收纳错误 变废为宝

刘立军

一元二次方程是初中数学的重点内容，是中考中代数部分考查的热点.但在解一元二次方程有关问题时，许多同学常常由于忽视一些概念、原理以及题目自身的隐含条件，从而导致错解.现就几种常见的错误进行分析，希望能对同学们的学习有所帮助.

一、 对“一元二次方程概念”理解模糊

例1 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）.

A.x2+[1x2]=0 B.ax2+bx+c=0

C.（x-1）（x+2）=1 D.3x2-2xy=0

【错解】B.

【正解】选项A中含分式，选项D中含两个未知数，故都不是一元二次方程，选项B中二次项的系数a可能为0，则不一定是一元二次方程.故选C.

【点评】一元二次方程有三个特点：

（1）只含有一个未知数；

（2）未知数的最高次数是2；

（3）是整式方程.

二、用直接开平方法漏掉一个根

例2 解方程（x-1）2=4.

【错解】两边开平方，得x-1=2，∴x=3.

【正解】x1=3，x2=-1.

【点评】对x2=a（a>0）直接开平方，x有两个平方根x1=[a]，x2=[-a]，本题中直接开平方漏了“负的”平方根，相应的也漏掉方程的一个根.

三、 用“配方法”时出错

例3 解方程2x2-8x-5=0.

【错解】移项得2x2-8x=5，配方得2x2-8x+42=5+42，即（2x-4）2=21，所以2x-4=[±21]，原方程的解为

x1=[4+212]，x2=[4-212].

【正解】x1=[4+262]，x2=[4-262].

【点评】在配方时，当二次项系数为1时，方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”，若二次项系数不为1，先“化1”.

四、用“公式法”时出错

例4 解方程x2=3x+4.

【错解】∵a=1，b=3，c=4，

∴b2-4ac=9-16=-7<0，

∴方程无实数解.

【正解】x1=4，x2=-1.

【点评】在用公式法解一元二次方程时，应先将方程化为一般式ax2+bx+c=0（a≠0），然后准确地找出a，b，c的值，利用公式

x=[-b±b2-4ac2a]求解.

五、忽视等式的基本性质

例5 一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（ ）.

A.-1 B.0 C.1和2 D.-1和2

【错解】方程两边同时除以x-2，得x=-1.

故选A.

【正解】x（x-2）=2-x，

移项得：x（x-2）+（x-2）=0，

因式分解：（x-2）（x+1）=0，

x-2=0或x+1=0，x1=2，x2=-1.

故选D.

【点评】等式两边同时乘或除以同一个不为零的整式，等式仍然成立，错解中没有考虑到x-2等于0的情况，容易漏根.

六、忽略检验根的存在性

例6 关于x的方程x2-kx+2k=0的两根的平方和是5，则k的值是（ ）.

A.-1或5 B.1 C.5 D.-1

【错解】A.

设方程的两根为x1，x2，

则x1+x2=k，x1x2=2k.

∵x12+x22=5，

∴（x1+x2）2-2x1x2=5，

∴k2-4k-5=0，∴k1=5，k2=-1.

【正解】D.

当k=5时，原方程变为x2-5x+10=0，b2-4ac=-15<0，

当k=-1时，原方程变为x2+x-2=0，b2-4ac=9>0，∴k=-1.

【点评】很多同学认为解出答案即大功告成，忽视了在实数范围内利用根与系数的关系时必须要以根的存在作为前提条件，所以求得的结果还要代入原方程检验根的存在性.

七、应用一元二次方程根的判别式出错

例7 关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（ ）.

A.m≤3 B.m<3

C.m<3且m≠2 D.m≤3且m≠2

【错解】A、B、C.

【正解】因为关于x的一元二次方程（m-2）·x2+2x+1=0有实数根，所以m-2≠0且b2-4ac≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，

∴m的取值范围是m≤3且m≠2.故选D.

【点评】①方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，隐含着两个条件：一是a≠0，二是判别式b2-4ac>0，解题时常容易忽视a≠0而出现错误.

②一元二次方程“有实数根”，包括有相等的实数根和不相等的实数根这两种情况，此时b2-4ac≥0，不能漏掉等号；若未指明方程是一元二次方程，“有实数根”不能与“有两个实数根”等同，应分a≠0和a=0两种情况讨论.

（作者单位：江苏省连云港市海州实验中学）