《解析几何》重点知识梳理

顾桂龙

一、直线与方程的应用

重要知识

1.直线方程的五种形式

（1）点斜式：y-y1=k（x-x1）.

（2）斜截式：y=kx+b.

（3）两点式：y-y1y2-y1=x-x1x2-x1（x1≠x2，y1≠y2）.

（4）截距式：xa+yb=1（a≠0，b≠0）.

（5）一般式：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）.

2.三种距离公式

（1）A（x1，y1），B（x2，y2）两点间的距离：

AB=（x2-x1）2+（y2-y1）2.

（2）点到直线的距离：d=|Ax0+By0+C|A2+B2（其中点P（x0，y0），直线方程：Ax+By+C=0）.

（3）两平行线间的距离：d=|C2-C1|A2+B2（其中两平行线方程分别为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0）.

3.当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时

（1）两直线平行l1∥l2k1=k2.

（2）两直线垂直l1⊥l2k1·k2=-1.

题型分析

例1已知直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0互相平行，且l1，l2之间的距离为5，求直线l1的方程.

解析：先根据两直线平行确定参数m的值，再根据两直线的距离确定参数n的值即可.

∵l1∥l2，∴m2=8m≠n-1.

∴m=4

n≠-2或m=-4

n≠2.

（1）当m=4时，直线l1的方程为4x+8y+n=0，把l2的方程写成4x+8y-2=0.

∴|n+2|16+64=5，解得n=-22或n=18.

所以，所求直线的方程为2x+4y-11=0或2x+4y+9=0.

（2）当m=-4时，直线l1的方程为4x-8y-n=0，l2的方程为2x-4y-1=0.

∴|-n+2|16+64=5，解得n=-18或n=22.

所以，所求直线的方程为2x-4y+9=0或2x-4y-11=0.

点评：（1）求点到直线距离时，直线方程一定化成Ax+By+C=0的形式.

（2）求两平行线间的距离时，一定化成l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的形式.

二、圆的方程

重要知识

1.圆的标准方程

当圆心为（a，b），半径为r时，其标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2+y2=r2.

2.圆的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中D2+E2-4F>0，表示以（-D2，-E2）为圆心，D2+E2-4F2为半径的圆.

题型分析

例2（1）若圆C经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切，则圆C的方程为.

（2）已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x=-2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为23，且与直线l2：2x-5y-4=0相切，则圆M的方程为.

解析：（1）由题意知圆C的半径为2，且圆心坐标可设为（2，b），因此有（2-1）2+（b-0）2=2，解得b=±3，

从而圆C的方程为（x-2）2+（y±3）2=4.

（2）由已知，可设圆M的圆心坐标为（a，0），a>-2，半径为r，得（a+2）2+（3）2=r2

|2a-4|4+5=r，

解得满足条件的一组解为a=-1

r=2，所以圆M的方程为（x+1）2+y2=4.

点评：解决此类问题要根据所给条件选择适当的方程形式.解决与圆有关的问题一般有两种方法：（1）几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；（2）代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.

三、直线与圆的位置关系

重要知识

1.解答直线与圆的位置关系问题的两种方法

（1）几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断.

若d>r，则直线与圆相离；若d=r，则直线与圆相切；若d

（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数（也就是方程组解的个数）来判断.

如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；

如果Δ=0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；

如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交.

2.有关弦长问题的两种方法

（1）几何法：直线被圆截得的半弦长l2，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2=（l2）2+d2；

（2）代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|=1+k2（x1+x2）2-4x1x2=1+1k2（y1+y2）2-4y1y2.

3.过一点求圆的切线的方法

（1）过圆上一点（x0，y0）的圆的切线方程的求法

先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为-1k，由点斜式方程可求切线方程.若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x=x0.

（2）过圆外一点（x0，y0）的圆的切线方程的求法

当斜率存在时，设为k，切线方程为y-y0=k（x-x0），即kx-y+y0-kx0=0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程.当斜率不存在时要加以验证.

题型分析

例3已知圆C：x2+y2-8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0.

（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；

（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB=22时，求直线l的方程.

解析：将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方，得标准方程为x2+（y-4）2=4，则此圆的圆心为（0，4），半径为2.

（1）可以将直线与圆的方程联立，消元后得到一个一元二次方程，根据判别式得到一个关于参数a的等式，从而求解，或者根据圆心到直线的距离等于圆的半径得到一个等式求解.

若直线l与圆C相切，则有|4+2a|a2+1=2.解得a=-34.

（2）利用圆心到直线的距离和弦长一半以及半径三者的关系建立等式求解.

过圆心C作CD⊥AB于点D，

则根据题意和圆的性质，得

CD=|4+2a|a2+1，

CD2+DA2=AC2=22，

DA=12AB=2.解得a=-7或-1.

∴直线l的方程是7x-y+14=0或x-y+2=0.

点评：（1）判断直线与圆的位置关系有两种方法：几何法和代数法（根的判别式）.（2）关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、弦心距、弦长的一半所组成的直角三角形求解，也可用代数法的弦长公式求解.

四、圆与圆的位置关系

重要知识

1.圆与圆的位置关系

圆与圆有五种位置关系，分别是外离、外切、相交、内切、内含.

外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切.

两圆相离——没有公共点，两圆相切——有唯一公共点，两圆相交——有两个不同的公共点.

2.判断两圆的位置关系常用的方法是几何法

判断两圆位置关系时常用几何法，利用两圆组成的方程组解的个数，不能判断内切与外切，外离与内含.

题型分析

例4已知圆C1：（x-a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1，若两圆相外切，则ab的最大值为；若两圆相交，则公共弦所在的直线方程为.

解析：由圆C1与圆C2相外切，

可得（a+b）2+（-2+2）2=2+1=3，即（a+b）2=9，

根据基本不等式可知ab≤（a+b2）2=94，当且仅当a=b时等号成立.

由题意得，把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程.

圆C1：x2+y2-2ax+4y+a2=0，①

圆C2：x2+y2+2bx+4y+b2+3=0，②

由②-①得（2a+2b）x+3+b2-a2=0，

即（2a+2b）x+3+b2-a2=0为所求公共弦所在直线方程.

故答案为94，（2a+2b）x+3+b2-a2=0.

点评：1.处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法.

2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.

五、圆锥曲线的定义及标准方程

重要知识

1.圆锥曲线的定义

（1）椭圆：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）；

（2）双曲线：||PF1|-|PF2||=2a（2a<|F1F2|）；

（3）抛物线：|PF|=|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.

2.圆锥曲线方程的求法

求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”.

（1）定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程.

（2）计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.

题型分析

例5（1）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线过点（2，3），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=47x的准线上，则双曲线的方程为.

（2）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为.

解析：（1）由双曲线的渐近线y=bax过点（2，3），可得3=ba×2.①

由双曲线的焦点（-a2+b2，0）在抛物线y2=47x的准线x=-7上，可得a2+b2=7.②

由①②解得a=2，b=3，所以双曲线的方程为x24-y23=1.

（2）∵椭圆的离心率为32，∴ca=a2-b2a=32，

∴a=2b，∴椭圆方程为x2+4y2=4b2.

∵双曲线x2-y2=1的渐近线方程为x±y=0，

∴渐近线x±y=0与椭圆x2+4y2=4b2在第一象限的交点为（255b，255b），

∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b×255b=4，∴b2=5，∴a2=4b2=20.∴椭圆C的方程为x220+y25=1.

点评：当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay（a≠0），椭圆常设mx2+ny2=1（m>0，n>0），双曲线常设为mx2-ny2=1（mn>0）.

六、圆锥曲线的几何性质

重要知识

1.椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系

（1）在椭圆中：a2=b2+c2，离心率为

e=ca=1-（ba）2.

（2）在双曲线中：c2=a2+b2，离心率为

e=ca=1+（ba）2.

2.双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的渐近线方程为y=±bax.

3.抛物线的焦半径

抛物线上任意一点P（x0，y0）到焦点F的距离称为焦半径.有以下结论（p>0）：

（1）对于抛物线y2=2px，|PF|=p2+x0；

（2）对于抛物线y2=-2px，|PF|=p2-x0；

（3）对于抛物线x2=2py，|PF|=p2+y0；

（4）对于抛物线x2=-2py，|PF|=p2-y0.

题型分析

例6（1）椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点F（c，0）关于直线y=bcx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是.

解析：设椭圆的另一个焦点为F1（-c，0），如图，连接QF1，QF，设QF与直线y=bcx交于点M.

由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ.

又O为线段F1F的中点，

∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，

|F1Q|=2|OM|.

在Rt△MOF中，tan∠MOF=|MF||OM|=bc，|OF|=c，

可解得|OM|=c2a，|MF|=bca，

故|QF|=2|MF|=2bca，|QF1|=2|OM|=2c2a.

由椭圆的定义得|QF|+|QF1|=2bca+2c2a=2a，

整理得b=c，∴a=b2+c2=2c，故e=ca=22.

点评：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

（2）若抛物线y2=4mx的准线经过椭圆x27+y23=1的左焦点，则实数m的值为.

解析：抛物线y2=4mx的准线方程为x=-1m，椭圆x27+y23=1的左焦点坐标为（-2，0），

由题意知-1m=-2，所以实数m=12.

点评：涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.

七、直线与圆锥曲线位置关系

重要知识

直线与圆锥曲线位置关系与“Δ”的关系

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量（如y）得出方程Ax2+Bx+C=0.

①若A=0，则圆锥曲线可能为双曲线或抛物线，此时直线与圆锥曲线只有一个交点.

②若A≠0，则：

当Δ>0时，直线与圆锥曲线有两个交点（相交）；当Δ=0时，直线与圆锥曲线有一个公共点（相切）；当Δ<0时，直线与圆锥曲线没有公共点（相离）.

在涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立后所得方程的根的情况，使用根与系数的关系进行整体代入，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本方法.

题型分析

例7过椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知AB=613BC.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程.

解析：（1）∵A（-a，0），设直线方程为y=2（x+a），B（x1，y1），

令x=0，则y=2a，∴C（0，2a），

∴AB=（x1+a，y1），BC=（-x1，2a-y1），

∵AB=613BC，∴x1+a=613（-x1），y1=613（2a-y1），

整理得x1=-1319a，y1=1219a，

∵点B在椭圆上，

∴（-1319）2+（1219）2·a2b2=1，∴b2a2=34，

∴a2-c2a2=34，即1-e2=34，∴e=12.

（2）∵b2a2=34，可设b2=3t，a2=4t，

∴椭圆的方程为3x2+4y2-12t=0，

由3x2+4y2-12t=0

y=kx+m，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12t=0，

∵动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，∴Δ=0，即64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12t）=0，

整理得m2=3t+4k2t，

设P（x1，y1），

则有x1=-8km2（3+4k2）=-4km3+4k2，

y1=kx1+m=3m3+4k2，

∴P（-4km3+4k2，3m3+4k2），

又M（1，0），Q（4，4k+m），

∵x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，

∴（1+4km3+4k2，-3m3+4k2）·（-3，-（4k+m））=0恒成立，整理得3+4k2=m2.

∴3+4k2=3t+4k2t恒成立，故t=1.

∴椭圆的方程为x24+y23=1.

点评：解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解.