对一道高考题的研究与拓展

郑洲

引入：（2013年浙江高考卷理科22题）已知 ，函数 。

（1）求曲线 在点 处的切线方程。

（2）当 时，求 的最大值。

1.试题简析

（2）由于 故

（1）当 时，有 ，此时 在 上单调递减，故

（2）当 时，有 ，此时 在 上单调递增，故

（3）当 时，设 ， ，则 ， 。

由于 故 ，

，从而 。

所以 。

（4）当 时，

又 ，

故 。

（2）当 时， 且 。

又 ，所以

（i）当 时， .故 .

（ii） 当 时， .故 .

综上所述，

2.初等应用

例1.设函数

（1）当 时，求函数的单调区间；

（2）当 时，求函数 在 上的最大值M。

解析：（1）略（2）

令 得 。令 ，则 所以 在 上递增，所以 ，

从而 所以 ，所以当 时， 当 时，

所以 。

令 ，则 ，令 则 所以 在 上递减，而 所以存在 使得 且当 时， 当 时， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减。

因为 所以 在 上恒成立，当且仅当 时取得等号。

综上，函数 在 上的最大值 。

点评：本题得关键是做差比较 和 的大小关系，构造函数 ， ，并二次求导，证明 在 上恒成立。