数形结合

李进卫

【摘要】生活中一些事物的数量，有时不用精确的数表示，而只用一个与它比较接近的数来表示，这样的数是近似数，计量的精确度系指测得值与真实值之间的接近程度。小学五年级学生在学习“求小数的近似数”时有两个难点：一是如何让学生理解保留到整数，要看十分位，保留一位小数，要看百分位，……；二是将一个小数保留两位小数得到了1.50后，为什么末尾的0不能去掉，1.50比1.5更精确。

【关键词】近似数 数轴 精确度 数形结合

我们知道，“生活中一些事物的数量，有时不用精确的数表示，而只用一个与它比较接近的数来表示，这样的数是近似数”。小学生在学习“求小数的近似数”时会遇到两个难点：一是如何让学生理解保留到整数，要看十分位，并和5比，保留一位小数，要看百分位，并和5比……二是将一个小数保留两位小数得到了1.50后，为什么1.50比1.5更精确？学生出现这些认知难点原因是什么，教学中如何突破难点呢？

一、产生认知难点的原因分析

首先是新旧知识联系松散。小学阶段关于近似数知识的安排有的是显性的，以例题形式出现；有的是隐性的，以习题形式出现。学生学习经历了几个阶段：先是在低年级初步感知近似数的相关知识，如32更接近30还是40？在后面学习除数是两位数的除法时，学生会将除数看作一个整十数，实际上就是使用了近似数的知识。把一个整数用“万”或“亿”作单位写出它的近似数，最后学习求小数的近似数。小数的近似数知识虽和整数的近似数知识方法差不多，可是在学习求小数的近似数之前，学生已经很长时间没有接触近似数的相关知识，已有的知识差不多遗忘，所以不能指望近似数知识的原理在新的情境中自然迁移。

其次，没有深刻理解整数的近似数知识。学生学习整数的近似数知识虽经历了探索的过程，但对学生进行学情调查后发现，学生解答相关习题的技能还在，对于四舍五入到万位，要和千位上的“5”比较的道理说不清。显然关于近似数知识中的道理理解不深刻，原有的记忆无法提取和应用。

二、教学中如何突破难点

《义务教育数学课程标准》（2011年版）明确提出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”徐文彬指出：“其实，这里有三层含义。首先是以形助数，形象、直观地实现由数至形的转化与表达；其次是在以形助数的基础上，促使以形解数的完成；第三是在以形助数和以形解数的基础上，帮助学生形成数形结合之数学直观能力。即把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，也就是数形结合思想。”根据学生认知特点，采用数形结合，是理解小数近似数知识的最佳路径。

1.借助数轴，理解和“5”比的道理

（1）保留到整数，为什么与十分位的5比

苏教版教材中原来的例题是：“地球和太阳之间的平均距离大约是1.496亿千米。精确到十分位是多少亿千米？精确到百分位是多少亿千米？”例题直接从保留一位小数入手，缺少了保留到整数经验，与学生原有掌握的知识跨度大，造成学生理解困难。实际教学可以增加一个问题：“精确到个位是多少亿千米？”从保留到整数入手，突破难点。

根据原有的知识，学生知道1.496比1大，比2小。保留到整数只可能等于1或2。教师画出数轴，将1和2之间的线段平均分成10份。

提问学生，要看1.496等于几应该和谁比呢？学生通过看图知道应该和中间数1.5比。1.496在1.5的左边，更接近于1，因此1.496≈1。

教学到这里，学生还没有理解保留到整数要和十分位上的5比较的道理。这时通过板书，将1.496和1.5比较。提问学生如果不画图将1.496保留到整数，应该怎样想呢？学生知道应该将1.496和1.5比。两数比较时，学生发现1.496和1.5的整数部分相同，十分位后面的数对于最后的结果没有影响，因此只要看十分位就可以了，即只要和十分位的5比就可以了。如果大于或等于5就约等于2，如果小于5就约等于1。

在这里适时出示一组习题：将1.89、2.146、8.575、6.4287保留到整数应该和谁比？学生知道这几个数分别和1.5、2.5、8.5、6.5相比。通过板书进行比较后发现，每一组数中的整数部分都是相同的，十分位都是5，十分位后面的数对于最后的结果没有影响，因此只要把十分位上的数与5比较就可以了。通过数形结合，学生明白了将一个小数保留到整数只要和十分位上的5比，如果十分位上的数比5大就向个位进1，如果比5小，就全部舍去。

（2）保留到十分位，自主探索求近似数的方法

学生理解了将一个小数保留到整数只要看十分位，并且和5比的道理后，接下来教学将一个小数保留一位小数时，可以根据几个问题采取自主探索的形式。问题是：将1.496保留一位小数可能得到哪些结果？1.496和哪个数比较呢？将1.496保留一位小数的方法是什么？

学生通过自主探索，知道将1.496保留一位小数只可能得到1.4和1.5这两种结果。应该和1.45比较。教师根据学生探索出的结果，运用数轴让学生直观观察。

如上图，教师将第一幅图中1.4和1.5之间的一段放大，将这一段也平均分成10份，得到第二幅图。学生通过看图清楚地知道，1.496大于1.4小于1.5，因此保留一位小数可能是1.4或者1.5。从图上看，1.4和1.5之间的中间数是1.45。1.496比1.45大的多，所以1.496≈1.5。

教师同样出示题目：将7.54、0.365、0.295保留一位小数，分别和谁比？学生知道分别和7.55、0.35、0.25比。通过比较发现，每一组数的整数部分、十分位都相同，只要看百分位并和5比即可。百分位后面的部分对最后的结果没有影响，忽略不计。 通过数形结合，学生明白了将一个小数保留一位小数只要和百分位上的5比，比5大就向十分位进1，比5小就全部舍去。

接下来教学将一个小数保留两位小数时，学生可以尝试练习，练习后教师同样运用数轴讲清道理。

如上图，教师将第二幅图中1.49和1.50之间的一段放大，将这一段也平均分成10份，1.496比1.49大，比1.50小。将1.496保留两位小数结果只可能得到1.49或1.50，1.49和1.50之间的中间数是1.495。1.496比1.495大，所以1.496≈1.50。

2.借助数轴，深刻理解精确度

将1.496保留两位小数时，学生会出现1.50和1.5两种结果。怎样让学生理解1.50比1.5更精确呢？

如图所示，将1.496保留一位小数，我们要看1.4到1.5这之间的数；将1.496保留两位小数，观察的是1.49到1.50之间的数。反过来想，如果一个小数保留一位小数后是1.5，那么这个小数可能是1.45和1.5之间的任何一个数；保留两位小数后是1.50，那么这个小数可能是1.495和1.50之间的任何一个数。这两个区间中的数分别与1.5及1.50的差是不一样的，从图上可以清晰地看出1.495和1.50之间的数与1.50的差更小，即1.50更精确。

“数量关系获得几何解释，可以使问题变得直观形象，使人易于洞察问题的本质；几何问题得到代数表示，可以使抽象的推理论证转化为程序化操作的代数运算，实现化难为易的目的。代数给人以精确，几何给人以直观，当这两门学科结合成伴侣时，它们就相互吸取新鲜活力，以最快的速度走向完善。”小学数学教学中应该将一些复杂的问题直观化，使问题变得直观、形象、易于观察。“数与形之间的关系，貌似无关，如果能从中发现它们之间共同的关键特征，就能获得一种对知识的全新理解。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]徐文彬.数学结合思想的历史发展、思维意蕴与教学价值[J].小学数学教育，2015（5）.

[3]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2002.