ4-sinθsinπ4=45，解方程组得

sinθ=1-52，

cosθ=752，

所以tanθ=-17，

tan（θ-π4）=tanθ-tanπ41+tanθtanπ4=-17-11-17×1=-43.

考点解析 考查坐标系中不同象限的角度的三角函数值，不同角度的计算.图1

例19 （2016年新课标文科，3）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图像如图1所示，则（）.

A.y=2sin（2x-π6）B.y=2sin（2x-π3）

C.y=2sin（2x+π6）D.y=2sin（2x+π3）

例题精讲

由图1知，A=2，周期T=π，所以ω=2ππ=2，故y=2sin（2x+φ），又因为图像过（π3，2），所以sin（2π3+φ）=1，所以2π3+φ=2kπ+π2（k∈Z），当k=0时，φ=-π6，所以y=2sin（2x-π6）.

故选A.

四、复习策略

在平时学习三角函数与考前复习的过程中，对于和三角函数有关的知识点的学习都要接触到，要加强练习，勤思考，勤整理.

（1）熟练掌握三角函数的基本性质，达到举一反三、融会贯通的效果，关键是要能够理解三角函数的基本性质，切忌死记硬背；

（2）加强题目练习，在做题的过程中寻找规律，同时习题练习要求精，同时要提高计算能力；

（3）尝试将三角函数与二次函数、几何、导数等知识点相联系，结合分析，锻炼自己的灵活度.

（收稿日期：2016-08-22）