扩展大学数学课堂教学内容的尝试

周羚君， 张 莉， 彭 婧

(同济大学数学科学学院，上海200092)



扩展大学数学课堂教学内容的尝试

周羚君， 张 莉， 彭 婧

(同济大学数学科学学院，上海200092)

随着当前大学各项基础课程课时的压缩，改变原有的学时分配比例已是必然，新的教学方法不仅需要全面覆盖原有的知识点，还不能降低对学生的要求.经过多年的尝试，我们通过在教学中精心选择例题、课后习题以及考试题，将在教学中无法独立成章节的内容贯彻其中，使学生在有限的学时中，学到更多的内容，同时看到同一数学对象在不同数学分支中的应用，了解不同数学分支之间的联系.

高等数学； 课时压缩； 课堂教学延伸

随着人类认识世界水平的不断提高，大学生需要学习的课程也比过去增加了很多.在这一趋势下，压缩原有课程已是必然，在理工科大学中占有重要地位的大学数学课程，也不可避免地受到课时压缩的影响.以同济大学为例，高等数学课程已从每周7学时压缩至5学时，线性代数和概率统计目前多是每周3学时.由于课时减少幅度大，仅仅靠减少习题课的时间已不足以应对这一变化，删减课堂的教学内容已是必须(参见[1-6]).然而，传统数学教材中涉及的内容在各学科中的应用并没有减少，过时的内容几乎没有，于是减少教学内容，无疑影响了学生未来专业课程的影响，因此如何在删减课时的同时，不降低对学生掌握知识的要求，成为当前教学中的一个重要课题.另一方面，由于数学分支的细化，几乎所有的院校都是将数学拆成多门课程讲授，大部分知识点都不会在多门课程中重复出现.然而数学作为一个整体，各个知识点之间都有或多或少的联系.如果在教学中不指出不同分支中知识点的关联，大部分学生在学习之后，就会只见树木不见森林，但在课堂教学中又缺少足够的时间去介绍这些内容.经过多年的教学探索，我们发现通过习题作业、考试题将这些没有时间在课堂上涉及的知识点贯彻到教学中是个很有效的方法，以下是我们尝试的一些教学案例.

1 向量的正交性和Fourier级数

向量内积是线性代数和高等数学都会涉及的内容，是空间解析几何的基本概念之一，这一段内容对学生来说非常直观，比较容易掌握，部分省市的学生甚至已经在高中阶段立体几何的课程中就学过这些相关知识.Fourier级数是传统高等数学教材中的一章，是教学中的难点，学生对Fourier级数的原理缺乏直观认识，对Fourier展开的基本公式感到难以记忆，学完之后对这一段内容一知半解，学过后很容易忘记，根本原因都是学生没有发现Fourier级数与向量空间内积以及向量正交性之间的关系.但当前教学中，由于课时的减少，Fourier级数的内容在课堂教学中占用的时间被压缩得很厉害，甚至有些课堂上直接删除了这一部分内容，然而对于某些工科专业(比如电信)，Fourier级数和Fourier变换是最基本的工具，对数学物理方法有要求的专业，Fourier级数和Fourier变换也将多次被使用，如果学生在高等数学学习中没有学好这一部分内容，将严重影响其后续专业课程的学习，因此对学生在Fourier级数这一知识点的要求不容削弱.我们通过在线性代数课程中引入下面的习题，解决这一问题.

记C([-π,π])为定义在[-π,π]上的全体连续函数构成的线性空间，对该空间上任意函数f,g定义运算

(i) 证明：上述运算满足内积公理(即正定性、对称性，双线性性).

(ii)证明：在该内积定义下，

{1,cosx,sinx,…,cosnx,sinnx,…}

是两两正交的函数组.

特别，如果在高等数学教学中，没有删除Fourier级数的相关内容，那么这道习题放在高等数学Fourier级数的课堂教学中，也会收到很好的效果.

2 线性方程组的基础解系和平面间的空间关系

线性方程组的解的结构定理是线性代数教学中的一个重要章节，但由于其在工程中的直接应用不多，学生学过后经常就忘记了，甚至有些工程类的教师认为这部分内容对工科学生没有什么用处，不如改讲超定方程组的最小二乘法求解.事实上，这一部分内容有很好的几何背景.作者经常遇到某些学生不会写三维空间中平面和直线的参数方程.数学系学生对这一段的学习也存在不少问题，比如学生难以理解四维空间中的两个二维平面可以只有一个公共点(在复变函数中，复二维空间的两个坐标轴是实二维平面，它们仅有一个公共点——坐标原点).产生上述问题的共同原因，就是对线性方程组解的结构没有吃透.鉴于上述情况，我们在线性代数教学中引入这样一系列习题.

习题1 利用内积的观点解释(A,B,C)T为三维空间中平面方程Ax+By+Cz=D的法向量.

习题2 给出三维空间中方程Ax+By+Cz=D 的通解的几何意义，这里A,B,C不同时为零.

习题3 利用方程组

的通解，解释三维空间中处于一般位置的两个平面相交于一条直线.这里两个平面处于一般位置是指上述方程组的系数矩阵是行满秩的.

习题4 利用方程组的通解，解释三维空间中处于一般位置的三个平面仅有一个公共点.

习题5 利用方程组

的通解，解释四维空间中处于一般位置的两个线性方程的联立方程组表示四维空间中的一个二维平面，并由此进一步得到，四维空间中处于一般位置的两个二维平面仅相交于一点.

对于习题1，只需注意到D=0时，方程的解集是一切与向量(A,B,C)T正交的向量全体，这些向量张成一个与(A,B,C)T垂直的平面，于是(A,B,C)T就是法线.对一般的D，只需将方程的任一特解代入左边，并取代D，即可得到结论，这种讲法对于一般的工科学生，理解起来没有太大难度.

对于习题2-5，只需注意到线性方程的通解中有几个自由参数就可以了，即使工科的学生，也不难理解没有自由参数的解就是一个孤立的点，有一个自由参数的通解代表了一条直线，有两个自由参数的通解代表了一个平面.其中习题5，可以只对数学系的学生，或学习复变函数的工科学生涉及.

3 二次型的标准型、多元函数的极值和二次曲面的分类

二次型的标准型是在线性代数课程中作为对称矩阵的特征值和相似对角化的应用出现的.很多教材和课程讲到这里就结束了，相当一部分学生学过后只会做习题，不清楚学习这一段的目的.作者曾经在某次线性代数的期末考试中出过这样一道考试题：将某一二次型化成标准型后，问该二次型是否存在最值，结果得分率相当低，可见如果在教学中不做必要的深入或拓展，学生最终将入宝山而空回.另一方面，在高等数学教学中，多元函数的极值和二次曲面都是必讲的内容，这一部分都会用到对称矩阵与二次型的结果，在课时压缩后，高等数学课程中常常只能讲一些特殊的例子(相当于二次型恰为标准型的情形)，略去对一般情形的讨论，于是一般的多元函数的极值和二次曲面(曲线)的分类就成了高等数学和线性代数都照顾不到的内容.为此，我们可以设计诸如下述类型的习题.

习题1 构造一个正交变换，将平面上的方程xy=1化为标准的双曲线方程，并求出该双曲线的实轴长、虚轴长和焦距.

习题2 判断一个二元二次型，何时有最大值，何时有最小值.并由此给出判断一个二元函数的驻点为极大值点或极小值点的充分条件.

习题1可以放在线性代数二次型一节中，由于学生在中学中已经学过双曲线的标准方程，并知道方程xy=1的曲线是双曲线，因此结合二次型的知识，学生不难完成这一习题，并且藉此理解为什么方程xy=1的曲线是双曲线.实践证明，教学中如果能与学生之前学过的知识呼应，或者让学生自己解决过去一直没有理解的问题，经常能起到增进学生学习兴趣的效果

习题2既可以放在线性代数二次型一节中，也可以放在高等数学的二元函数极值一节中.考虑到不同专业学生学习线性代数的时间不同(同济大学工科学生学习高等数学都是在一年级，但线性代数的开设时间分布在一二年级四个学期)，这道习题不一定要写在教材中，可以根据不同专业学生的培养计划，灵活地放在课堂教学中.

4 实对称矩阵和对称算子

实对称矩阵的性质不仅应用于二次型，从数学上看，自共轭算子的谱分解是它在无穷维Hilbert空间的推广，这一部分内容，在数学物理方法中会出现，而数学物理方法是力学、物理、机械、土木工程等理工科所要求的课程.作者曾经长期担任工科数学物理方法的教学，发现绝大部分学生在学习完Sturm-Liouville问题的基本结论后，无法将其与实对称矩阵的特征值与特征函数的理论联系起来，由此带来的后果就是学生认为Sturm-Liouville问题的结论十分抽象，难以记忆.

解决这一问题，需要在线性代数的教学中，强调实对称矩阵特征值和特征向量的几个定理的证明，突出矩阵A的实对称性不仅体现在矩阵元素分布的对称性，而且满足

(Ax,y)=(x,Ay)，

这条性质决定了实对称矩阵的特征值是实数，且从属于不同特征值的特征向量正交.在后续的数理方程Sturm-Liouville问题的教学中，重复这一证明，加深学生的印象，并将实对称矩阵的性质与Sturm-Liouville问题的性质定理对比讲解，方便学生记忆.

特别指出，在Sturm-Liouville问题的讲解中，还应该结合我们在第一段中提到的函数的正交性.

5 幂级数和差分方程、母函数

幂级数是高等数学中的一个章节，在高等数学的教学中，幂级数的应用主要是超越函数的近似计算，但幂级数的应用远不止这些，即使在工科数学的后续课程中，幂级数也有不少应用，最典型的就是某些差分方程的求解和母函数.我们认为，在高等数学幂级数的一节中，引入下面的例题或习题，将起到很好的效果.

则

在给出提示后，习题1是一道普通的幂级数问题，学生可以独立完成.在有了习题1的基础后习题2的做法就容易想到了，习题3只不过是习题2的一般化.特别，对一些在中学阶段学过递推数列(属于高中数学竞赛大纲中的内容)的学生，由此便可理解为什么一个递推数列对应一个特征方程，且通项公式与特征方程的根有关.

上面的做法其实就是母函数的观点，在概率论中，母函数有一些应用，但限于课时，很多概率论的课堂教学中不再讲母函数了，那么在习题中增加一道母函数的介绍与应用，是很有益的，例如：

设取值为非负数的离散型随机变量ξ,ζ的概率分布分别为

通过这道习题，学生不仅了解了母函数这一工具，还可以掌握一个重要的公式.

综上所述，我们的基本想法是对那些在多个数学领域涉及又无法在现有课程中专辟一节讲述的知识点和思想方法，通过课堂例题或课后习题，甚至是测验题、考试题，使学生了解相关内容.这样做，既可以弥补因为压缩课时而造成的内容缺失，又可以使学生发现不同数学分支之间的联系，同时还可以激发学生的学习兴趣，在基础课教学中锻炼学生的研究能力，是一举数得的做法.

[1] 肖飞雁.“教学做”一体化教学模式在“数值分析”教学中的研究与实践[J].大学数学，2016，32(1)： 66-70.

[2] 唐玲艳，宋松和.《高等数值分析》教学案例的建设与思考[J].大学数学，2015，31(1)：42-47.

[3] 刘秀芹，马亮，李娜.案例教学在《应用随机过程》中的探索和实践[J].大学数学，2015，31(2)：101-105.

[4] 张玲玲，黄建华，黄立宏.研究生数学公共课程中教学案例创新与建设的思考[J].大学数学，2015，31(3)：117-121.

[5] 杨曙光，周疆.提高非数学专业新生接受高等数学教育适应性对策研究——以新疆大学为例[J].大学数学，2015，31(4)：34-38.

[6] 李应求，谢圣英.关于工科高等数学教育改革的一些思考[J].大学数学，2014，30(1)：53-55.

The Attempt on the Extension of Mathematics Teaching in the University Class

ZHOULing-jun，ZHANGLi，PENGJing

(School of Mathematical Science,Tongji University，Shanghai 200092, China)

Currently, it is inevitable to change the original teaching time proportions since the teaching hours of different types of basic college curriculums are reduced.The new teaching method is required to fully cover the existing knowledge, which does not reduce the requirement for the students.After many years of attempts, we have integrated the various independent courses into a comprehensive one by considerably selecting a lot of good examples and after-school exercises from teaching model.This could enable students to learn much more knowledge with the limited amount of time and get access to the applications of the same mathematical object in different branches of mathematics.Additionally, by doing so, they are able to understand the relationship and significance among the different branches of mathematics.

advanced mathematics; curriculum reduction; extension of the class

2016-05-30； [修改日期]2016-01-18

上海高校外国留学生英语授课示范性课程建设项目；同济大学教学改革研究与建设项目

周羚君(1979-),男，博士，副教授，从事孤立子理论与可积系统研究.Email:zhoulj@tongji.edu.cn

O151.2

C

1672-1454(2016)06-0123-04