直线与圆锥曲线的综合应用□于泳

圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合，直线与圆锥曲线的题型涉及函数与方程、数形结合、化归等数学思想方法.将几何问题转化为易于计算的代数问题，这为研究问题提供了许多便利；但也不可避免地造成许多计算的繁琐，同时对运算能力提出较高要求.圆锥曲线作为高考必考内容常被同学们看成一道分水岭，跨过去往往数学就能取得高分，如何在有限的答题时间内取得理想的答题效果，除了练就扎实的计算、化简等基本功之外还要了解减少运算量的一些常用策略，扎实备考.现举例说明.

一、回归定义，善用几何

解析几何中，我们主要运用代数的方法研究几何问题，但很多时候，若能充分挖掘利用图形的几何特征，则会将复杂问题简单化.

例1已知椭圆x22+y2=1的右焦点为F，右准线为l，过点F的直线m与椭圆交于A，B两点.若AF=3FB，求直线m的方程.

法一：设A（x1，y1）、B（x2，y2），F（1，0），AF=（1-x1，-y1），FB=（x2-1，y2），由AF=3FB

得1-x1=3（x2-1）

-y1=3y2，即x1=-3x2+4

y1=-3y2，

又因为x212+y21=1，x222+y22=1，

所以（-3x2+4）22+（-3y2）2=1，（1）

9x222+9y22=9，（2），

由（2）-（1）得24x2-162=8，

解得x2=43，进一步解得y2=13或y2=-13，所以直线m的斜率为k=1或k=-1，所以直线m的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.

评注：该解法是从代数角度——设未知数列方程组的办法求出直线上点的坐标，从而求出直线方程的斜率，重在计算.实际上，AB是过焦点的直线，可以从几何角度求出直线的倾斜角，请看法二.

法二：如图，分别自A、B作右准线的垂线，垂足分别为C、D，过B作AD的垂线，垂足为E，设AF=3x，BF=x，由椭圆的第二定义知AFAD=BFBC=e，AD=3xe，BC=xe，AE=2xe，e=22，在Rt△AEB中，AB=4x，cos∠BAE=AEAB=2xe4x=12e=22，∠BAE=45°，所以直线m的斜率为1，由椭圆的对称性可知m的斜率也可为-1，所以直线m的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.

评注：该法重在挖掘图中的几何性质，利用圆锥曲线的统一定义，推导得到直线的倾斜角，相对法一，计算量减少.平常涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，涉及焦点、准线、离心率问题常可以结合定义解题.解题要能够优先回归定义，善用几何图形的性质以简化解题过程.

二、设而不求，整体代入

用解析法处理直线与圆锥曲线问题时，设点坐标最为常见，如果点坐标好求可直接求出，若不好求或者没必要求，我们可根据点在曲线上，通过整体思想处理坐标关系，实现设而不求，整体代入.

例2椭圆x216+y24=1上有两点P、Q，O是原点，若OP、OQ斜率之积为-14，求证：OP2+OQ2为定值.

解析：设P、Q两点的坐标分别为P（x1，y1）、Q（x2，y2），P、Q分别在椭圆上，且OP、OQ斜率之积为-14，所以x2116+y214=1

x2216+y224=1

y1x1y2x2=-144y21=16-x21（1）

4y22=16-x22（2）

4y1y2=-x1x2（3）

由（1）×（2）得：

16y21y22=162-16（x21+x22）+x21x22（4）

将（3）代入（4）得x21+x22=16，

（1）+（2）得y21+y22=8-14（x21+x22）=4，

所以OP2+OQ2=x21+y21+x22+y22=20为定值.

评注：该题设出弦的两个端点坐标，后代入椭圆方程，再作差，这样的方法往往称之为点差法，在斜率和弦的中点坐标关系上经常使用.

例3已知椭圆x216+y29=1，求以点P（2，1）为中点的弦所在的直线方程.

解析：对于椭圆x216+y29=1，设弦的两个端点为M（x1，y1）、N（x2，y2），则x2116+y219=1（1）

x2216+y229=1（2）

由（1）-（2）得x21-x2216+y21-y229=0，

∴y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2=-916（3）

∵kMN=y1-y2x1-x2，y1+y2x1+x2=2y中2x中，将中点坐标代入（3）得kMN=-98，所以直线的方程为9x+8y-26=0，经检验符合题意.

评注：在处理直线与圆锥曲线相交弦长问题，中点弦问题，对称问题时，借助设而不求，整体代入，整体消元，降低了运算量，优化解题过程.

三、借助向量，减少计算

平面向量由于具有代数和几何双重特征，因而为解析几何增添了鲜活的色彩，可以借助向量工具实现代数问题与几何问题的相互转化.

例4已知椭圆x23+y22=1，上顶点为A，左焦点为F1，直线AF1交椭圆于B，设P（m，n）（m，n为常数）在直线BO上且在椭圆外，过点P的动直线与椭圆交于不同点M、N，在线段MN上取点Q，满足MPPN=MQQN，证明点Q恒在一定直线上.

解析：设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x，y），则2x21+3y21=6，2x22+3y22=6，∵MPPN=MQQN，设MPPN=MQQN=λ，则MP=-λPN，MQ=λQN，可求得m=x1-λx21-λ，x=x1+λx21+λ，n=y1-λy21-λ，y=y1+λy21+λ，从而mx=x21-λ2x221-λ2，ny=y21-λ2y221-λ2.

∵2mx+3ny=2x21-2λ2x221-λ2+3y21-3λ2y221-λ2=2x21+3y21-λ2（2x22+3y22）1-λ2=6，

所以定直线为2mx+3ny-6=0.

评注：本题将不大好用的几何条件MPPN=MQQN改换成向量形式，从而顺利实现代数化，向量的工具性显而易见.

四、引入参数，实现减元

适当引入参数，对于深入研究直线与圆锥曲线的关系非常重要，选择合适的参数，如点坐标、角、直线的斜率、比值等，再配以相应的数式变形，往往可以简化计算，事半功倍.

例5在椭圆x225+y216=1上求一点，使它到直线l：4x+5y-40=0的距离最短，并求此距离.

解析：设椭圆上的点为M（5cosα，4sinα），则点M到直线l的距离为

d=|20cosα+20sinα-40|41=|202sin（α+π4）-40|41

所以当α=π4时，

dmin=20（2-2）41=4041-208241，

此时点M（522，22）.

评注：点在椭圆上的条件使用的代数形式一般两种：一是两元式（x，y），二是一元式（参数形式）.本题就是利用椭圆的参数方程实现消元，同时将最值问题转化为三角函数问题，从而顺利解题.

五、逆向代入，明确目标

圆锥曲线上的点坐标常见用法是直接代入方程，或解出坐标或设而不求整体代入，但是在具体问题中如果能够从别的途径或者用别的量较容易表示出圆锥曲线上的点的坐标，再代入方程，不妨称之为逆向代入，往往具有目标明确，直奔主题的效果.

例6已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点为F1，F2，点P为椭圆上的动点，弦PA，PB分别过点F1，F2，PF1=λ1F1A，PF2=λ2F2B，求证：λ1+λ2为定值.

解析：设P（x0y0），A（x1，y1），B（x2，y2），F1（-c，0），F2（c，0），由PF1=λ1F1A得

（-c-x0，-y0）=λ1（x1+c，y1），

则-c-x0=λ1（x1+c）

-y0=λ1y1，

解得x1=-x0+λ1c+cλ1

y1=-y0λ1

代入椭圆方程得

b2（λ1c+x0+c）2+a2y20=a2b2λ21，

又P（x0，y0）在椭圆上，即有a2y20=a2b2-b2x20，代入上式并化简得

b2λ21-2（cx0+c2）λ1-a2-c2-2cx0=0解得λ1=a2+c2+2cx0b2或λ1=-1（舍），

同理可得λ2=a2+c2-2cx0b2，

∴λ1+λ2=a2+c2+2cx0b2+a2+c2-2cx0b2=2a2+2c2b2=4a2-2b2b2为定值.

评注：解题初始从向量条件解出A点坐标，再代入椭圆方程的作用在于把“A点在椭圆上”这个已知条件转化为λ1的条件，直接暴露目标的特征，为证明结论做好铺垫.这本身就是转化思想在指引解题.

在解决直线与圆锥曲线相关问题时，既要关注思路方法的探寻，也要着意运算的锤炼，解题过程要有求简意识，在解题过程中不断积累经验，总结感悟，实际上，相关策略并不是孤立的，往往需要综合考虑，穿插使用，相互补充，才能达到变难为易，化繁为简的效果.

（作者：于泳，江苏省赣榆高级中学）