不等式恒成立时的参数求法

金龙善

【摘要】求参数的方法很多，其中用恒成立求法，也是一种思路，其解决的关键是转化与化归思想的运用.

【关键词】恒成立；求参数

近年来，在平时的做题和高考，频频出现求参数范围的题型，含参数不等式的恒成立问题又是如此单纯，无须众多技巧便能获得解决，如何解这类题，现总结几点方法.

一、利用函数的单调性

例1 若4a2-17a+4<0，求使不等式x2+ax+1>2x+a恒成立的x的取值范围.

解 由4a2-17a+4<0，得14

不等式x2+ax+1>2x+a可化为（x-1）a+x2-2x+1>0.

设f（a）=（x-1）a+x2-2x+1，

当x-1>0，即x>1时，y=f（a）单调递增，

只需f（a）=f（14）=（x-1）·14+x2-2x+1≥0，解得x>1.

当x-1<0，即x<1时，y=f（a）单调递减，

只需f（a）=f（4）=（x-1）·4+x2-2x+1≥0，解得x≤-3.

综上，x≤-3或x>1.

二、判别式法

任何一个一元二次不等式总可以化成ax2+bx+c>0（a>0）或ax2+bx+c<0（a>0）的形式，由二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图像和性质，我们不难得出下面的结论：

（1）f（x）>0，对一切x∈R恒成立a>0，Δ=b2-4ac<0；

（2）f（x）<0，对一切x∈R恒成立a<0，Δ=b2-4ac<0；

（3）f（x）>0（a>0）在m≤x≤n上恒成立Δ<0或x=-b2a0，或-b2a>n，f（n）>0；

（4）f（x）<0（a>0）在m≤x≤n上恒成立f（m）<0，f（n）<0.

例2 已知mx2+2mx+3>0恒成立，求m的范围.

解 ①当m=0时，3>0显然成立；

②m>0，Δ<0，m>0，4m2-12m<0，0

由①②知：0≤m<3，即m∈[0，3）.

例3 （2011济南高三模拟）已知x∈（0，+∞）时，不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立，则m的取值范围是（ ）.

A.2-22

C.m<2+22D.m≥2+22

解 令t=3x（t>1），则由已知得函数f（x）=t2-mt+m+1（t∈（1，+∞））的图像恒在x轴的上方，

即Δ=（-m）2-4（m+1）<0或Δ≥0，m2≤1，f（1）=1-m+m+1≥0，

解得m<2+22.

答案 C.

例4 （2014高考江苏卷第10题）已知函数f（x）=x2+mx-1，若对于任意的x∈m，m+1都有f（x）<0，则实数m的取值范围为.

解 由题意f（m）=m2+m2-1<0，f（m+1）=（m+1）2+m（m+1）-1<0，解得-22

答案 -22，0.

三、不等式恒成立问题常用到以下结论

①f（x）≥m （f（x）>m）恒成立f（x）min≥m （f（x）min>m）；

②f（x）≤m （f（x）

例5 已知f（x）=x2-2ax+2，当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围.

解 只需f（x）=x2-2ax+2在x∈[-1，+∞）上的最小值大于或等于a，即f（x）min≥a就行.

f（x）=x2-2ax+2=（x-a）2+2-a2，其对称轴为x=a，

①a≤-1，f（x）min=f（-1）=1+2a+2≥a，-3≤a≤-1；

②a>-1，f（x）min=f（a）=a2-2a2+2≥a，-1

综上-3≤a≤1.

例6 （2011烟台调研）已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+mx-3，对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围.

解 2xlnx≥-x2+mx-3，则m≤2lnx+x+3x，

设h（x）=2lnx+x+3x（x>0），则导数h′（x）=（x+3）（x-1）x2，令h′（x）=0，得x=1.

①当x∈（0，1）时，h′（x）<0，h′（x）单调递减；

②当x∈（1，+∞）时，h′（x）>0，h′（x）单调递增.

所以h（x）min=h（1）=4，对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，

所以m≤h（x）min=4，即m≤4.