“三悟”一道立体几何问题中的转化思想

吴家全　李世容

我们知道，在小学五六年级，学生已经接触了柱、锥台、球，初中又学习了物体的“三视图”，但是小学阶段大部分是要求学生从物体的外部特征去感知物体的大小和面积，初中的三视图并不是这一些段的核心内容，而作为核心内容的平面几何反复强化训练，这对学生认识物体的空间图形无疑带来了平面化的负迁移.因此在学习高中立体几何内容时学生常常会出现“难想、难推”的障碍，即学生拿到一个立体几何试题，不知道条件与图形怎么联系起来，图形可以怎么进行分解，不知道如何根据所求问题进行逻辑转换.笔者借助长期的教学实践，破解障碍、培养学生熟练使用转化的思想解决立体几何问题的经验总结为“三悟”.

一、先悟解决立体几何问题的常规转化思想

作为立体几何问题，转化主要涉及平行与垂直的转化、立体图形转化为平面图形、整体转化为部分和等，在教学立体几何时，教学首先要做的就是采取常规转化思想解决立体几何问题，让学生在使用常规转化思想解决问题时去悟通性通法，在悟常规转化思想的同时清晰地认识到解决立体几何问题的一般步骤和切入点.

案例1 三棱柱ABC-A′B′C′，M，N是A′B，B′C′的中点，证明MN∥ACC′A′.

学生尝试找到解决办法：证明线面平行，根据线面平行的判定定理，转化为在面ACC′A′中找一条直线和MN平行，由于M，N是中点，构造三角形AB′C′中位线MN，从而得到MN∥AC′，从而问题解决.

悟出转化实质：线线平行转化为线面平行.

悟出转化步骤：寻找—构造—证明，即根据要证明的问题试着在面ACC′A′上找一条直线与MN平行，观察揣摩AC′比较适合，于是构造经过AC′的三角形AB′C′，利用M、N是中点得到中位线MN平行于AC′，从而问题得到证明.

但这是否能说明学生用转化的思想解决立体几何就比较熟悉呢？这未必，一是因为案例1本身思维难度不大，还因为学生从学习新课到复习，这样的问题不会少于10道，学生可以“按图索骥”在记忆深处找到解决问题的机械方法.怎么才能让学生更加深入的体会“转化”思想在解决立体几何问题的重要性呢？这就需要下面的“二悟”.

二、后悟解决立体几何问题时转化思想运用的“多法归一”

很多立体几何问题通常都有不同的解法，但是不管哪种方法，最终都是要求学生综合运用知识进行有效转化解决，在学生常规方法掌握的情况下，为防止学生机械模仿和思维定式，很有必要对问题进行深入研究，从多个角度思考解决问题的不同方法，然后通过不同方法的对比来深刻体会转化的本质.

案例2 你认为案例1还有哪些证明方法？

引导学生从不同角度进行证明，可以得到如下的方法：

法1 案例1中的解法.

法2 在A′C′上取中点P，在AA′上取中点Q，连接P，Q，M，N，则可证四边形PQMN为平行四边形，从而MN∥PQ，问题得到解决.

法3 选取A′B′的中点D，连接DN、DM，可以证明面MND∥面AA′C′C，从而得到MN∥ACC′A′.

悟出各种方法的共同步骤：虽然提供了几种不同的解法，但是解决问题的共同点都是分析—转化—证明，即分析已知是什么、要求什么，然后寻找线面平行和线线平行、面面平行之间的转化关系，构造出相应的线段或图形，最后通过三角形中位线或者平行四边形性质进行证明.

如果学生对应用转化的思想解决立体几何问题到此为止，那势必显得数学思想的渗透略有遗憾，通过两“悟”，学生体会了从常规单一转化到多角度转化，认识到转化思想的灵活性和规律性，但是要深刻地认识转化思想，让利用转化思想解决立体几何问题在头脑里“生根发芽”，还需要下面的 “三悟”.

三、最后悟转化思想的变化拓展

要培养学生利用转化的思想来系统全面地认识立体几何问题，不仅要让学生认识到转化基本步骤和本质，同时还需要学生利用转化的本质来创造性的发现问题和提出问题.

案例3 通过对案例2的证明方法的本质分析，你能够创造出什么样的问题？

（1）三棱柱ABC-A′B′C′，M是A′B的中点，N是B′C′上的点，若 MN∥ACC′A′，请确定N点在B′C′上的位置.

解题思路：选取A′B′的中点D，连接DM，则面MND∥面AA′C′C，过D做DN∥A′C′，交B′C′于N，根据比例 N为中点.

（2）三棱柱ABC-A′B′C′，M是A′B上的点，且A′M=13A′B（可以改成任意比例），N是B′C′上的点，若MN∥平面ACC′A′平行，请确定N点在B′C′上的位置.

解题思路：选取A′B′的13点处D，连接DM，则面MND∥面AA′C′C，过D做DN∥A′C′，交B′C′于N，根据比例 N为B′C′的13点处.

上述悟转化的基本方法步骤、悟转化思想的本质、悟转化的变化发展是课堂典型例题教学必不可少的过程，也是数学转化思想渗透的自然方式.转化的数学思想作为人的一种认识，靠“硬灌”是难以形成的，它需要学生在“悟”中形成，即学生经历问题解决的初始步骤和方法，然后从表面到本质的提炼总结，最后进行深入的理解和运用，并在平时的教学中不断循环往复“三悟”的过程中形成.当然其他的数学思想的渗透也一个道理，笔者仅提供这样的案例以飨食者.