抽象函数的周期性探析

罗文军

【摘要】抽象函数是一些没有给出具体解析式的函数，因而比较抽象，难以理解，本文总结了抽象函数的周期性与递推式、对称性、奇偶性的几个常见的结论.

【关键词】抽象函数；周期函数；递推式；对称性；奇偶性

抽象函数是相对于具体函数而言的，它没有给出具体的函数解析式，只给出了一些体现函数特征或性质的式子的一类函数.因为抽象，难以理解，它是高中数学函数部分的难点，所以解抽象函数的题目需要有严谨的逻辑推理能力、抽象思维能力以及函数基本知识灵活运用的能力.

近几年高考中也常出现涉及抽象函数的题目，大多考查的是函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性.而在实际教学中学生对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难，所以本文尝试归结抽象函数的周期性问题的几个常见的结论并给予简单的证明，并通过几个例题说明简单的应用，供大家参考.

一、三个结论

结论1 （递推式与周期关系结论）

（1）若f（x+a）=f（x+b），则T=|a-b|；{∵f[x+（a-b）]=f[（x-b）+a]=f[（x-b）+b]=f（x）}

（2）若f（x+a）=-1f（x），则T=2|a|；{∵f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-1f（x+a）=f（x）}

（3）若f（x+a）=-f（x），则T=2|a|；{∵f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-f（x+a）=f（x）}

（4）若f（x+a）=1+f（x）1-f（x），则T=4|a|.

{∵f（x+2a）=f[（x+a）+a]=1+f（x+a）1-f（x+a）=1+1+f（x）1-f（x）1-1+f（x）1-f（x）=1-f（x）+1+f（x）1-f（x）-1-f（x）=2-2f（x）=-1f（x），

∴f（x+4a）=f[（x+2a）+2a]=-1f（x+2a）=f（x）}

结论2 （对称性与周期关系结论）

（1）若f（x）关于x=a及x=b对称，则T=2|b-a|；

证明：∵f（x）关于直线x=a和x=b对称，

∴f（x）=f（2a-x），x∈R，f（x）=f（2b-x），x∈R，∴f（2a-x）=f（2b-x），x∈R，

将上式的-x以x代换得f（2a+x）=f（2b+x），x∈R，

∴f[x+2（b-a）]=f[（x-2a）+2b]=f[（x-2a）+2a]=f（x），x∈R.

∴f（x）是R上的周期函数，且2a-b是它的一个周期.

（2）f（x）关于x=b及Ma，0对称，则T=4|b-a|；

证明：∵f（x）关于点M（a，0）对称，f（2a-x）=-f（x），x∈R，

∵f（x）关于直线x=b对称，∴f（x）=f（2b-x），x∈R，

∴f（2b-x）=-f（2a-x），x∈R，

将上式中的-x以x代换，得f（2b+x）=-f（2a+x），x∈R，

∴f[x+4（b-a）]=f[2b+（x+2b-4a）]=-f[2a+（x+2b-4a）]=-f[2b+（x-2a）]=f[2a+（x-2a）]=f（x），x∈R.

∴f（x）是R上的周期函数且4b-a是它的一个周期.

（3）f（x）关于点Ma，0和Nb，0对称，则T=2|b-a|.

证明：∵f（x）关于M（a，0），N（b，0）对称，

∴f（2a-x）=-f（x），x∈R；且f（2b-x）=-f（x），x∈R.

∴f（2a-x）=f（2b-x），x∈R，

将上式中的-x以x代换，得f（2a+x）=f（2b+x），x∈R，

∴f[x+2（b-a）]=f[2b+（x-2a）]=f[2a+（x-2a）]=f（x），x∈R.

∴f（x）是周期函数且2b-a是它的一个周期.

结论3 （奇偶性与周期关系结论）

（1）f（x）是偶函数且关于直线x=a对称，则T=2|a|；

证明 ：∵f（x）是偶函数，故f（x）关于x=0对称，又关于x=a对称，

∴由结论2中的（1）可知周期为T=2a-0=2a.

（2）f（x）是奇函数且关于直线x=a对称，则T=4|a|；

证明：∵f（x）是奇函数，

∴f（x）关于点（0，0）对称，又∵f（x）关于x=a对称，

∴由结论2中的（2）可知周期为T=4a-0=4a.

二、应用举例

例1 （2001年高考数学（文科）第22题）设f（x）是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称.对任意x1，x2∈[0，12]都有f（x1+x2）=f（x1）·f（x2）.

（Ⅰ）设f（1）=2，求f12，f14；

（Ⅱ）证明f（x）是周期函数.

分析 f（x）是偶函数的实质是f（x）的图像关于直线x=0对称，又f（x）的图像关于x=1对称，由结论2中的（1）可得f（x）是周期函数.

解析 （Ⅰ）解略.

（Ⅱ）证明：依题设y=f（x）关于直线x=1对称，故f（x）=f（2-x），x∈R，

又由f（x）是偶函数知f（-x）=f（x）.

∴f（-x）=f（2-x），x∈R.

将上式中-x以x代换，得f（x）=f（x+2），x∈R.

这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期.

例2 （求值）（1）已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），f（1）=2008，求f（2009）的值.

（2）已知函数f（x）=f（x+2）+f（x-2）对于x∈R恒成立，且f（1）=5，求f（2005）的值.

解析 （1）由题可知f（x）≠1，则有f（x+2）=1+f（x）1-f（x），由结论1（4）得T=2×4=8，

∴f（2009）=f（8×251+1）=f（1）=2008.

（2）由f（x）=f（x+2）+f（x-2）①

得f（x+2）=f（x+4）+f（x）②

∴由①+②得f（x+4）=-f（x-2）.即f（x+6）=-f（x）.

由结论1（3）知T=12，故有f（2005）=f（1+12×167）=f（1）=5.

例3 （判断奇偶性）若函数f（x）对于x∈R满足f（x+1004）=-1f（x），f（1004+x）=f（1004-x），则f（x）（ ）.

A.是奇函数而不是偶函数B.是偶函数而不是奇函数

C.是奇函数又是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数

解析 由f（x+1004）=-1f（x），结合结论1（2）知f（x）是周期函数且T=2008，

∴f（x）=f（2008+x）=f[1004+（1004+x）]=f[1004-（1004+x）]=f（-x）.

即f（-x）=f（x），又显然f（x）≠0，∴y=f（x）是偶函数，故选B.

例4 （求解析式）已知偶函数f（x）的图像关于直线x=1对称，且x∈[3，4]时f（x）=2x-1，求当x∈[14，15]时，f（x）的解析式.

解析 由条件及结论3（1），知f（x）是周期函数且T=2，由f（x）是偶函数，知f（-x）=f（x）.

设14≤x≤15，则-15≤-x≤-14，即3≤18-x≤4.

有f（x）=f（-x）=f（-x+9×2）=f（18-x）=2×（18-x）-1=-2x+35.

即当x∈[14，15]时，f（x）=-2x+35.

例5 已知定义在R上的函数f（x），对任意实数x，y，有f（x+y）+f（x-y）=

2f（x）f（y），若存在实数c>0，使fc2=0.

（1）求证：对任意x∈R，有f（x+c）=-f（x）成立.

（2）试问函数f（x）是不是周期函数，如果是，找出它的一个周期；如果不是，请说明理由.

解析 （1）证明：分别用x+c2，c2代替x，y，有

f（x+c）+f（x）=2fx+c2fc2.

∵ fc2=0，

∴f（x+c）=-f（x）.

（2）解：由f（x+c）=-f（x），得f（x+2c）=f[（x+c）+c]=-f（x+c）=f（x），

即f（x+2c）=f（x）.

∴f（x）是周期函数，2c是它的一个周期.

从以上例题可以发现，抽象函数周期性的考查往往与函数的奇偶性、对称性等联系在一起，范围较广，能力要求较高.但只要对函数基本性质熟练，并掌握上述有关的结论和类型题目的相应解法，则会得心应手，事半功倍.

【参考文献】

[1]祁正红.抽象函数的周期[J].中学数学教学，2005（05）.

[2]李金菊.利用函数的周期性解抽象函数题[J].昭通师范高等专科学校学报，2005（02）.

[3]赵鸿伟.探究高考中的抽象函数[J].考试与招生，2010（08）.